2022届江苏省无锡市高三上学期期末调研考试数学试题含答案

这是一份2022届江苏省无锡市高三上学期期末调研考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 解答题等内容，欢迎下载使用。


2021～2022学年高三年级期末试卷（无锡）
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{y|y＝2x2＋1，x∈R}，则(∁RA)∩B＝ (　　)
A. [1，4)　　　　 B. [4，＋∞)
C. [－3，＋∞) 　　 D. (－∞，－3)∪[4，＋∞)
2. 已知(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a＝(　　)
A. －1　　　　 B. 1　　　　 C. －3　　　　 D. 3
3. 某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是 (　　)
A. 甲、乙两队相比，乙队很少失球　 B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 平均来说，甲队比乙队防守技术好　 D. 乙队有时表现很差，有时表现又非常好
4. 已知函数f(x)＝(x－)·ln |x|，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

5. 已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，－1)，O为坐标原点，则·的最小值等于 (　　)
A. 3　　　 B. 5－　　　　 C. 4　　　　　 D. 5＋
6. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线B1M与平面A1C1B所成角的正弦值为 (　　)
A. 　　　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　 D.
7. 已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A1，A2是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C左支上的一点，以A1A2为直径的圆与PF2相切于点M，若M恰为PF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x　　　 B. y＝±x　　　　 C. y＝±x　　 D. y＝±2x
8. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，则的最大值为 (　　)
A. 　　　　　　 B. 　　　　 C. 　　 D.
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知eb＜ea＜1则下列结论正确的是 (　　)
A. a2＜b2　　　　 B. ＋＞2
C. ab＞b2　　　　　 D. lg a2＜lg (ab)
10. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有 (　　)
A. 至少一次正面朝上的概率是
B. 恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
C. 一次正面朝上、一次反面朝上的概率是
D. 在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是
11. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]称为高斯函数，又称为取整函数．如：f(2.3)＝2，f(－3.3)＝－4.则下列结论正确的是 (　　)
A. 函数f(x)是R上的单调递增函数
B. 函数g(x)＝f(x)－x有2个零点
C. f(x)是R上的奇函数
D. 对于任意实数a，b，都有f(a)＋f(b)≤f(a＋b)
12. 已知平面直角坐标系中两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式度量A，B两点距离：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则下列说法正确的是 (　　)
A. 在平面直角坐标系中，A(－3，0)，N(2，0)，满足d(A，N)＝d(A，C)＋d(N，C)的点C的横坐标的取值范围是[－3，2]
B. 在平面直角坐标系中，任意取三点A，B，C，d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)恒成立
C. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，则满足d(O，P)＝1的点P(x，y)所形成的图形是圆
D. 在平面直角坐标系中，点M在y2＝4x上，N(2，0)，则满足d(M，N)＝3的点M共有4个
三、 填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若(x＋)6的展开式中x2的系数为160，则实数a的值为________．
14. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且＝，E为AD的中点，则||＝________．
15. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＞S11＞S9，则满足Sn·Sn＋1＜0的正整数n的值为________．
16. 已知正四面体ABCD的棱长为12，在平面BCD内有一动点P，且满足AP＝6，则点P的轨迹是________；设直线AP与直线BC所成的角为θ，则cos θ的取值范围是________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N).
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若bn＝log2，求数列{bn}的前n项和Tn.






18. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝，tan A＝3，________．
请在①c sin A＝3cos C；② (sin A－sin B)2＝sin2C－sinA·sin B这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中并加以解答．
(1) 求角C的大小；
(2) 求△ABC的面积．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)








19. (本小题满分12分)
近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》．其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以1 000元罚款．为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表：


知晓
不知晓
总计
年龄≤60
16
34
50
年龄＞60
9
66
75
总计
25
100
125
参考公式和数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(1) 根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关？



(2) 将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民，记被抽取的4位市民中知晓规定的人数为X，求X的分布列及数学期望．











20. (本小题满分12分)
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，DE＝AD＝2BF＝2.
(1) 求证：CF∥平面ADE；
(2) 求二面角AEFC的正弦值．







21. (本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－1，)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 求的取值范围．










22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数).
(1) 若不等式f(x)＞恒成立，求实数x的取值范围；
(2) 若不等式f(x)＜ax＋－a ln 2在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．







2021～2022学年高三年级期末试卷(无锡)
数学参考答案及评分标准

1. B　2. C　3. C　4. A　5. B　6. D　7. D　8. A　9. ABD　10. AD　11. BD　12. ABD
13. 2　14. 　15. 20　16. 圆　[0，]
17. 解：(1) 由题得Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，即an＋1－an＝1(n≥2).
因为a2－a1＝1，所以an＋1－an＝1(n≥1)，(3分)
所以数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，则an＝n＋1.(5分)
(2) 由题bn＝log2(·2n)＝log2＋n，
Tn＝(log2＋log2＋…＋log2)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝log2(××…×)＋
＝log2(n＋1)＋.(10分)
18. 解：(1) 选择①，由正弦定理，得a sin C＝c sin A.
∵c sin A＝3cos C，∴a sin C＝a2cos C，∴ tan C＝a＝.(3分)
又C∈(0，π)，C＝.(5分)
选择②，由题意，角化边得a2－2ab＋b2＝c2－ab，
整理得cos C＝.(3分)
又C∈(0，π)，C＝.(5分)
(2) ∵ tan A＝3，∴ sin A＝，cos A＝.(7分)
由正弦定理，得c＝a＝××＝.(8分)
在△ABC中，sin B＝sin (A＋)＝，(10分)
∴S＝ac sin B＝.(12分)
19. 解：(1) K2＝＝＝7.5>6.635，
所以有99%的把握认为知晓规定与年龄有关．(4分)
(2) 由2×2列联表可知，抽到知晓规定的市民的频率为＝，将频率视为概率，即从市民中任意抽取到一名知晓规定的市民的概率为.
由于总体容量很大，故X可视作服从二项分布，即X～B(4，), (6分)
所以P(X＝k)＝C()k()4－k(k＝0，1，2，3，4).
从而X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P





所以X的数学期望为E(X)＝4×＝.(12分)
20. (1) 证明：∵DE⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，∴BF∥DE.
∵BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BF∥平面ADE.
∵ 四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD.
∵BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE.
∵BF∩BC＝B，BF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴ 平面BCF∥平面ADE.
∵FC⊂平面BCF.∴CF∥平面ADE.(5分)
(2) 解：取BC的中点M，连接BD.
∵ 四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴DM⊥BC.
∵AD∥BC，∴DM⊥AD.
∵ED⊥平面ABCD，∴DA，DM，DE两两垂直．
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz.(6分)
∴＝(－1，，－2)，＝(1，，－1).
设平面ECF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∴n1⊥，n1⊥，
∴取x1＝1，得z1＝－2，y1＝－，
∴ 平面ECF的一个法向量n1＝(1，－，－2).(8分)
又＝(－2，0，2)，＝(－1，，1)，设平面AEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2).
∴取x2＝1，得y2＝0，z2＝1，
∴平面AEF的一个法向量为n2＝(1，0，1).(10分)
∴ cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，sin 〈n1，n2〉＝＝，
即二面角AEFC的正弦值为.(12分)
21．解：(1) 设椭圆C的焦距为2c，由已知可得解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) 由已知直线l的斜率k存在且k<0，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k2x ＋4k2－12＝0，()
显然Δ>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝.(6分)
过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为M′，N′，设原点为O，
则＝|x1|＋|x2|.(7分)
因为点P(0，－k)是y轴正半轴上的一点，当点P在椭圆外时，－k>，
所以k<－，此时|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝.
因为k2>3，所以4<＋4<5，所以|x1|＋|x2|∈(，2)；(9分)
当点P在椭圆内时，0<－k<，所以－ |x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝＝＝.
设＝t，则k2＝t2－1，且1 因为函数y＝4x－在(1，2)上单调递增，所以4t－∈(3，)，
所以|x1|＋|x2|＝＝∈(，4)；(11分)
当点P是椭圆上顶点时，－k＝，此时|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝.
综上，的取值范围是[，4).(12分)
22. 解：(1) 因为f(x)＝＝1－，
则f′(x)＝>0，所以f(x)在R上单调递增，
所以f(x)>＝f(1)的解为x>1.(3分)
(2) 因为F(x)＝f(x)－(ax＋－a ln 2)＝－ax－＋a ln 2，
所以F′(x)＝－a＝－.(4分)
令ex＝t>0，则F′(t)＝－(t>0).
令g(t)＝at2＋2(a－1)t＋a，t>0.
① 当a<0时，因为g(0)＝a<0，且对称轴在y轴左边，所以g(t)<0，所以F′(t)>0，
即F′(x)>0，所以当x∈(ln 2，＋∞)时，存在F(3)>F(ln 2)＝0，不满足题意；(5分)
② 当a＝0时，x∈(ln 2，＋∞)时，存在F(3)＝－>0，不满足题意；(6分)
③ 当a>0时，因为Δ＝4(a－1)2－4a2＝4－8a，
所以当a≥时，Δ≤0，所以g(t)≥0，所以F′(t)≤0，且F(ln 2)＝0，当x∈(ln 2，＋∞)时，
F(x)<0，满足题意；(7分)
当00，此时g(t)有2个零点，设为t1，t2，且t1 因为t1＋t2＝－2>0，t1t2＝1，所以0 因为F(x)在(－∞，ln t1)，(ln t2，＋∞)上单调递减，在(ln t1，ln t2)上单调递增，由题意，ln t2≤ln 2，即t2≤2，所以0 所以方程at2＋2(a－1)t＋a＝0在(0，2]上有不等的两根．
因为0 综上，当a∈[，＋∞)时，不等式f(x)