2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算化简复数z，然后根据复数的几何意义判断.

【详解】由题意可得：，

所以复平面内对应的点为，位于第四象限，

故选：D.

2．已知向量，，若，则实数（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量共线的坐标表示求参数即可.

【详解】由题设，故.

故选：D

3．的三内角所对边分别为，若，则角的大小（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

【详解】解：由余弦定理得，

因为，所以.

故选：B

4．若在线段上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量数乘运算的意义直接判断各个选项即可.

【详解】在线段上，，，，

对于A，，A错误；对于B，，B错误；

对于C，，C错误；对于D，，D正确.

故选：D.

5．四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正切函数的定义即可求得，再根据正切的和差公式即可求解.

【详解】依题意，设正方形的边长为1，

根据正切函数的定义有：，

所以.

故选：C.

6．如图，在中，为线段上的一点，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用和平面向量的加法和减法运算可得答案.

【详解】因为，所以，

即，所以.

故选：C.

7．已知（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为整体，结合倍角公式求解即可.

【详解】由题意，可得.

故选：A.

8．已知函数，则函数在区间上的最小值和最大值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换整理得，结合正弦函数求最值.

【详解】由题意可得：，

∵，则，

当，即，取到最小值；

当，即，取到最大值；

故选：B.

二、多选题

9．已知平面向量，，与的夹角为，则（    ）

A．·= 1 B．

C． D．在上的投影向量的模为

【答案】AC

【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：∵，

∴与不垂直，故B错误；

对于C：∵，

∴，故C正确；

对于D：在上的投影向量的模为，故D错误.

故选：AC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．

B．圆心角为的扇形半径为1，则该扇形的面积为

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D．长方体是直棱柱

【答案】BD

【分析】对于A：根据余弦函数的性质分析判断；对于B：根据扇形的面积公式运算求解；对于C、D：根据正棱锥、直棱柱的定义分析判断.

【详解】对于A：∵，且在内单调递减，

∴，即，故A错误；

对于B：该扇形的面积为，故B正确；

对于C：底面是正多边形，且侧棱长相等的棱锥是正棱锥，故C错误；

对于D：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，所以长方体是直棱柱，故D正确.

故选：BD.

11．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．最小正周期为

B．直线是图像的一条对称轴

C．点是图像的一个对称中心

D．将的图像向左平移个单位长度后，图像关于y轴对称

【答案】AC

【分析】根据图像最高点得到A，由周期得到ω，再将点代入函数解析式中求得φ，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】设函数的最小正周期为，

由图象可得：，

可得，故A正确；

则，且，解得，

可得，且图象过点，

可得，即，

∵，则，

可得，解得，

故.

∵不为最值，

则直线不是图像的一条对称轴，故B错误；

∵，

则点是图像的一个对称中心，故C正确；

将的图像向左平移个单位长度，得到，

且不是最值，

可知所得图像不关于y轴对称，故D错误.

故选：AC.

12．在中，记角所对的边分别为，若，则（    ）

A． B．

C． D．内角A的最大值为

【答案】BCD

【分析】由向量的数量积公式计算判断A、B选项；结合余弦定理判断C选项；由基本不等式和余弦函数的单调性判断D选项.

【详解】对于A、B：，故A选项错误，B选项正确；

对于C：因为，

所以，故C选项正确；

对于D：因为，当且仅当时，等号成立，

所以，且，

所以，故内角A的最大值为，故D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知复数（其中为虚数单位），则______.

【答案】

【分析】根据复数的除法运算，先得到，再由复数模的计算公式，即可求出结果.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求复数的模，涉及复数的除法运算，熟记复数运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.

14．在中，若，则的值为___________.

【答案】/

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】因为，由正弦定理，即，

所以，因为，

所以.

故答案为：

15．若，则______．

【答案】

【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可．

【详解】∵，

∴，

∴，

故答案为：．

16．在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________．

【答案】/

【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标表示及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，如图所示

由题意可知，设，

所以，

所以，，

由二次函数的性质知，当时，取最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．

(1)若试求D点的坐标；

(2)试求向量与的夹角余弦值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据向量相等可列方程求解；

（2）直接利用向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）设，则，

因为所以，解得

所以D点的坐标为.

（2）由（1）知，又，

所以，

故向量与的夹角余弦值为.

18．（1）已知复数，，若为纯虚数，求的值；

（2）已知复数z满足，求a的值.

【答案】（1）（2）2

【分析】（1）根据复数的相关概念运算求解；

（2）根据复数的四则运算结合模长公式运算求解.

【详解】（1）若为纯虚数，则，解得

故的值为；

（2）由题意可得：，

且，因此，解得，

故a的值为2.

19．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，且B为钝角.

(1)求B；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据正弦定理即可求解；

（2）由诱导公式和两角和的正弦公式得到，再根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）因为，，，

所以由正弦定理得：，则.

因为B为钝角，所以.

（2）由题意知，，，则.

因为，                  

所以的面积为.

20．（1）锐角三角形中，．，求的值．

（2）已知.求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据同角三角关系结合诱导公式、两角和差公式运算求解；

（2）根据诱导公式结合齐次式问题分析运算.

【详解】（1）因为，，且为锐角，

所以，，

因为，则，

所以

.

（2），

由，所以原式.

21．已知内角的对边分别为，且.

(1)求角A；

(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；

（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc，从而求解面积.

【详解】（1）∵，

由正弦定理得，

因为，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以.

（2）设外接圆的半径为，则，

由正弦定理得，

因为的周长为，所以，

由余弦定理得，

即，所以，

所以的面积 .

22．一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为（单位：平方米）．

(1)若，请写出（单位：平方米）关于的函数关系式；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)平方米

【分析】（1）延长交于，可用表示出，由此可得；

（2）令，将表示为关于的二次函数的形式，由二次函数最值的求法可求得结果.

【详解】（1）延长交于，

则米，米，

则米，米，

.

（2）由（1）得：，

令，则，

，，

，

，当时，，

即当时，矩形面积的最小值为平方米．