2023年山东省德州市武城县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省德州市武城县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年月，神舟十三号搭载的万粒作物种子顺利出舱．其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(    )

A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否是
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等

8.  如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  某工厂生产、两种型号的扫地机器人型机器人比型机器人每小时的清扫面积多；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用分钟两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在锐角中，分别以和为斜边向的外侧作等腰和等腰，点、、分别为边、、的中点，连接、、、根据题意小明同学画出草图如图所示，并得出下列结论：，，，，其中结论正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

14.  已知一组数据，，，，的平均数是，则关于的函数解析式是______ ．

15.  在半径为的中，弦的长为，则弦所对的圆周角的度数为______ ．

16.  墨子天文志记载：“执规矩，以度天下之方圆”度方知圆，感悟数学之美如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若：：，则四边形的外接圆的周长为______ ．

17.  利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______ ．

18.  如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19.  解不等式组：，并写出它的所有整数解．

四、解答题（本大题共7小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

22.  本小题分
小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立，两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点测得，，请你依据所测数据求出这段河流的宽度结果精确到．
参考数据：，，，，，．
 

23.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，的半径为，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：型号价格

某营业厅购进、两种型号手机共花费元，手机销售完成后共获得利润元．
营业厅购进、两种型号手机各多少部？
若营业厅再次购进、两种型号手机共部，其中型手机的数量不多于型手机数量的倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

25.  本小题分
问题背景：
如图，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
在一次数学活动中，小王同学将图中的绕点按逆时针方向旋转如图所示，得到结论：
的值为______；
直线与所夹锐角的度数为______；
小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图所示位置．请问探究中的结论是否仍然成立？并说明理由；
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．

 

26.  本小题分
如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点直线经过，两点．
求抛物线及直线的函数表达式；
点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.此图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.此图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确选项．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握概念是本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方、幂的乘方法则及单项式除法法则、完全平方公式逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看该几何体它是一个斜边在左侧的三角形，
故选：．
根据左视图的定义解答即可．
本题考查了简单几何体的三视图，从左面看得到的视图是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，，
，
直线，
．
故选：．
先由已知直角三角板得，然后由，求出的度数，再由直线，根据平行线的性质，得出．
此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：把、、分别记为、、，
画树状图如下：

共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，即、、、．
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：．
画树状图，可知共有种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图可知，平分，
，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，是的垂直平分线，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C.，，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
D.，，
；
故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
 

9.【答案】 

【解析】解：由二次函数图象可知，，
由对称轴，可知，
所以反比例函数的图象在一、三象限，一次函数经过二、三、四象限．
故选：．
先根据二次函数的图象，确定、、的符号，再根据、、的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可．
本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出、、的取值范围．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．由切线的性质得出，利用四边形内角和可求，再利用圆周角定理可求，再根据圆内接四边形对角互补可求．
【解答】
解：如图所示，连接，，在优弧上取点，连接，，

、是的切线，
，
，
，
又圆内接四边形的对角互补，
．  

11.【答案】 

【解析】解：若设型扫地机器人每小时清扫，则型扫地机器人每小时清扫，
根据题意，得．
故选：．
若设型扫地机器人每小时清扫，则型扫地机器人每小时清扫，根据“清扫所用的时间型机器人比型机器人多用分钟”列出方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、、分别为边、、的中点，且是等腰直角三角形，
，，，，
，，故结论正确；
连接，，

、、分别为边、、的中点，且是等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，故结论正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
又≌，
，
，
，
，故结论正确；
，
∽，
，
，
，故结论错误，
正确的结论为，共个，
故选：．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论，连接，，通过定理证明≌判断结论，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论，利用相似三角形的判定和性质判定结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

13.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且．
故答案为且．  

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：

．
故答案为：．
根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．
本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公式是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：根据题意，弦与两条半径组成等边三角形，
弦所对的圆心角，
圆周角在优弧上时，圆周角，
圆周角在劣弧上时，圆周角．
圆周角的度数为或．
故答案为：或．
根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是，要计算它所对的圆周角，
应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此时圆周角是；
当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此时圆周角是．
注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接设的中点为．

正方形∽正方形，相似比为：，
又正方形的面积为，
正方形的面积为，
，
，
，
正方形的外接圆的周长，
故答案为：．
如图，连接利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论．
本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积第二个矩形左上角的长方形的面积，
所以原矩形面积为，
故答案为：．
根据第一个矩形的左上角的三角形面积第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可．
本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：，是等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为，
依此类推：的坐标为：，
的横坐标为，
故答案为：．
根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
 

19.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为，． 

【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
 

20.【答案】解：


． 

【解析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 

【解析】由的人数除以所占的比例即可求得，一共抽取的学生为：名；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
，
，
这段河流的宽度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则，
在中，，，
，，
，
，
，
，


． 

【解析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设营业厅购进、两种型号手机分别为部、部，
，
解得，，
答：营业厅购进、两种型号手机分别为部、部；
设购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元，
，
型手机的数量不多于型手机数量的倍，
，
解得，，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：营业厅购进种型号的手机部，种型号的手机部时获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进、两种型号手机各多少部；
根据题意，可以得到利润与种型号手机数量的函数关系式，然后根据型手机的数量不多于型手机数量的倍，可以求得种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
 

25.【答案】   或 

【解析】解：如图，，，，
，
如图，设与交于点，与交于点，

绕点按逆时针方向旋转，
，
∽，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：，；
结论仍然成立，
理由如下：如图，设与交于点，与交于点，

将绕点按逆时针方向旋转，
，
又，
∽，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为．
拓展延伸：如图，当点在的上方时，过点作于，

，，点是边的中点，，
，，，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
由可得：，
，
，
的面积；
如图，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，

同理可求：的面积；
故答案为：或．
通过证明∽，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得，，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；
点、关于抛物线的对称轴对称，
如图，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，

理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
由知，抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；
存在，理由如下：
设点的坐标为、点的坐标为，
当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
则，，，，

由题意得：，
，
，
，
又，
∽，

，，
，，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为；
当点在点的右侧时，

分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，、，
同理可得：∽，

，，
即，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为，
点的坐标为或 

【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，
用待定系数法即可求解；
点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，进而求解；
当点在点的左侧时，证明∽，则，进而求解；当点在点的右侧时，同理可解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法，与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．