2023年高考真题（新课标II卷） 数学试卷+解析

2023年高考真题 数学解析

单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1题型： 单选题|

分值: 5分

在复平面内,(1+3i)(3−i)对应的点位于( )

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

正确答案A

2题型： 单选题|

分值: 5分

设集合,若,则（）

A2   B1    C   D−1

正确答案B

3题型： 单选题|

分值: 5分

某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有 ( )

A           B

C   D

正确答案D

4题型： 单选题|

分值: 5分

若为偶函数,则a=( )

A−1    B0     C    D1

正确答案

B

5题型： 单选题|

分值: 5分

已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )

A    B     C  D

正确答案

C

6题型： 单选题|

分值: 5分

已知函数 在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为( )

A e 2   Be     C   D

正确答案

C

7题型： 单选题|

分值: 5分

已知 α 为锐角,  , 则 ( )

A    B

C    D

正确答案

D

8题型： 单选题|

分值: 5分

记为等比数列的前项和,若,则（）

A120    B85    C−85     D−120

正确答案

C

多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。

9题型： 多选题|

分值: 5分

已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120◦,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P−AC−O为45◦, 则 ( )

A该圆锥的体积为 π     B该圆锥的侧面积为 

C   D△P AC 的面积为 

正确答案

A,C

10题型： 多选题|

分值: 5分

设O为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,为C的准线,则( )

Ap = 2     B    

C以 MN 为直径的圆与相切

D△OMN 为等腰三角形

正确答案

A,C

11题型： 多选题|

分值: 5分

若函数既有极大值也有极小值,则( )

Abc > 0     Bab > 0    C + 8ac > 0    Dac < 0

正确答案

B,C,D

12题型： 多选题|

分值: 5分

在信道内传输 0,1 信号, 信号的传输相互独立, 发送 0 时, 收到 1 的概率为 , 收到 0 的概率为发送 1 时, 收到 0 的概率为 , 收到 1 的概率为 . 考虑两种传输方案: 单次传输和三次传输, 单次传输是指每 个信号只发送 1 次, 三次传输是指每个信号重复发送 3 次, 收到的信号需要译码, 译 码规则如下: 单次传输时, 收到的信号即为译码; 三次传输时, 收到的信号中出现次数 多的即为译码 (例如, 若依次收到 , 则译码为 1 )（）

A采用单次传输方案, 若依次发送,则依次收到  的概率为

B采用三次传输方案, 若发送1 ,则依次收到，的概率为

C采用三次传输方案, 若发送1 ,则译码为 1 的概率为

D当  时, 若发送 0 , 则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次 传输方案译码为 0 的概率

正确答案

A,B,D

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

13题型：填空题|

分值: 5分

已知向量a,b满足|a−b|=,|a+b|=|2a−b|,则|b|=

正确答案

14题型：填空题|

分值: 5分

底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为  

正确答案

28

15题型：填空题|

分值: 5分

已知直线x−my+1=0与交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 

正确答案

(任写一个)

16题型：填空题|

分值: 5分

已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线与曲线y=f(x)的两个交点,若,则f(π)=

正确答案

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17题型：简答题|

分值: 10分

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1

( 1 ) 若∠ADC=,求tanB;

( 2 ) 若b2+c2=8,求b,c

正确答案

（1）

(2)   在中，由中线长公式得：，即因而

又因而

又由余弦定理得：，即，因而因而有所以故可得

18题型：简答题|

分值: 12分

已知 {an}为等差数列,  记Sn, Tn 分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.

( 1 ) 求{an}的通项公式;

( 2 ) 证明:当n>5时,Tn>Sn

正确答案

（1）

（2）由（1）知，

满足：,满足

综上，当 n > 5 时, Tn > Sn

19题型：简答题|

分值: 12分

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临界值 c, 将该指标大于 c 的人判定为阳性,

小于或等于 c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,

记为 p(c); 误诊率是将未患病者判定为阳性的概率, 记为 q(c). 假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率

( 1 ) 当漏诊率 p(c) = 0.5% 时, 求临界值 c 和误诊率 q(c);

( 2 ) 设函数 f(c) = p(c) + q(c), 当 c ∈ [95, 105] 时, 求 f(c) 的解析式, 并求 f(c) 在区间[95, 105] 的最小值.

正确答案

（1）

（2）0.012

解析

（1）由题意当时，，此时

（2）当

当

所以，当C=100时取最小值，最小值为

20题型：简答题|

分值: 12分

如图, 三棱锥 A − BCD 中, DA = DB = DC, BD ⊥ CD, ∠ADB = ∠ADC = 60 ◦ , E

为 BC 的中点

( 1 ) 证明: BC ⊥ DA;

( 2 ) 点 F 满足

正确答案

（1）证明：在棱锥A-BCD中,由于DA=DB=DC且ADB=ADC=

ADB与ADC都是等边三角形，且ADB≌ADC

AC=AB

由于E是BC中点，链接DE，AE，则在等腰ABC中，AE⊥BC,在等腰DBC中，

DE⊥BC,且

得BC⊥平面ADE,AD⊥平面ADE

得BC ⊥ DA

（2）由已知BD⊥CDRTBCD中，DB=DC=BC

又∵ABC与DBC中得ABC≌DBC

AE=DE=BC

不妨设DB=DC=DA=2,则BC=2DE=AE=

在ADE中，由勾股定理逆定理知，

以E为原点，ED,EB,EA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

则

由已知EF和DA平行且相等

则

设平面ABD的法向量为，则

设平面ABF的法向量为，则

设二面角D-AB-F的平面角为

则|cos|=|cos

则二面角D-AB-F的正弦值为

21题型：简答题|

分值: 12分

已知双曲线  的中心为坐标原点, 左焦点为  离心率为 

(1) 求  的方程;

(2) 记  的左、右顶点分别为  过点的直线与C的左支交于 两点,  在第二象限, 直线  与 交于点 证明: 点  在定直线上

正确答案

( 1 )由题意,,

双曲线为

( 2 ) 设过点B的直线，联立双曲线得

则，则

设直线设直线

带入韦达定理，即P在直线上

22题型：简答题|

分值: 12分

((1) 证明: 当  时, 

（2）已知函数  ,若  是  的极大值点, 求 的取值 范围

正确答案

( 1 ) 令g(x)=x-x2-sinx

g'(x)=1—2x—cosx,

g"(x)=-2+sinz<0,可知g'(x)在(0,1)上单调递减

∴g(x)<(0)=0,可知g(x)在(0,1)上单调递减

∴g(x)<g(0)= 0<="" span="">

∴x-x²<sinx< span="">

令h(x)=sinx-x

h'(x)=cosx-1≤0,可知h(x)在(0,1)上单调递减

∴h(x)<h(0)=0< span="">

∴sinx<x< span="">

∴当0<x<sinx<x<="" span="">

(2)f'(x) =-asinax +

f"(x)=-a2cosax+

∵x=0为f(x)的极大值点

∴f"(0)<0

∴-a2+2<0