2023年安徽省安庆市太湖县望天学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年安徽省安庆市太湖县望天学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据有关部门统计，年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约人次，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

6.  如图，，，、分别为、的角平分线，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，点在轴的正半轴上．按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧分别交边、于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，恰好过点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国古代伟大的数学家刘微将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若，，则该三角形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，如果，，那么等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  矩形中，，，动点、分别从顶点、同时出发，且分别沿着、运动，点的速度是点的倍，点到达顶点时，则两点同时停止运动，连接、交于点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则线段的最小值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，，反比例函数的图象经过点，若的面积是，则的值为______．

12.  如图，已知，在中，，是优弧上一点，、是劣弧上不同的两点不与、两点重合，则的度数为______
 

13.  若关于的方程的解为负数，则的取值范围是______．

14.  在菱形中，，，点是对角线所在直线上一点，且，直线交直线于点，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
 

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
把向上平移个单位后得到，请画出并写出点的坐标；
已知点，在方格纸内部做，使得与关于点位似，且位似比为：．

18.  本小题分
如图，大桥桥型为低塔斜拉桥，图是从图抽象出的平面示意图．现测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为米，两拉索底端距离为米，试求立柱的长．结果精确到米，

 

19.  本小题分
如图，是等边的外接圆，是的直径，过点作的切线，延长交于点．
求证：；
连接，若，求的长．

 

20.  本小题分
央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市也在各个学校开展了传承经典的相关主题活动“戏曲进校园”某校对此项活动的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：

图中表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”．
被调查的总人数是______人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果估计该校学生中类有多少人；
在类人中，刚好有个女生个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树状图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．

21.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
解答下列问题：
按以上规律写出第个等式：______；
求的值；
求的值．

22.  本小题分
华为运动专营店为某厂家代销一款学生足球比赛训练鞋这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理，当每双鞋的售价为元时，月销售量为双为提高经营利润，该专营店准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，每月的销售量双与销售单价元双之间的函数关系如图所示综合考虑各种因素，每售出双鞋需支付厂家其他费用元
求出与之间的函数关系式；
该运动专营店要获取最大的月利润，售价应定为每双多少元？并说明理由．
年月底，该专营店老板清点了一下仓库，发现该款学生足球比赛训练鞋库存双，若根据中获得最大月利润的方式进行销售，月底能否销售完这批学生足球比赛训练鞋？请说明理由．

23.  本小题分
如图，正方形的边长为，分别是边、的中点，点在上．且，、相交于点．
求出的值；
求证：；
过点作，分别交、于点、，点是上一点，当点在什么位置时，的周长最小，并求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义进而得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，
根据年蔬菜产量为吨，则年蔬菜产量为吨，年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，
即即．
故选：．
利用增长后的量增长前的量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“从吨增加到吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，列出年和年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】

解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线．
过作，过作，根据平行线的性质得到，再根据角平分线定义及垂直的定义得到，根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义得到，即可得解．
【解答】
解：如图所示，过作，过作，

，
，
，，
，
又，，分别为，的角平分线，
，
，
，
，，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
设，
，解得，
点坐标为．
故选：．
由作法得平分，利用平行线的性质证明得到，设，利用两点间的距离公式得到，然后解方程求出即可得到点坐标．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，
，，
，
在中，，
即，
整理得，，
而长方形面积为
该三角形的面积为，
故选：．
设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，运用两次平行线的性质，找到角之间的关系．
利用两直线平行，内错角相等和同旁内角互补作答即可．
【解答】
解：，．
，．
．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的三边关系，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图，取的中点，连接，，首先证明，求出，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，．

四边形是矩形，
，，
，
，
设运动时间为，则，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为，
，，
，
四边形是矩形，
，
的最小值为．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，

，的面积为，
，

又反比例函数的图象位于第二象限，，
则．
故答案为：．
如图，过点作轴于点，结合等腰三角形的性质得到的面积，根据反比例函数系数的几何意义求得的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
在中，，
，
，，
．
故答案为：．
首先连接，由在中，的度数为度，即可求得，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得，，继而求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想与整体思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：解方程得，
根据题意知，
解得，
故答案为：．
解方程得出，再由方程的解为负数得出，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设交于．

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
如图，设交于解直角三角形求出，再证明即可解决问题．
本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简进而得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】如图：，即为所求，；

如图：，即为所求． 

【解析】直击雷雨平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】解：设，
，，
，
，
，
，
，
解得：，



答：的长度为米 

【解析】设，然后根据锐角三角函数的定义可将，用含的式子表达，然后根据题意列出方程可求出的值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

19.【答案】证明：点、、为的三等分点，
，
．
为等边三角形，
而点为的外心，
．
为的切线，
．
；
解：连接，如图，

为等边三角形，
，
，
，
在中，，．
在中，，则，
在中，， 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
由点、、为的三等分点得到则为等边三角形，再利用点为的外心得到然后根据切线的性质得所以；
连接，如图，利用为等边三角形和圆周角定理得到，则，根据含度的直角三角形三边的关系得到，，，则，然后利用勾股定理计算出．
 

20.【答案】，  ；
，
所以根据上述调查结果估计该校学生中类有人；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为，
所以被抽到的两个学生性别相同的概率． 

【解析】

【分析】
用类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用类人数所占的百分比乘以得到扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数，然后计算类的人数后补全条形统计图；
用乘以样本中类人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出被抽到的两个学生性别相同的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
【解答】
解：，
所以被调查的总人数是人，
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数
类的人数为人，
条形统计图为：
，
故答案为：，  ；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：



；





． 

【解析】解：由题目中的式子可得，
第个等式：，
故答案为：；
见答案．

根据题目式子的特点，可以得到第个等式；
根据题目中式子的特点，可以求得的值；
根据题目中的式子，仿照中式子的计算方法可以解答本题．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出相应式子的值．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，
将、代入，
得：，
解得：，
与的函数关系式为；

设月利润为，
则

，
当时，取得最大值，最大值为；
故该运动专营店要获取最大的月利润，售价应定为每双元；

由知，当获得最大利润时，定价为元双，
则每月的销售量为，
总销售量为，
，
月底不能售完． 

【解析】利用待定系数法求解可得；
根据“总利润单件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；
求出在中情况下，即时的销售量，据此求得的总销售量，比较即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
 

23.【答案】解：是边的中点，，正方形的边长为，
，，
由勾股定理得，，
；
证明：，，
，又，
∽，
，
，
，
，即，
；
解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的周长最短．周长的最小值．
由题意：，
由可知，，，，
的面积，
，
，
，
，
，
则周长的最小值 

【解析】根据题意求出、，根据勾股定理求出，计算即可；
证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论；
作点关于的对称点，连接交于点，连接，得到周长的最小值，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是职务相似三角形的判定定理和性质定理、学会利用轴对称解决最短问题．