2.6二次函数与一元二次方程（含pdf版）-2023-2024学年升初三（新九年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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题型精析
知识点一 对ax2+bx+c=k的理解
题型一 对ax2+bx+c=k的理解
例1
若方程有两个解，请通过两种方法求出m的取值范围.
例2
若方程的两个根分别为，方程的两个根分别为，试比较的大小.
变1
若二次函数向下平移m个单位，但是始终与x轴有两个交点，请通过两种方法求出m的取值范围.
变2
已知方程的两个根分为别，请比较的大小．
知识点二 二次函数与坐标轴的交点
题型二 二次函数与坐标轴的交点
例1
请简述“函数”与“二次函数”的区别是什么？
例2
针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ）
【分析】根据判别式△，即可判断．
【解答】解：△
，
所以抛物线与轴一定有公共点，
故选：．
例3
关于抛物线下列说法正确的是（ ）
①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限．
【分析】根据抛二次项系数大于0可以判断①；根据△可以判定抛物线与轴交点的个数，从而判断②；当时，可以判断③；求出抛物线顶点坐标可以判断④．
【解答】解：抛物线，
抛物线开口向上，
故①正确；
令，则，
△，
抛物线与轴有一个或两个交点，
令，则，
抛物线与轴有一个交点，
综上，抛物线与坐标轴有两个或三个交点，
故②错误；
当时，，
抛物线一定过点，
故③正确；
抛物线，
顶点的横坐标为，
顶点的纵坐标为，
，
顶点不可能在第二象限，
故④正确．
故选：．
例4
若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论．
【解答】解：①当，即时，，
令，则，
解得，
此时函数的图象与轴只有一个交点，
②当时，
二次函数的图象与轴只有一个交点，
△，
解得．
综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为3或5．
故选：．
变1
二次函数与轴交点个数情况为（ ）
【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断二次函数与轴的交点个数．
【解答】解：△，
二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
故选：．
变2
若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足（ ）
【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．
【解答】解：当时，，
此时一次函数与轴只有一个公共点，
当时，
令，则，
二次函数与轴只有一个交点，
△，
解得，
综上所述，或．
故选：．
变3
已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为（ ）
【分析】函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，可分两种情况讨论：过坐标原点，则有；与轴、轴各有一个交点，即当时，△，且．求解即可获得答案．
【解答】解：函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则，
两种情况讨论：
①对称轴为直线，当函数图象经过坐标原点时，则有，
解得；
②当与轴、轴各有一个交点时，则该函数图象与轴只有一个交点，
即：，△，且，
，
解得：（舍去）或，
综上所述，实数的值为1或，
故选：．
题型三 函数的交点与方程解的关系
例1
若二次函数的图象经过点，，则关于的方程的解为（ ）
【分析】方程的解是二次函数的图象与轴交点的横坐标．
【解答】解：二次函数的图象经过点，，
方程的解为，．
故选：．
例2
根据下表中代数式的取值情况，
可知方程的根是（ ）
【分析】由表知当和时，，从而得出答案．
【解答】解：由表知当和时，，
的根，，
故选：．
变1
已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ）
【分析】利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．
【解答】解：与交于点，两点，
方程个根为，，
故选：．
变2
已知二次函数的部分与的值如下表：
根据表格可知，一元二次方程的解是（ ）
【分析】从表格看，抛物线的对称轴为，当时，，根据函数的对称性，当时，，即可求解．
【解答】解：从表格看，抛物线的对称轴为，
当时，，
根据函数的对称性，当时，，
即或5，
故选：．
例3
抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）

【分析】解法一：观察图象可得抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，再根据抛物线的对称性即可求解．
解法二：直接利用跟与系数的关系即可求解．
解法三：将代入抛物线解析式中，求出，再令，求解即可．
【解答】解：解法一：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线的另外一个交点为，
一元二次方程的根为，．
故选：．
变3
二次函数在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与轴的另一个交点的横坐标为（ ）

【分析】由图象可知二次函数的对称轴方程为，根据对称性可求得答案．
【解答】解：由图象可知二次函数的对称轴方程为，
又图象与轴的交点关于对称轴对称，
故另一个交点到对称轴的距离等于，
故另一交点的横坐标为4，
故选：．
题型四 二次函数交点的对称性
例1
如图，若抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（ ）

【分析】根据图象的对称性求解即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故选：．
变1
二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为（ ）
【分析】根据二次函数解析式求得对称轴是直线，由抛物线的对称性得到答案．
【解答】解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
其中一个交点的坐标为，
另一个交点的坐标为，
故选：．
例2
若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（ ）
【分析】先把代入得出，再把代入，然后令，解方程即可．
【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为2，
，
解得，
把代入中，
得，
当时，，
即，
，
，
解得或，
二次函数与轴的交点坐标为和，
故选：．
例3
已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ）
【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为：，
根据抛物线的对称性得：抛物线与轴的另一个交点是，
关于的一元二次方程的两个实数根是：，，
故选：．
变2
若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
【分析】首先求出二次函数图象与轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解．
【解答】解：，
二次函数的图象的对称轴方程为直线，
二次函数的图象经过点，
二次函数图象与轴的另一个交点坐标为，
方程解为．
故选：．
变3
已知抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则的值为（ ）
【分析】根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
【解答】解：抛物线过点，，
对称轴是直线．
又抛物线与轴只有一个交点，
设抛物线解析式为，
把代入，得
，即．
故选：．
题型五 二次函数的交点与平移
例1
若函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ）

【分析】根据函数图象可知该函数有最小值，故当时，存在两个不同的使其成立，从而可以得到一元二次方程的根的情况．
【解答】解：由图象可得，
函数的最小值是，
存在两个不同的使得，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
例2
已知二次函数y=-x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程-x2+bx+c-4=0的根的情况是（ ）
【解题思路】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．
【解答过程】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
变1
二次函数，，，为常数）的图象如图所示，则有实数根的条件是（ ）

【分析】由于抛物线与直线有交点时，方程有实数根，观察函数图象得到当时，抛物线与直线有交点，即可得出结论．
【解答】解：当抛物线与直线有交点时，方程有实数根，
由函数图象得：直线与抛物线只有一个公共点，
当时，抛物线与直线有交点，
即方程有实数根的条件是，
故选：．
变2
如图，二次函数的图象．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ）

【分析】先根据抛物线的开口向上可知，由顶点纵坐标为得出与关系，再根据一元二次方程有实数根可得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：（法抛物线的开口向上，顶点纵坐标为，
，，即，
一元二次方程有实数根，
△，即，即，解得，
的最大值为3．
（法一元二次方程有实数根，
可以理解为和有交点，
可见，
，
的最大值为3．
故选：．
例3
已知二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，二次函数的图象与轴的一个交点是，则的值是（ ）
【分析】根据交点坐标即可得到向右平移7个单位得到点，向右平移1个单位得到点，而二次函数的图象向右平移个单位得到二次函数，从而求得的值为或．
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，
二次函数的图象向右平移个单位得到二次函数，
二次函数的图象与轴的一个交点是，
向右平移7个单位得到点，向右平移1个单位得到点，
的值为或，
故选：．
变3
二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（ ）

【分析】二次函数向左平移3个单位，向下平移2个单位得到，进而求解．
【解答】解：二次函数向左平移3个单位，向下平移2个单位得到，
则原抛物线向下平移2个单位，则此时抛物线和轴的交点坐标为、，
此时，再将抛物线向左平移3个单位，则此时抛物线和轴的交点坐标为、，
即或，
故选：．
题型六 二次函数与不等式
例1
已知函数，其图像如图所示，则：
5
-2
（1）若，求的取值范围？
（2）根据第（1）问，思考若，求的取值范围？
变1
已知函数，其图像如图所示，则：
-1
-2

（1）若，求的取值范围？
（2）根据第（1）问，思考若，求的取值范围？
例2
抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）

【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，．
故选：．
例3
在二次函数中，若函数值大于0，则结合函数图象判断的取值范围是（ ）
【分析】先令，解方程求出抛物线与轴的交点坐标，再根据函数的图象求出函数值大于0时的取值范围．
【解答】解：令，则，
解得或，
，抛物线开口向下，
函数值大于0时的取值范围为，
故选：．
变2
已知函数的图象如图所示，当时，则于的取值范围是（ ）

【分析】利用图象即可的出当时的取值范围．
【解答】解：如图所示，抛物线图象与轴的交点坐标为和，
则当时，则或，
故选：．
变3
函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是（ ）
【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后利用函数图象写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线：
．
抛物线与轴的一个交点坐标为：，
由二次函数图象性质可知，轴的另一个交点与关于对称，
所以另外一个交点的坐标为：，
，
抛物线开口向下，
当或时，．
故选：．
题型七 四点比较大小问题
例1
已知二次函数，若m，n是关于x的方程的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（ ）
【答案】A
【分析】利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m，n，p，q的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，
∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，
∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，
∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，
∴p，q一定处在m，n中间
故选：A．
例2
已知二次函数，其中，m，n(m