2023年浙江省衢州市龙游三中中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省衢州市龙游三中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国幅员辽阔，陆地面积约为万平方公里，“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列说法中，正确的个数为(    )
扇形统计图是用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分．
要清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比应选择条形统计图．
要反映某日气温的变化情况，应选择折线统计图．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  王师傅用根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？(    )

 

A. 根 B. 根 C. 根 D. 根

6.  一个三位数，百位数字为，十位数字比百位数字大，个位数字比百位数字的倍小，用代数式表示这个三位数为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，已知四边形内接于，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额为万元．若该公司、两个月营业额的月均增长率均为，依题意可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，等腰直角三角形的顶点、分别在直线、上，若，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  关于的方程的解为______．

12.  一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为______．

13.  小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是______填序号

 

14.  把个练习本分给个学生，如果每人分本，那么余本；如果每人分本，那么最后一个同学有练习本但不足本，的值为______ ．

15.  如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则______度．

16.  如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为，若四边形的面积为，，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  已知若，为实数，且，求的值．

四、解答题（本大题共7小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

本次调查随机抽取了______名学生；表中______，______；
补全条形统计图；
若全校有名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

19.  本小题分
已知：如图，中，，于，平分交于，交于，过作交于，求证：．

20.  本小题分
水池中有水，：时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，：时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，：时再关闭里另一个出水口，：时水池中有水，王师傅的具体记录如表，设从：开始经过池中有水，如图中折线表示关于的函数图象．
每个出水口每分钟出水______，表格中______；
求进水口每分钟的进水量和的值；
在整个过程中为何值时，水池有水

21.  本小题分
如图，一座山的一段斜坡的长度为米，且这段斜坡的坡度：沿斜坡从到时，其升高的高度与水平前进的距离之比已知在地面处测得山顶的仰角为，在斜坡处测得山顶的仰角为求山顶到地面的高度是多少米？结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可

22.  本小题分
已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．

23.  本小题分
我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，若销售价为元，每天可售出件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．设每件童装降价元时，平均每天可盈利元．
写出与的函数关系式；
当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利元？
该专卖店要想平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．

24.  本小题分
阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成份，所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形若，，求的值；
拓展探究
如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形设大正方形的边长为定值，小正方形，，，的边长分别为，，，．
已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程与的关系式用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“万”用科学记数法表示为，
故选：．

此题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故C错误；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、均可能是该直棱柱展开图，不符合题意，而选项B中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：．
直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．
考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据统计图的特点，知
中，根据扇形统计图的意义，知圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分．故正确；
中，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比．故错误；
中，折线统计图表示的是数据的变化情况．故正确．
故选：．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
本题考查各种统计图的形式及体现内容．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单
根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】
解：如图，

加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的及，
这种做法根据的是三角形的稳定性，
故他再钉上根木条，即可使这个木架不变形．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：．
故选：．
直接利用百位、十位、个位数字关系，进而得出答案．
此题主要考查了列代数式，正确表示出三位数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】
解：四边形内接于，，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设该公司月，月两个月营业额的月均增长率是．
根据题意得．
故选：．
用增长后的量增长前的量增长率即可表示出月与月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程．
本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．解与变化率有关的实际问题时：主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；可直接套公式：原有量增长率现有量，表示增长的次数．
 

9.【答案】 

【解析】

【解答】
解：如图所示：

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
故选B．
【分析】
本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出，即可得出的度数．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程，
移项，得，
合并同类项，得．
解得．
故答案为：．
方程移项、合并同类项、把系数化为，即可求出解．
本题考查了一元一次方程的解法，方程移项，把系数化为，即可求出解．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
多边形的内角和定理为，多边形的外角和为，根据题意列出方程求出的值．
本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：距离越来越大，故本选项不合题意；
距离越来越小，但前后变化快慢一样，故本选项不合题意；
距离越来越大，故本选项不合题意；
距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项符合题意；
故答案为：．
根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来从车，可得距离变化快．
本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
为整数，
的值为或．
故答案为：或．
不足本说明最后一个人分的本数应在和之间，但不包括．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．
 

15.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形两底角相等求出，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
轴，
轴，
点，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
设点，可得，，从而得到，再由可得点，从而得到，然后根据，即可求解．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
 

17.【答案】解：由题意，，
，

又，
，
，，
 

【解析】先根据二次根式有意义的条件得出的值，代回代数式求出的值，继而代入计算可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
 

18.【答案】解：；；；
补全条形统计图如图所示；












人，
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有人． 

【解析】解：本次调查随机抽取了名学生，，，
故答案为；；；
见答案；
见答案．
用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；
根据题意补全条形统计图即可得到结果；
全校名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

19.【答案】证明：过作于，
平分，，
角平分线上的点到角两边的距离相等，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
又已证，
，
，，
，，
在和中，，
≌，
，
，
即． 

【解析】过作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到，所以，再证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到，都减去即可得到．
本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：；；
设进水口每分钟的进水量为，可得：，
解得：，
答：进水口每分钟的进水量是，的值是；
直线的解析式为，可得：，
解得：，
所以直线的解析式为：，
把代入，解得：；
直线的解析式为，可得：，
解得：，
所以直线的解析式为：，
把代入，解得：，
综上所述，在整个过程中为或时，水池有水 

【解析】此题考查一次函数问题，关键是得出进水管和出水管的速度．
根据直线的解析式图象得出每个出水口每分钟出水速度为，进而得出的值即可；
根据直线的解析式的图象得出进水口每分钟的进水量，进而得出的值；
把代入两个解析式中解答即可．
【解答】
解：由直线图象可得：每个出水口每分钟出水速度为分钟；
图中的值等于；
故答案为：；；
见答案；
见答案．
 

21.【答案】解：作于设．

：：，
在中，，
，，
在中，，
，
又，，
，，
在中，，
，
．
答：山顶到地面的高度是米 

【解析】作于设在中，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

解：连结，如图，
为直径，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是的切线；
由为直径得，根据等腰三角形的性质得，所以，在中，根据含度的直角三角形三边的关系得，，所以．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
 

23.【答案】解：根据题意得，
与的函数关系式为；
当时，，
解得，不合题意舍去．
故当该专卖店每件童装降价元时，平均每天盈利元；
该专卖店不可能平均每天盈利元．
当时，，
整理得，
，
方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利元． 

【解析】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
根据总利润每件利润销售数量，可得与的函数关系式；
根据中的函数关系列方程，解方程即可求解；
根据中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
 

24.【答案】解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，证明如下：
如图是由直角边长分别为，的四个全等的直角三角形与中间一个边长为的小正方形拼成的一个边长为的大正方形，
的面积正方形的面积正方形是面积，
即，
整理得：；
由题意得：正方形被分成个全等的四边形，
设，，
，
正方形是由正方形被分成的个全等的四边形和正方形拼成，
，，，
，
，
由得：，
解得：，
；
，理由如下：
如图所示：
设正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
∽∽，
，，
即，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
． 

【解析】由题意得的面积正方形的面积正方形是面积，即，整理即可；
设，，则，再由题意得，，，则，由求出即可；
设正方形的边长为，正方形的边长为，证∽∽，得，，则，，再由勾股定理得：，则，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理的证明、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据“赵爽弦图”证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．