【新结构】2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）

这是一份【新结构】2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线的焦点坐标为
A．B．C．D．
2．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于
A．4B．5C．6D．7
3．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有 种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
5．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则
A．5B．7C．9D．11
6．已知函数的图象恰为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A．线段（不包含端点）
B．椭圆一部分
C．双曲线一部分
D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
7．已知，，则
A．3B．C．D．2
8．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，，离心率为，点，是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，是关于的方程的两根，则
A．B．
C．D．若，则
10．若函数，则
A．的最小正周期为
B．的图像关于直线对称
C．的最小值为
D．的单调递减区间为
11．设为常数，，，则
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若中元素至多有1个，则的取值范围是 ．
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
14．函数的最小值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）设曲线在点，（1）处取得极值．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数的均值．
17．（15分）如图，在三棱柱中，，，且平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）已知抛物线的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．
19．（17分）对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．
设，，，定义加法和数乘：，．
对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则．
2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为
A．B．C．D．
【解析】：抛物线的焦点坐标为：，
故选：．
2．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于
A．4B．5C．6D．7
【解析】：在等比数列中，，
所以，是方程的两个根，所以，或．
当，时，，解得，
由，解得．
当，时，，解得，
由，解得．
故选：．
3．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【解析】：．若，，则，相交或平行或异面，故错；
．若，，则，故正确；
．若，，则或，故错；
．若，，则或或，故错．
故选：．
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有 种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
【解析】：根据题意，先排其余的3辆车全排列，有种情况，
排好后，有4个空位，在其中选出2个，安排货车甲和乙车，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：．
5．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则
A．5B．7C．9D．11
【解析】：，，
，，
，
，即，
平面向量基本定理知，，解得：，．
故选：．
6．已知函数的图象恰为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A．线段（不包含端点）
B．椭圆一部分
C．双曲线一部分
D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
【解析】：因为函数的图象恰为椭圆轴上方的部分，
所以，
因为，，成等比数列，
所以有，且有，，成立，
即，成立，
由，
化简得：，或，
当时，即，因为，所以平面上点的轨迹是线段（不包含端点）；
当时，即，
因为，所以，而，所以不成立，
故选：．
7．已知，，则
A．3B．C．D．2
【解析】：因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
故选：．
8．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，，离心率为，点，是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为
A．B．C．D．
【解析】：设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且是的中点．
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以是△的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线的方程为，
所以，，双曲线的渐近线方程为，
设，到两渐近线的距离之和为，则，
由，即，
又在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为．
故选：．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，是关于的方程的两根，则
A．B．
C．D．若，则
【解析】：由题意知，△，所以，
不妨设，，
所以，选项正确；
由，得，
当时，，选项错误；
计算，选项正确；
时，，
所以，
，，同理，选项正确．
故选：．
10．若函数，则
A．的最小正周期为
B．的图像关于直线对称
C．的最小值为
D．的单调递减区间为
【解析】：由，得的定义域为．
对于：当时，不在定义域内，
故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误；
对于：又，
所以的图像关于直线对称，所以选项正确；
对于：因为，设，
所以函数转化为，，，
由得，，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即，故选项正确；
对于：因为在上单调递减，在上单调递增，由，
令得，又的定义域为，
解得，
因为在上单调递增，
所以的单调递减区间为，
同理函数的递增区间为，所以选项正确．
故选：．
11．设为常数，，，则
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
【解析】：令，可得（a），结合，解得（a），故正确；
令，原式化为（a），
代入可得，所以原式即：，故正确；
再令得，即函数值非负，
令，可得（a），即（负值舍去），故正确；
所以仅有一个函数关系式满足条件，故错误．
故答案为：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若中元素至多有1个，则的取值范围是 或 ．
【解析】：由题意，方程，的解至多有1个
①时，方程，只有一个解；
②时，方程，的解至多有1个
则△，
综上所述，的取值范围是或
故答案为：或
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
【解析】：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线与底面所成的角为，易知．
圆锥的体积为，
令，，则，，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
即，此时．
故答案为：；．
14．函数的最小值 ．
【解析】：
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）设曲线在点，（1）处取得极值．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
【解析】：（1）；
；
曲线在点，（1）处取得极值；
（1）；
（2）；
；
时，，函数的单调递增；
或时，，函数的单调递减；
故函数的单调递增区间为：，；
递减区间：和；
极大值（1）；
极小值．
16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数的均值．
【解析】：（1）的可能取值为1，2，3，
，
，
故抽取次数的概率分布为：
；
（2）每次检验取到新球的概率均为，
故，
所以．
17．（15分）如图，在三棱柱中，，，且平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】：（1）证明：因为，所以
因为，所以．
在中，，即，
所以，即．（2分）
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面．
又平面，所以，
在△中，，，，
所以，即，
所以．
而，平面，平面，，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面中过点作的垂线，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，0，，
所以，，，，，，
所以，，，
平面的一个法向量为，1，，（10分）
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
18．（17分）已知抛物线的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．
【解析】：（1）设，、，、，，
由，两式相减，得，
所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得，
因此，直线的方程；
证明：（2）由（1）可知，则，①
由．，，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将①代入可得，解得，
所以点的横坐标小于2．
19．（17分）对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．
设，，，定义加法和数乘：，．
对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则．
【解析】：（1）对于①设，则可得，所以，线性相关；
对于②设 则可得，，，
所以，，所以线性相关；
对于③，设，则可得，，
解得，所以，，线性相关；
（2）设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，，，解得，
所以向量，， 线性无关；
（3）①，如果某个，，2，，，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，，，，，都等于0，
所以这些系数，，，或者全为零，或者全不为零，
②因为 所以，，，全不为零，
所以由，可得，
代入，可得，
所以，
所以，，，
所以
1
2
3