2022-2023学年广东省广州市七中高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省广州市七中高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市七中高一下学期期中数学试题 一、单选题1．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于的方程组解出即可.【详解】复数为纯虚数，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知向量．若，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示即可求出．【详解】因为，而，所以，解得．故选：B．3．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解.【详解】解：将其还原成原图，如图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.4．已知在中，，，，且，则的面积为（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为，，，所以有，解得，或，而已知，所以，因此的面积为，故选：C 二、多选题5．设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（    ）A．若，，则B．若l上有两点到的距离相等，则C．，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则D．若，，，，则【答案】ABD【分析】根据线线、线面、面面平行的判断定理及性质定理，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：对A：若，，则或，故选项A错误；对B：若l上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B错误；对C：，，两两相交于三条直线l，m，n，若，由线面平行的判断定理及性质定理可得，故选项C正确；对D：若，，，，则或与相交，故选项D错误.故选：ABD. 三、单选题6．已知向量，将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解．【详解】解：，将函数的图像向左平移个单位，得到，因为该函数关于轴对称，所以，，解得，，又因为，所以的最小值为．故选：B．7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（    ）A． B． C．100 D．300【答案】A【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度.【详解】如图由题意得：，，在中，，在中，，由正弦定理得：，即，解得：，由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，则（m）.故选：A8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，又因为，所以，所以当时，的最小值为，即的最小值为.故选：B. 四、多选题9．则下列命题中正确的是（    ）A．若复数z满足，则B．若z为复数，则必成立C．若复数，则D．若复数，，则【答案】ACD【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断【详解】对于A，若，设，即，则，，故A正确，对于B，若，则，故B错误，对于C，若，，，故C正确，对于D，设，则，可得，故D正确．故选：ACD10．已知平面向量，，则下列说法正确的有（    ）A． B．C．向量在上的投影向量为 D．向量与的夹角为【答案】BCD【分析】根据向量的模的坐标公式即可判断A；根据根据数量积的坐标运算即可判断B；根据，向量在上的投影向量为，即可判断C；根据向量夹角的计算公式即可判断D.【详解】解：对于A，，则，故A错；对于B，，则，故B正确；对于C，向量在上的投影向量为，故C正确；对于D,，又，所以向量与的夹角为，故D正确.故选：BCD.11．下列命题中，正确的是（    ）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.12．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（    ）A．平面B．与所成的角为30°C．平面D．平面截正方体的截面面积为【答案】ABD【分析】设点M为棱的中点，得到四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定A正确；再得到四边形为菱形，求得截面的面积，可判定D正确；设的中点为N，证得，得到为与所成的角，利用余弦定理求得，可判定B正确；假设平面正确，得到，结合，证得平面，得到，进而判定C错误．【详解】如图1所示，设点M为棱的中点，则平行且相等，所以四边形为平行四边形，又，平面，平面，所以平面，故A正确；由上可知，四边形为平面截正方体的截面，易得，故四边形为菱形，又其对角线，，故其面积为，故D正确；设的中点为，连接，因为分别为与的中点，所以，故为与所成的角，又，，由余弦定理可得，所以与所成的角为，故B正确；如图2所示，假设平面正确，则，又，，所以平面，得．在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，即平面错误，故C错误．故选：ABD． 五、填空题13．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为________.【答案】【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】∵，∴，∴复数对应的点为.故答案为：.14．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则异面直线MN与所成的角为______．【答案】45°/【分析】连接BD，可得与所成角即与所成角即可得【详解】如图，连接BD，，由M，N分别为BD，的中点知，易知与所成角即与所成角，即为45°．故答案为：45°15．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则___________.【答案】4【详解】如图建立直角坐标系，则=(-1,1)， =(6,2)， = (-1,-3)，由=λ＋μ，得，即解得，.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理. 16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.【答案】【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.故答案为： 六、解答题17．已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，再结合即可得到答案.（2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可.【详解】（1）因为所以，所以由于，所以.（2）由所以，即.而所以.18．在中，角对应的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得: 代入式子，化简得，，，，即，因为，所以.（2），由余弦定理得，的周长为．19．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.(1)求；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)的余弦值为 【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2) 与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.【详解】（1）又已知为的中点，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因为为的中点，所以，又，所以,所以，，所以，又与的夹角相等，所以，所以的余弦值为.20．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．(1)求证：平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行；（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面，进而可证明线线垂直.【详解】（1）设是的中点，由于是的中点，所以,由于是的中点，四边形是矩形,所以.所以,所以四边形是平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.（2）由于平面，平面，所以,因为,,平面，所以平面,因为平面,所以,因为是的中点,所以,因为,平面,以平面,又因为平面,所以.21．如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，则的面积，梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数，试求的伴随向量；(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在点，使得. 【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.【详解】（1），故；（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以.（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.