湖南省郴州市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试卷

郴州市2021年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学

（试题卷）

注意事项：

1、试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分.考试时间120分钟.

2、答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面.上.

3、考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

4、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若复数的模为5，虚部为，则复数（    ）

A.  B.

C.或  D.

3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（    ）

A.3 B.6 C.7 D.8

4.刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形如图1所示，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（    ）

A. B. C. D.

5.设，，，则（    ）

A. B. C. D.

6.已知平面向量，满足，，，若，则的最大值为（    ）

A.1 B. C. D.2

7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了人（医生和护士均至少有一人）分配到，，三个地区参加医疗支援工作（每个地区一人），方案要求医生不能去地区，则分配方案共有（    ）

A.264种 B.224种 C.200种 D.236种

8.已知函数（且）.若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图2所示，甲、乙两组数据的平均值分别为、，则（    ）

A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定

C.一定大于  D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差

10.已知，则下列结论一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（    ）

A.是偶函数  B.在上有3个零点

C.在上单调递增 D.的最大值为2

12.如图3所示，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，、分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当、运动时，下列结论中正确的是（    ）

A.是等腰三角形

B.在内总存在与平面垂直的线段

C.三棱锥的体积是三棱柱的体积的

D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知直线是函数的一条对称轴，写出的一个可能值为      .

14.已知随机变量，满足，，      .

15.的展开式中各项系数的和为2，则展开式中常数项为      .

16.已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是      ；最小值是      .

四、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17.（本小题满分10分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若的面积为，为的中点，求的最小值.

18.（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，对有.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求的前项和.

19.（本小题满分12分）

如图4，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App（应用程序）公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下：

（Ⅰ）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份的对这款App不满意人数：

（Ⅱ）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布，求的值；

（Ⅲ）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表：

能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？

参考公式：，.

附：随机变量：，则

，

（其中）

21.（本小题满分12分）

已知圆经过两点，且圆心在直线上.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标.

22.（本小题满分12分）

某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲、乙两人同一组，甲、乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.

（Ⅰ）若，设甲、乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望.

（Ⅱ）若，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.

郴州市2021年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学参考答案和评分细则

一、单选题

1-4 CCDB 5-8DDCC

二、多选题

9.BC  10.AB  11.AD  12.ABD

三、填空题

13.（答案不唯一，形如，都可以）

14.4 15.40 16.2  （第一空2分，第二空3分）

四、解答题

17.（Ⅰ）由及正弦定理

可得：

∴

∵∴

（Ⅱ）由题意知，得.

由余弦定理得，

当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为.

18.解：（Ⅰ）∵，①

∴当时，，解得；

当时，，②

由①②得，

化为，

∵有，∴.

数列是以首项为1，公差为1的等差数列.

∴.

∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∵，∴，

∴

.

19.（Ⅰ）证明：由已知可得，，在中，满足

∴

∵，且，，平面，∴平面

又平面，∴平面平面.

（Ⅱ）解：法一：（几何法）如图所示，连接，取中点，连接，

∴，过作交于点，连接，

∵平面平面，

平面平面，

∴平面，∴又∴平面∴

即为所求的二面角的平面角

由，

∴，

又，

∴∴二面角的余弦值为.

法二：（向量法）取的中点，连接

∵∴∵平面平面，

平面平面，

∴平面

如图所示，以为坐标原点，

以，分别为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则

，，，

∴，

设为平面的法向量，有

不妨令，则，.∴，

而平面的其中一个法向量显然为

二面角的余弦值为.

20.解：（Ⅰ）由表中的数据可知，，

，

所以，

故，

所以所求的回归直线方程为；

令，则人；

（Ⅱ）依题意得

（Ⅲ）提出假设：是否使用这款App与性别无关，

由表中的数据可得，

根据临界值可得，有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关

21.解：（Ⅰ）设圆的方程为：

由题意得：

圆的方程：.

（Ⅱ）设直线：，

由

设，，，

∴

∴，代入得

直线必过定点

22.解：（Ⅰ）两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为0，1，2，3，4

分布列如下表：

（Ⅱ）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为

因为，所以

因为，，，所以，，

所以，令，以，则

当时，

他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足

由，则，所以理论上至少要进行27轮游戏.此时，，