2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年福建省厦门市思明区重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的展开式中，的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  “碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某“碳中和”研究中心计划派名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻名专家，则分派方法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数在上为增函数，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛每人被选中的机会均等，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数”依据这段文字可以证明的结论是(    )

A. 是有理数 B. 是无理数
C. 存在无理数，，使得为有理数 D. 对任意无理数，，都有为无理数

7.  已知函数是偶函数，是函数的导函数，，若时，，则使得不等式成立的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使，记，则且的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制了等高条形图，如图，则(    )
参考数据：

A. 参加调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B. 参加调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C. 若参加调查的男、女生人数均为，则能根据小概率值的独立性检验，推断喜欢攀岩和性别有关
D. 无论参加调查的男、女生人数为多少，都能根据小概率值的独立性检验，推断喜欢攀岩和性别有关

10.  已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，在平行六面体中，，分别是，的中点，以为顶点的三条棱长都是，，则(    )

A. 平面
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为

12.  已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于点，，与双曲线的渐近线交于点，在第一象限，，在第四象限，为坐标原点，则下列结论正确的是(    )

A. 若轴，则的周长为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 面积的最小值为
D. 的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知等比数列，其前项和为若，，则______．

14.  过抛物线：的焦点作直线，交于、两点，若线段中点的纵坐标为，则 ______ ．

15.  甲、乙、丙、丁、戊名学生进行某种劳动技能比赛，决出第名到第名的名次没有同分或者并列的情况甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，人的名次排列共可能有______ 种不同的情况用数字作答
 

16.  已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
年，是中国共产主义青年团成立周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
试估计这名学生得分的平均数；
从样本中得分不低于分的学生中，用分层抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望．

18.  本小题分
设各项非负的数列的前项和为，已知，且，，成等比数列．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
证明：平面平面；
若直线与平面所成的角的余弦值为，求点到平面的距离．

20.  本小题分
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛局，甲队最终获胜的概率；
求甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利的概率；
若已知甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率．

21.  本小题分
已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线仅有一个公共点．
求双曲线的方程
设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线于，两点，求证：的垂心在双曲线上．

22.  本小题分
已知函数，为的导数．
当时，求的最小值；
当时，恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，，，，
令，解得，
则的系数是．
故选：．
写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，解出，代入通项公式化简即可．
本题考查二项式展开式的应用，考查特定项的求法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象分析，涉及函数定义域、函数的奇偶性、函数特殊值的判断，属于基础题．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析上函数值的符号，排除，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，，其定义域为，
有，是偶函数，排除，
在区间上，，必有，排除，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：名专家的安排方法分为或者，
若按照安排共有，
若按照安排共有，
则共有种，
故选：．
名专家的安排方法分为或者，然后根据排列组合的计数性质即可求解．
本题考查了排列组合的计数性质的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
若在递增，则在恒成立，
则，则，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在恒成立，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．
 

5.【答案】 

【解析】解：某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛每人被选中的机会均等，
在男生甲被选中的情况下，
基本事件总数，
男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：
，
男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．
故选：．
基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，，B错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数，，使得为有理数”，
因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数，，不涉及对任意无理数，，都成立的问题，D错误．
故选：．
根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答．
本题考查归纳推理，命题的判断，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：构造函数，其中，
当时，，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，
，
所以，函数为上的奇函数，
因为，则，
由得，
可得，解得．
故选：．
由题意构造函数，然后结合函数的单调性和函数的奇偶性即可求得不等式的解集．
本题主要考查构造函数的方法，利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的应用等知识，属于中等题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，当时，说明投掷次，其中有次正面向上，次反面向上，
又因为，
所以有两种情况，前次正面都向上，后次中有次正面向上，次反面向上，
或者前次反面都向上，后次中有次正面向上，次反面向上，
故且的概率为．
故选：．
前次正面都向上，后次中有次正面向上，次反面向上，或者前次反面都向上，后次中有次正面向上，次反面向上，根据概率公式计算即可．
本题考查了是数列及概率的应用，考查了独立重复试验和相互独立事件的概率公式，关键是对题意的理解，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A：因为参加调查的男、女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占，女生中喜欢攀岩的占，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A正确；
对于选项B：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占，不喜欢攀岩的人数占，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B错误；
对于选项C：若参与调查的男、女生人数均为人，根据图表，列出列联表如下：

所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢攀岩和性别有关，C正确；
对于选项D：如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算，D错误．
故选：．
选项，根据男生女生参加调查人数相同和喜欢攀岩的人数比例，得到喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生多；
选项，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占，不喜欢攀岩的人数占，从而作出判断；
选项，列出列联表，计算卡方，与比较大小得到结论；选项，如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算，故D选项错误．
本题考查统计图的应用，考查独立性检验，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项A，因为是偶函数，所以，所以，即A正确；
选项B，因为的图象关于点对称，所以，
又是偶函数，所以，即B正确；
选项C，因为的图象关于点对称，所以，
两边求导得，，
令，则，
所以，即C正确；
选项D，因为是偶函数，所以，
两边求导得，，
令，则，
因为不一定是偶函数，所以不一定成立．
故选：．
选项A，由偶函数的性质知，得解；
选项B，易知，结合是偶函数，得解；
选项C，由函数的对称性知，，两边求导，推出，得解；
选项D，由，两边求导，推出，而不一定是偶函数，得解．
本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，如图，连接，，，，，

，分别是，的中点，，
，，
平面，平面，
平面，故A正确．
对于，

，
，即，故B正确．
对于，如图，连接，，

则，

，
即，同理，四边形为矩形，
面积为，故C错误．
对于，如图，过作平面，易知在直线上，
平面，，
过作于，连接，

由，，而，，平面，
得平面，易得，
，，，
平行六面体的体积为，故D正确．
故选：．
根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查空间几何体的结构特征，线面平行的判断，柱体体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为双曲线的标准方程为，则，

易知点、，双曲线的渐近线方程为，
对于选项，当轴，直线的方程为，
联立，可得，此时，，
则，
此时，的周长为，故A错误；
对于选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，
因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，
即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，
所以，即，故B对；
对于选项，易知的方程为，的方程为，所以，
因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，可得，
联立，可得，即点，
联立，可得，，即点，
所以，，
所以，当且仅当时，等号成立，故C错；
对于选项，，
当时，，
当时，，
因为函数在上单调递减，
此时，
当时，因为函数在上单调递减，
此时，
综上所述，的取值范围是，故D对．
故选：．
利用双曲线的定义可判断选项；
利用平行四边形的几何性质可判断选项；
设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断选项；
由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断选项．
本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线相交形成三角形的面积的范围问题，也考查了计算能力，数形结合思想，属于中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：设等比数列的公比为，
由，，得，
整理得，解得或，
当时，；当时，．
故答案为：或．
设等比数列的公比为，由题意可得，从而可求出值，进一步利用即可求解．
本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，
抛物线的焦点坐标为，
设直线的方程为，
联立，可得，
设，，
则，，
，，
则．
故答案为：．
设直线的方程为，联立抛物线方程得，利用韦达定理求出值，再利用弦长公式，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，设而不求法与韦达定理的应用，弦长公式的应用，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种．
故答案为：．
由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解．
本题考查简单的排列问题以及计数原理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题设，令，则，
，
因为函数有两个零点，
所以函数与在上有个交点，
因为函数与互为相反数，图象关于直线对称，
所以函数与的交点都在直线上，
设、与相切，
，，
若切点为，，
所以，解得，
此时，
综上，函数与的图象，当时，有个交点；当时，有个交点；当时，无交点，
所以实数的取值范围为
故答案为：
令，则，则问题转化为函数与在上有个交点，且互为相反数，所以函数与的交点都在直线上，利用导数的几何意义求出、与相切时的的值，进而求出符合题意的的取值范围．
本题主要考查了指数函数和对数函数的图象，考查了利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题．
 

17.【答案】解：由频率分布直方图的数据，可得这名学生得分的平均数：分．
由频率分布直方图的数据，可得，，的人数之比为：：，
在分组中抽人，在分组中抽人，在分组中抽取人，
的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：

． 

【解析】根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查频率分布直方图的应用，是中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，，
，．
得，即，
，，
数列从第项起是公差为的等差数列，

又，，成等比数列，，
即，
解得，，
，，适合上式，
数列的通项公式为．
Ⅱ，
数列的前项的和为：
，
，
得，

，
． 

【解析】Ⅰ利用得出的递推关系，从而得数列从第项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得，这样可得通项公式，然后由已知式中令求得，比较后可得结论；
Ⅱ用错位相减法求和．
本题考查了数列的递推式和错位相减求和，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：因为底面，平面，
所以．

因为为正方形，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，为线段的中点，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
因为底面，，以为坐标原点，
以的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
易知是平面的法向量，
设，则，
所以，，
所以，
即，得，所以，
设为平面的法向量，则，
所以平面的法向量，
又因为，
所以点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为，
由可知，是直线与平面所成的角，
所以，
解得，故F是的中点，
所以，，，
所以的面积为，
因为，的面积为，
设点到平面的距离为，
则有，
解得，
所以点到平面的距离为． 

【解析】利用面面垂直的判定定理，即可证明；
根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，向量法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，
设事件“甲队第局获胜”，其中，，，，相互独立，
又甲队明星队员前四局不出场，故，
又，
；
设为甲局获得最终胜利，为前局甲队明星队员上场比赛，
则由全概率公式可知：，
每名队员上场顺序随机，，
又，，，
；
根据贝叶斯公式可得：
． 

【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；
根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；
根据贝叶斯公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．
 

21.【答案】解：因为双曲线的离心率为，所以，即，
所以双曲线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，消去得，
即，
因为与双曲线仅有一个公共点，
所以，
解得，
故双曲线的方程为．
证明：设，，，
则、满足
消去得，
所以，，
如图所示，过引的垂线交于另一点，

则的方程为．
代入得，即舍去或．
所以点为．
所以

，
所以，
故H为的垂心，得证． 

【解析】由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；
设方程，及，的坐标，由过引的垂线交于另一点，可得点为再证即可．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题．先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想．
 

22.【答案】解：，令，，则．
当时，为增函数，；
当时，．
故时，，为增函数，
故，即的最小值为．
令，，则时，恒成立．
当时，若，则由可知，，
所以为增函数，故恒成立，即恒成立；
若，则，
在上为增函数，
又，，
故存在唯一，使得．
当时，，为减函数；
时，，为增函数．
又，，
故存在唯一使得．
故时，，为增函数；
时，，为减函数．
又，，
所以时，，为增函数，
故，即恒成立；
当时，由可知在上为增函数，
且，，
故存在唯一，使得．
则当时，，为减函数，
所以，此时，与恒成立矛盾．
综上所述，． 

【解析】求导，判断函数的单调性，进而得到函数的最值；
令，依题意当时，恒成立，然后分及讨论，即可得出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．