江苏省无锡市2021-2022高一下学期数学期末调研试卷及答案

这是一份江苏省无锡市2021-2022高一下学期数学期末调研试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省无锡市普通高中2021—2022学年高一下学期期终调研考试
数学试题
命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足，则＝
A． B． C．1 D．2
2．若直线l不平行于平面，且l，则下列结论成立的是
A．内的所有直线与l是异面直线 B．内的所有直线与l都相交
C．内存在唯一一条直线与l相交 D．内存在无数条直线与l相交
3．已知向量＝(1，0)，＝(1，1)，若与共线，则实数的值为
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
4．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为
A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等
5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：

则第85百分位数是
A．3325 B．3130 C．3050 D．2950
6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为
A． B． C． D．
7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
8．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝2，a2sinC＝6sinA，则△ABC面积的最大值为
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则
A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同
10．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是
A．若sinA＞sinB，则A＞B
B．若a2＋b2﹣c2＞0，则△ABC是锐角三角形
C．若acosB＋bcosA＝a，则△ABC是等腰三角形
D．若，则△ABC是等边三角形
11．四棱台A1B1C1D1—ABCD的底面ABCD是正方形，A1A⊥平面ABCD，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，则下列说法正确的有
A．直线B1B与直线D1D异面
B．平面BB1D1D⊥平面AA1C1C
C．直线B1D1与直线CD所成角的大小为45°
D．该四棱台的体积为
12．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到3号球的概率分别为P1，P2，P3，则
A．P1＜P2 B．P1＜P3 C．P2＞P3 D．P1＋P2＋P3＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，且A，B互斥，则P(AB)＝ ．
14．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C＝60°，a＝1，c＝，则b＝ ．
15．点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一点，则的最小值为
．
16．四面体ABCD的四个顶点都在球О的球面上，△ABC和△ADC是边长为2的等边三角形，BD＝，则球О的体积为 ；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数，．
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若复数(R)为纯虚数，求z的虚部．
18．（12分）
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．


19．（12分）
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，为两个夹角成60°的单位向量，，．
（1）求；
（2）设，问是否存在实数t，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．


20．（12分）
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照[0，4)，[4，8)，…，[32，36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按3元/m3收费，第二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按5元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按8元/m3收费．
（1）求直方图中a的值；
（2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；
（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？

21．（12分）
如图，在四棱锥Р—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点．
（1）若F为BC中点，求证：PM∥平面AEF；
（2）设直线EF与底面ABCD所成角的大小为，二面角E—AF—B的大小为，若tan＝tan，求BF的长度．








22．（12分）
△ABC中，已知AB＝1，BC＝，D为AC上一点，AD＝2DC，AB⊥BD．
（1）求BD的长度；
（2）若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB＋2PD的最大值．







江苏省无锡市普通高中2021—2022学年高一下学期期终调研考试
数学试题
命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足，则＝
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，∴＝．
2．若直线l不平行于平面，且l，则下列结论成立的是
A．内的所有直线与l是异面直线 B．内的所有直线与l都相交
C．内存在唯一一条直线与l相交 D．内存在无数条直线与l相交
【答案】D
【解析】设直线l＝P，平面内不过点P的直线与l是异面直线，平面内过点P的直线与l是相交直线，且有无数条，故D正确．
3．已知向量＝(1，0)，＝(1，1)，若与共线，则实数的值为
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【答案】C
【解析】＝(1＋，)，＝(＋1，1)，∵与共线，∴1＋﹣ (＋1)＝0，解得＝±1．
4．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为
A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等
【答案】A
【解析】显然事件A和事件B可以同时发生，故选A．
5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：

则第85百分位数是
A．3325 B．3130 C．3050 D．2950
【答案】B
【解析】先将12个数从小到大排列，2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325，计算12×85%＝10.2，故第11个数即为第85百分位数，即为3130．
6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】该几何体是由两个共底面的圆锥组合而成，圆锥底面半径为1，母线为，故一个圆锥的侧面积为，该组合体的表面积为．
7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴O为BC的中点，即BC为直径，又，易知△OAB为正三角形，过A作AE⊥OB于点E，则E为OB中点，故得，即向量在向量上的投影向量为．
8．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝2，a2sinC＝6sinA，则△ABC面积的最大值为
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】∵a2sinC＝6sinA，∴ac＝6，∴cosB＝，当且仅当a＝c时取“＝”，∴sinB≤，故S≤≤．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则
A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】AD
【解析】根据平均数的计算公式可知，两组样本数据的样本平均数相同，故A正确；无法判断两组数据的中位数情况，故B无法判断；由于第一组数据在计算标准差的过程中×，新样本数据在计算标准差的过程中×，故标准差不相同，C错误；由于两组数据的最大值和最小值相等，故极差相同，D正确．
10．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是
A．若sinA＞sinB，则A＞B
B．若a2＋b2﹣c2＞0，则△ABC是锐角三角形
C．若acosB＋bcosA＝a，则△ABC是等腰三角形
D．若，则△ABC是等边三角形
【答案】AC
【解析】∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B，故A正确；∵a2＋b2﹣c2＞0，即cosC＞0，则C是锐角，仅一个角是锐角无法得出△ABC是锐角三角形，B错误；∵acosB＋bcosA＝a，∴c＝a，∴△ABC是等腰三角形，C正确；根据可得tanB＝tanC＝1，故B＝C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，D错误．
11．四棱台A1B1C1D1—ABCD的底面ABCD是正方形，A1A⊥平面ABCD，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，则下列说法正确的有
A．直线B1B与直线D1D异面
B．平面BB1D1D⊥平面AA1C1C
C．直线B1D1与直线CD所成角的大小为45°
D．该四棱台的体积为
【答案】BCD
【解析】由于四棱台延长四条侧棱交于同一点，则可知直线B1B与直线D1D相交，故A错误；∵A1A⊥平面ABCD，∴BD⊥A1A，∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵A1AAC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，∵BD平面BB1D1D，∴平面BB1D1D⊥平面AA1C1C，B正确；根据四棱台可知B1D1∥BD，∴∠BDC就是直线B1D1与直线CD所成的角，由于∠BDC＝45°，∴直线B1D1与直线CD所成角的大小为45°，C正确；设四棱台体积为V，则V＝，D正确．
12．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到3号球的概率分别为P1，P2，P3，则
A．P1＜P2 B．P1＜P3 C．P2＞P3 D．P1＋P2＋P3＝
【答案】ABD
【解析】P1＝，先后不放回的摸出两个球，共有6种情况，其中选到3的有三种情况，故P2＝＝，同时摸出两个球，共有3种情况，其中选到3的有两种情况，故P3＝．∵＜，∴P1＜P2，A正确；∵＜，∴P1＜P3，B正确；∵＜，∴P2＜P3，C错误；∵，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，且A，B互斥，则P(AB)＝ ．
【答案】0
【解析】∵A，B互斥，∴事件A，B不可能同时发生，∴P(AB)＝0．
14．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C＝60°，a＝1，c＝，则b＝ ．
【答案】3
【解析】根据余弦定理，，即，，∵b＞0，∴b＝3．
15．点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一点，则的最小值为
．
【答案】
【解析】若P在AB边上，则，∴＝，当点P是AB中点时取“＝”，∴的最小值为，点P在BC边和AC边也一样．
16．四面体ABCD的四个顶点都在球О的球面上，△ABC和△ADC是边长为2的等边三角形，BD＝，则球О的体积为 ；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】；
【解析】很明显△ABD和△BCD是等腰直角三角形，且BD是公共的斜边，故四面体的接球球心O是BD中点，且该球的半径R＝，所以球O体积V＝＝；由于AO⊥平面BCD，∴AO⊥OQ，故△OPQ是直角三角形，OP＝，OQ＝1，则PQ＝＝＝．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数，．
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若复数(R)为纯虚数，求z的虚部．
【解析】解：（1），
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，则
．
（2）．
z为纯虚数，则，
此时z＝﹣20i，所以z的虚部为﹣20．
18．（12分）
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
【解析】解：设A＝“任选一道灯谜，甲猜对”，B＝“任选一道灯谜，乙猜对”，C＝“任选一道灯谜，丙猜对”，则由古典概型概率计算公式得：

所以
（1）“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”＝，且互斥，
因为每位同学独立竞猜，所以A，B互相独立，则均相互独立，
所以
答：任选一道灯谜，甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为．
（2）设D＝“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则
所以
解得n＝10．
19．（12分）
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，为两个夹角成60°的单位向量，，．
（1）求；
（2）设，问是否存在实数t，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）


（2）
若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则，


化简得：，解得t＝4，∴存在t＝4满足条件．
20．（12分）
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照[0，4)，[4，8)，…，[32，36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按3元/m3收费，第二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按5元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按8元/m3收费．
（1）求直方图中a的值；
（2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；
（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？

【解析】解：（1）由频率分布直方图可得
(0.010＋0.020＋a＋0.050＋0.065＋a＋0.015＋0.010＋0.005)×4＝0.98，解得a＝0.0375；
（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元”即“用户月均用水不超过20m3”，则100户居民中有(0.010＋0.020＋0.0375＋0.050＋0.065)×4×100＝73，由此可以估计全市20万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为×200000＝146000；
（3）抽取的100户居民月均用水量不超过28 m3的频率为：
(0.010＋0.020＋0.0375＋0.050＋0.065＋0.375＋0.015)×4＝0.94，
0.94＜0.95，所以现行收费标准不符合要求，
抽取的100户居民月均用水量不超过32 m3的频率为：
(0.010＋0.020＋0.0375＋0.050＋0.065＋0.375＋0.015＋0.010)×4＝0.98，
，
现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29m3．
21．（12分）
如图，在四棱锥Р—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点．
（1）若F为BC中点，求证：PM∥平面AEF；
（2）设直线EF与底面ABCD所成角的大小为，二面角E—AF—B的大小为，若tan＝tan，求BF的长度．

【解析】解：（1）连接BM交AF于点O，连接OE，
∵底面ABCD为正方形，F为BC中点，
∴AM∥BF且AM＝BF，
∴四边形ABFM为平行四边形，
∴O为BM中点，
又E为PB中点，
∴EO∥PM，又PM平面AEF，EO平面AEF，∴PM∥平面AEF；
（2）取AB中点H，连接FH，
∵E为线段PB中点，∴EH∥PA且EH＝PA＝1，
又PA⊥底面ABCD，∴EH⊥底面ABCD，
∴HF为斜线EF在平面ABCD内的射影，∠EFH为直线EF与底面ABCD 所成角，
即∠EFH＝，tan＝＝，
过H作HN⊥AF于N，连接EH，EN，∵EH⊥底面ABCD，∴EH⊥AF，
又HN⊥AF，HN∩EH＝H，∴AF⊥平面EHN，∴AF⊥EN，∴∠ENH为二面角E—AF—B的平面角，即∠ENH＝，tan＝＝，由tan＝tan，知＝，即，设则
由得
化简得，解得或，∴BF＝2或1．
22．（12分）
△ABC中，已知AB＝1，BC＝，D为AC上一点，AD＝2DC，AB⊥BD．
（1）求BD的长度；
（2）若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB＋2PD的最大值．
【解析】解：（1）设BD＝x，CD＝y，则AD＝2y，
在△ABD与△CBD中，分别由余弦定理知：

即

∴可得x2＋2y2＝5，∵AB⊥BD，∴AD2＝AB2＋BD2，即1＋x2＝4y2，
解得x＝，y＝1，∴BD＝；
（2）由（1）知△ABD中，∠ABD＝，AD＝2，AD为△ABD外接圆的直径，
P为△ABD外接圆上任意一点，当点P在B点时，PB＋2PD＝2PD＝2，
当点Р在D点时，PB＋2PD＝PB＝，
当点Р在优弧上时，∠BPD＝∠BAD＝，
设∠PBD＝(0＜＜)，则∠PDB＝，
△PBD中，由正弦定理知PB＝2sin()，PD＝2sin，

当点Р在劣弧上时，∠BPD＝π﹣∠BAD＝，
设∠PBD＝(0＜＜)，则∠PDB＝，
△PBD中，由正弦定理知PB＝2sin()，PD＝2sin，

当时，PB＋2PD的最大值为2，
综上所述，PB＋2PD的最大值为．