湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

2023年下学期周南中学高三年级入学考试

数学试题

时量：120分钟 满分：150分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数，则复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，化简得复数，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由复数，所以复数的虚部为.

故选：D.

2. 已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC；结合集合的包含关系推理判断D作答.

【详解】由是全集的两个非空真子集，，得，

如图，当时，，A错误；

观察图形，，BC错误；

由，得，因此，D正确.

故选：D

3. 已知向量，，若，则实数m的值是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量相等的坐标关系即可求出结果．

【详解】由得，所以

故选：B

4. 设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.

【详解】由，得，

于是，即，

而，且三个实数互不相等，因此，

所以大小关系是.

故选：D

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.

【详解】由，得，

两边平方得，即，

由，知，又，即，

即有，因此，所以

故选：C

6. 已知函数，在正项等比数列中，，则（    ）

A. 1011 B. 1012 C. 2023 D. 2024

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案.

【详解】由题意知，

由等比数列性质可得，

所以，

，

故选：C.

7. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．

【详解】圆的圆心为，

设关于直线的对称点为，

所以，解得，

关于直线的对称点为，

由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，

所以，解得：.

故选：B．

  【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.

8. 若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.

【详解】依题意，，函数的单调区间为，

由，而，得，

因此函数在区间上单调，

因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，

于是，则，解得，

由，且，解得，又，从而或，

当时，得，又，即有，当时，得，

所以的取值范围是.

故选：B

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题中，正确的命题有（    ）

A. 已知随机变量X服从正态分布且，则

B. 设随机变量，则

C. 在抛骰子试验中，事件，事件，则

D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正态分布的性质可判断A；由二项分布的方差公式可判断B；根据条件概率公式可判断C；由的意义可判断D.

【详解】A：因为且，所以，

所以，A错误；

B：因为，所以，B正确；

C：由题知，事件，所以，C错误；

D：由的意义可知D正确.

故选：BD

10. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（    ）

A. 为偶函数 B. 为奇函数

C. 的单调递减区间为 D. 的最大值是

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值.

【详解】∵，则为偶函数，A正确，B错误；

又∵在R上单调递增，且

则当时，则，当时，则

∴的单调递减区间为，单调递增区间为，C正确；

则，即的最小值为a，D错误；

故选：AC.

11. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为

B. 若点，则的最小值为5

C. 无论过点的直线在什么位置，总有

D. 若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，当直线与抛物线相切时，角度最大，设出直线方程，与抛物线方程联立，由根的判别式等于0得到答案；

B选项，由抛物线定义转化为只需取得最小值，数形结合得到答案；

C选项，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设直线方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到答案；

D选项，先得到，即三点共线，进而得到D正确.

【详解】A选项，不妨设点在轴上方，当直线与抛物线相切时，取得最大值，

由题意得，设直线方程为，

联立与得，

由，解得，这里取，

由于，故的最大值为，A正确；

B选项，过点作准线于点，连接，则有抛物线定义可知，

则，

要想取得最小值，则只需取得最小值，

过点作准线于点，与抛物线交于点，此时的值即为的最小值，

，则的最小值为，B错误；

C选项，显然当过点的直线斜率不存在时，，

当过点的直线斜率存在且不为0时，与抛物线交于两点，

设直线方程，

联立与得，

设，则，

则，

所以，

综上：无论过点的直线在什么位置，总有，C正确；

D选项，设，则点坐标为，过点的直线斜率不为0，

设直线方程为，联立抛物线方程，得到，

则，

则，，

故三点共线，则有，变形得到，

即，令，则，

若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得，D正确.

故选：ACD

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

12. 已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（    ）

A. 若为线段上任一点，则与所成角的范围为

B. 若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为

C. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为

D. 若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；判断轨迹形状并求出长度判断B；求出三棱锥外接球半径计算判断C；求出满足两个条件的点分别形成的图形，再结合圆锥曲线的意义判断D作答.

【详解】对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图，

由平面，平面，得，有，显然，

则为与所成的角，，当与重合时，，

当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大，

因此，，当与点重合时，有，，

所以与所成角的范围为，A正确；

对于B，由平面，得是直角三角形，，如图，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为，B正确；

对于C，连接，连接，如图，

显然分别为中点，则，

因此点是三棱锥外接球球心，球半径为，体积为，C错误；

对于D，连接，如图，，面积，

设点到平面的距离为，由三棱锥的体积为，得，解得，

由平面，平面，得，又，平面，

则平面，而平面，于是，同理，

又平面，从而平面，同理平面，则平面平面，

三棱锥的体积，于是点到平面距离为，

同理点到平面距离为，又，即平面与平面的距离为，

因此点在平面上或在过点与平面平行的平面上，

令与平面交于点，连接，有，，

于是直线与平面所成角的余弦，即直线与平面所成角大于，

则点在平面上，由，得点在以直线为轴，为顶点，轴截面顶角为的圆锥侧面上（除顶点外），

显然点P的轨迹是平面与上述圆锥侧面的交线，所以平面截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.

故选：ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 现有7个大小与形状完全相同､质地均匀小球，球上标有数字．从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出7个球任取3个所有可能数及数字的最小值为2的情况数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】因为7个球任取3个有种，其中所取出的小球上的数字的最小值为2的有种，

所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为，

故答案为：

14. 已知函数，若有四个解，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答.

【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，

当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，

显然函数在上的图象关于直线对称，如图，

方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为，

显然，不妨令，则有，，有，

因此，而对勾函数在上单调递增，则，即，

所以的取值范围是.

故答案为：

15. 如图，棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则球被平面截得的截面面积为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据给定条件，求出线段MN长及点O到平面的距离作答.

【详解】在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，

由分别为棱的中点，得，而平面，

则平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，

因此平面，而，，，则，

球半径，，从而，

球被平面截得的截面圆半径，

所以球被平面截得的截面面积.

故答案为：

16. 已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且为的中点，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案.

【详解】双曲线的两条渐近线为，

由解得，由解得，

线段的中点坐标为，设点，即有，

又，则，即点在第一象限，直线的纵截距为正，即，

又直线与圆相切，则有，解得，则直线，

由解得，有，于是，解得，

所以双曲线的离心率.

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 已知在锐角中，分别为内角的对边，若．

（1）求；

（2）若，求周长的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可求出角作答.

（2）由（1）及正弦定理求出三角形的周长表达式，再利用三角函数变换及正弦函数的性质求解作答.

【小问1详解】

在锐角中，由及正弦定理，

得，由余弦定理得，则，

而锐角，所以.

【小问2详解】

由（1）知，由正弦定理得，

因此的周长

，

由是锐角三角形，得，，即有，，

于是，则，即，

所以周长的取值范围为.

18. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，平面平面，，四棱锥的体积为.

（1）求长；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，求出，过点作，由面面垂直得到线面垂直，并求出四棱锥的高，利用体积列出方程，求出的长；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

【小问1详解】

取中点，连

，

，

∴，由勾股定理得：，

∴，

过点作为垂足，

平面平面，平面平面，平面，

平面

，

，

解得：；

【小问2详解】

如图，以为原点，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系.

∵，平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

故，，，

设平面的法向量为，

，取得：，

，

设直线与平面所成角为，

则

19. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望.

【答案】（1）0.0525   

（2）分布列见解析，期望为32（分钟）

【解析】

【分析】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，根据题设确定对应事件的概率，进而应用全概率公式求概率即可；

（2）由题设知，利用贝叶斯公式求对应值的概率，写出分布列，进而求期望.

【小问1详解】

设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，

则，且两两互斥.

根据题意，

.

由全概率公式，得

.

【小问2详解】

由题意知，则

，

同理得，

所以加工这个零件耗时的分布列为：

（分钟）.

20. 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）求证：．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；

（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.

【小问1详解】

成等差数列，成等比数列，

，，

数列为正数数列，，

当时，，，

，且，则，

，，，，

，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

，，

当时，满足上式，，

当时，，

当时，满足上式，.

【小问2详解】

证明：

当时，；

当时，；

当时，

.

综上所述，对一切正整数，有.

21. 已知，函数，.

（1）证明：函数，都恰有一个零点；

（2）设函数的零点为，的零点为，证明.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可.

【小问1详解】

函数的定义域为，，

时，，时，，

在上单调递减，在上单调递减增，

时，，，，

函数恰有一个零点.

函数的定义域为，，

时，，时，，

在上单调递减，在上单调递增，

时，，，

令（表示中最大的数），，

函数恰有一个零点；

【小问2详解】

由（1）得函数的零点为，且，的零点为，且，

则有，，

，，，

在上单调递增，由（1）可得，，，

，，

，，.原式得证.

【点睛】关键点睛：根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解是解题的关键.

22. 已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．

（1）求C的方程；

（2）若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记，（O为坐标原点）的面积分别为，，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据和求出和可得结果；

（2）设直线：，代入椭圆方程，求出的中点的坐标，再求出直线的方程，得的坐标，再求出，然后换元，利用导数得单调性，根据单调性可求出取值范围.

【小问1详解】

设，当时，，，，

依题意得，又，，

解得，，所以C的方程为.

【小问2详解】

由（1）知，，由题意可知，直线的斜率存在且不为，

设直线：，，，因为，所以为的中点，

联立，消去并整理得，

恒成立，

，，

所以，

所以，

则直线的方程为，

令，得，即，

令，得，即，

则，，

由题意得与相似，所以，

所以

，

所以，

设，因为，所以，

令，，，

所以为上的增函数，

所以，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：设直线：，利用表示的坐标，进而表示，再根据函数的单调性求取值范围是解题关键.