精品解析：河北省张家口市宣化第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

宣化一中高二3月月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线斜率的计算公式，结合已知条件，列出方程，即可求得参数值.

【详解】根据题意可得，解得.

故选：D.

2. 设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，从而可得答案.

【详解】设数列的公差为，

因为，

所以，

解得，，

故.

故选：A.

3. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和的关系可得椭圆方程.

【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：，椭圆焦点在轴上，且，

又长轴长为，即，，，

椭圆方程为：.

故选：A.

4. 若函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义即可求解.

【详解】函数，则，

所以，则曲线在点处切线的斜率为，

故选：.

5. 位教师和位学生排成一排合影留念，师生相间的排法种数为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先确定师生站法，再分别对师生全排列即可

【详解】师生站法只有两种，为师生师生师生与生师生师生师

所以师生相间的排法种数为种，

故选：C

6. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A. 90 B. 250 C. 210 D. 850

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比数列的求和公式，求出，，即可求得结论．

【详解】解：由题意数列的公比，设首项为，

，，

，，

两式相除可得，，

，

故选：D．

7. 展开式中的常数项为（    ）

A.  B.  C. 20 D. 40

【答案】D

【解析】

【分析】求出展开式中和的系数，与中相应项相乘相加可得．

【详解】由题意常数项为：，

故选：D.

【点睛】本题考查二项式定理，考查求展开式中某一项系数．注意本题是两个多项式相乘，因此所求系数要由多项式乘法法则计算．

8. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.

【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，

设直线AB为， ，，，不妨设，则，

所以，解得：，则，解得：，则，

所以，解得：，则直线AB为，

所以当时，即，解得：，则，

联立与得：，则，

所以，其中.

故选：C

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 设是等差数列的前n项和，且，则（    ）

A.  B. 公差

C.  D. 数列的前n项和为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，即可判断选项、、，

再利用裂项求和即可判断选项D.

【详解】因为数列是等差数列，则，解得：，故选项B正确；

所以，

对于选项A：，故选项A不正确；

对于选项C：，所以故选项C正确；

对于选项D：，

所以前n项和为

，故选项D正确，

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

10. 已知直线与圆，则（    ）

A. 直线与圆C相离

B. 直线与圆C相交

C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个

D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个

【答案】BD

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.

【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.

故选：BD

11. 设随机变量的分布列为，则

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.

【详解】随机变量的分布列为,

， 解得，

故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故答案为：A、B、C.

【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12. 已知椭圆，点右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ）

A. 周长为定值 B. 直线与的斜率乘积为定值

C. 线段的长度存在最小值 D. 该椭圆离心率为

【答案】BCD

【解析】

【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．

【详解】该椭圆中，则，

所以离心率为，故D正确；

设，，，

则在、斜率都存在的前提下有，，

于是

为定值，故B正确；

由题意可设的方程为，

联立，消得，

则，

所以

，

则当时，，

所以线段的长度存在最小值，故C正确.

当时，直线与椭圆交于点和，

不妨取点，得直线方程为，

求得交点为，

则，，，此时的周长为，

当时，联立，解得，不妨取，

则垂直于轴，此时，，，

此时的周长为，

显然周长不为定值，故A错误；

故选：BCD．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 经过点和点的直线的斜率是____________.

【答案】

【解析】

【分析】由两点斜率公式即可求解.

【详解】由两点斜率公式可得,

故答案为：

14. 数列的前项和为，，则通项公式______．

【答案】

【解析】

【分析】利用公式进行求解.

【详解】由题知，当时，，

当时，  ①

又   ②

由②减去①有：，

当不满足上式，所以.

故答案为：.

15. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】两圆方程相减即可得到公共弦方程.

【详解】解：圆，即，圆心为，半径，

圆，即，圆心为，半径，

所以，则，即两圆相交，

所以两圆方程相减得，

即两圆公共弦所在直线的方程为.

故答案为：.

16. 已知双曲线且圆的圆心是双曲线的右焦点.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为____________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为，再由圆心到渐近线的距离为，得到关系，结合，即可求解.

【详解】∵.①取渐近线，

又.②

由①②可得，，

∴双曲线的方程为.

故答案为:.

【点睛】本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 生物兴趣小组有名学生，其中正、副组长各名，组员名．现从该小组选派名同学参加生物学科知识竞赛．

（1）如果正、副组长人中有且只有人入选，共有多少种不同的选派方法？

（2）如果正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？

【答案】（1）90；（2）81.

【解析】

分析】

（1）正、副组长2人中有且只有1人入选，可知10名组员中有2人入选，即可求解.

（1）由正、副组长人中至少有人入选，可分为两类，一类为只有1人入选，另一类为2人都入选，再根据组员甲没有入选确定其他组员入选情况，进行求解.

【详解】（1）正、副组长2人中有且只有1人入选，

选派方法数为.

（2）正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，

选派方法数为.

正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

.

所以正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

.

18. 已知数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据求解即可；

（2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可.

【小问1详解】

解：当时，．

当时，，

所以，

因为也满足，

所以通项公式为．

【小问2详解】

解：由（1）得，

所以，

所以．

19. 已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.

（1）求该圆的方程；

（2）求过点的该圆的切线方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；

（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.

【小问1详解】

设圆方程为，

圆心到直线的距离为，

又圆被直线截得的弦长为，，

圆的方程为：.

【小问2详解】

当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；

当切线斜率存在时，设切线方程为，即，

由得：，切线方程为，即，

综上所述：过点的圆的切线方程为或.

20. 已知函数.

（I）若函数在处的切线方程为，求的值；

（II）若在上为增函数，求实数得取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】（I）利用导数的几何意义及切点在曲线上和切线上即可求解；

（II）根据函数在上为增函数转化为在上恒成立，再将函数恒成立问题转化为求函数的最值，结合函数单调性即可求解.

【详解】（I）由题意可知，，

又因为在处的切线方程为，

所以，解得.

所以的值分别为.

（II）由（I）知，，

因为在上为增函数，

所以上恒成立.

即在上恒成立等价于，即可.

令，，则

由幂函数的性质知，在上为增函数；

，即.

所以实数得取值范围为.

21. 已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）求在上的最值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；

（2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．

【小问1详解】

，.

，所以切线方程为，即.

【小问2详解】

在单调递增；

在单调递减，

时，取极大值也是最大值，

，

.

22. 已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．

【答案】（1）；   

（2）见解析.

【解析】

【分析】(1)由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；

(2)设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可．

【小问1详解】

虚轴长为4，，即，

直线为双曲线的一条渐近线，

，，

故双曲线的标准方程为．

【小问2详解】

由题意知，，，

由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，

设，，，

联立，得，

，，

，

直线的斜率，直线的斜率，

，为定值．