江苏南通如皋市2023届高三上学期8月数学诊断测试卷含答案

如皋市2023届高三上学期8月诊断测试

数 学 试 题

 2022.08

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符              合题目要求的．

1. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ▲ ）.

A.  B.  C.  D.

2. 已知a，b为正实数，则“”是“”的（ ▲ ）.

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，则不等式的解集为（ ▲ ）.

A.  B.  C.  D.

4. 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集．如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集．若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（ ▲ ）.

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

5. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ▲ ）.

A. 1 B.  C.  D.

6. 若，则（ ▲ ）.

A.  B.
C.  D.

7. 已知实数a、b满足，，则的最小值为（ ▲ ）.

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为，，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（ ▲ ）.

1.   B.
   C.   D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题              目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ▲ ）.

A. 若，r确定，则L，S唯一确定 B. 若，l确定，则L，S唯一确定
C. 若S，l确定，则，r唯一确定 D. 若S，L确定，则，r唯一确定

10. 已知a，R，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ▲ ）.

A.  B.
C.  D.

11. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ▲ ）.

A. 将这1864人派谴完需要16天 B. 第十天派往筑堤的人数为134
C. 官府前6天共发放1467升大米 D. 官府前6天比后6天少发放1260升大米

12. 函数在上的大致图像可能为（ ▲ ）.

1.   B.  C.   D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当   ▲   时，满足条件“，”的有两个仅写出一个a的具体数值即可
14. 已知，，，则的最小值为   ▲   .
15. 若数列满足，且，则   ▲   .
16. 已知函数，，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交x轴于M，N两点，则   ▲   ；的取值范围是   ▲   .

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证                            明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足   ▲   .

（1）求C；

（2）若的面积为，AC的中点为D，求BD的最小值.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

18. （本小题满分12分）

函数

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若任意，对任意总有不等式成立，求m的  取值范围.

19. （本小题满分12分）

已知，，函数的最小正周期为
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）不等式在内恒成立，求m的取值范围．
 

20. （本小题满分12分）

已知函数
 （1）当时，求的极值；
 （2）讨论函数的单调性．
 

21. （本小题满分12分）

设等比数列的前n项和为，且，
（1）求数列的通项公式;
（2）在与之间插入n个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前  n项和为，求证：
 

22. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，求a的取值范围；

（2）证明：若有两个零点，则

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

解: (1)若选择条件:
由可得,,
由正弦定理得,
因为,所以,则有,
即,
又,所以,所以,
则有,所以=,则.
若选择条件:,
由正弦定理得,
于是,
即,
因为,所以,
所以,所以,
又,所以.
若选择条件:,
由正弦定理得=,
所以,
即,
于是有,
因为,所以C-A=B-C,即2C=A+B,
所以,所以.
(2)由题意知,得ab=32,
由余弦定理得,
当且仅当a=b且ab=32,即a=4,b=8时取等号,所以BD的最小值为4.

18.

解：

（1）当时，

，

对称轴

，

，

∴函数在上的值域为.

（2）∵，

∴对称轴，

∴在区间上单调递增，

∴，

，

∴，

即对任意，不等式恒成立，

设，

由于在区间上恒成立，

则，即，

解得或.

19.

解：（I）
=
=，
∵y=f（x）的最小正周期为π，
∴，∴ω=1，
∴，
令2x+∈[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，则x∈[kπ-，kπ+]，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴f（x）在[0，π]内的单调递增区间为，．
（II）∵在内恒成立，
∴，
化简得：sin2x＞（m-1）（sinx+cosx），又∵,∴sinx+cosx>0,
∴在内恒成立，
记t=sinx+cosx=sin（x+），
∵x∈，∴x+∈[，]，∴t∈[1，]，
且2sinxcosx=（sinx+cosx）2-（sin2x+cos2x）=t2-1，
∴，在上单调递增，
∴h（t）min=h（1）=0，
∴m-1＜0，即m＜1，
故m的取值范围为（-∞，1）．

20.

解：（1）当a=1时，f（x）=（x-2）ex-（x-1）2，
f′（x）=ex+（x-2）ex-2（x-1）=（x-1）ex-2（x-1）=（x-1）（ex-2），
令f′（x）=0，得x=1或x=ln2，
所以在（-∞，ln2），（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（ln2，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）极大值=f（ln2）=（ln2-2）eln2-（ln2-1）2
=2（ln2-2）-（ln2-1）2=-（ln2）2+4ln2-5，
f（x）极小值=f（1）=（1-2）e-（1-1）2=-e．
（2）f′（x）=aex+a（x-2）ex-2（x-1）
=（x-1）aex-2（x-1）=（x-1）（aex-2），
当a=0时，f′（x）=-2（x-1），
所以在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（-∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当a＞0时，f′（x）=a（x-1）（ex-），
令f′（x）=0得x=1或x=ln，
当ln＞1，即0＜a＜时，
在（-∞，1），（ln，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，ln）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当ln＜1，即a＞时，
在（-∞，ln），（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（ln，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当ln=1，即a=时，f′（x）0，f（x）在R单调递增，
当a＜0时，f′（x）=a（x-1）（ex-），
在（-∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述，当a0时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，在（-∞，1）上f（x）单调递增，
当0＜a＜时，f（x）在（-∞，1），（ln，+∞）上单调递增，在（1，ln）上f（x）单调递减，
当a＞时，f（x）在（-∞，ln），（1，+∞）上f（x）单调递增，在（ln，1）上f（x）单调递减，
当a=时，f（x）在R单调递增.

21.

解：（1）由
​​​​​​​两式相减得-=2(-)=,
所以=(n2).
因为{}是等比数列，所以公比为3，
又=+1，所以=+1，所以=1.
故=;
（2）由题设得=+(n+1)，
所以==,
所以=+++=+++，
即=+++,
则=++++,
由-得：=2++++-=2+-，
所以=-,
所以<.

22.

解：(1)f(x)定义域为(0,+),(x)=-+1=，
令f'(x)=0x=1,所以当0<x<1 时，f'(x)<0,f(x)单调递减;
  当x>1时(x)>0,f(x)单调递增;f=f(1)=e+1-a,要使得f(x)0恒成立,
即满足f=e+1-a0ae+1.
(2)由(1)知，若f(x)有两个零点,则f=0,
而,
即,
因为函数在R上单调递增，所以成立，
令h(x)=x-lnx,且h（x1)=h(x2),易知h（x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，
不妨设0<<1<.要证明<1,即证明1<<,
即证明h()<h() 证明h()<h()在（0,1）上恒成立.
下面构造函数F(x)=h(x)-h()(0<x<1),
则恒成立,
F(x)在(0,1)单调递增,而F(1)=h(1)-h(1)=0,
所以F(x）<F(1)=0,即在（0,1）上恒成立.，
从而得证.