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2023年江苏省无锡重点学校中考数学二模试卷
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这是一份2023年江苏省无锡重点学校中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省无锡重点学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 函数y= x−5中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥−5 B. x≤−5 C. x≥5 D. x≤5
3. “一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 44×108 B. 4.4×109 C. 4.4×108 D. 4.4×1010
4. 初三(1)班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下：这12名同学进球数的众数和中位数分别是( )
进球数(个)
1
2
3
4
5
7
人数(人)
1
1
4
2
3
1
A. 3.75：3.5 B. 3：3 C. 3：3.5 D. 7：3
5. 如图，AO是⊙O半径，BC⊥OA，连接AB，若∠ABC=25°，∠OCB的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
6. 在正三角形、平行四边形、菱形和等腰梯形这四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形
7. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于( )
A. 24 cm2 B. 48 cm2 C. 24π cm2 D. 12π cm2
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角
B. 若实数a，b满足a2=b2，则a=b
C. 同旁内角互补
D. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
9. 如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，若CD=2，则DF的长是( )
A. 3+ 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 3 3−3
10. 如图，在平面直角坐标系中，O是Rt△ABC斜边AB的中点，点A、E均在反比例函数y=6x(x>0)图象上，AE延长线交x轴于点D，且∠BAD=2∠ABC，AD=2AE.则△ACD的面积为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：a3−6a2+9a= ______ ．
12. 分式方程31−x=4x的解是______ ．
13. 正九边形的每一个内角是______ 度.
14. 能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是______ ．
15. 若关于x，y的二元一次方程组x−y=3m−2x+3y=−4的解满足x+y>0，则m的取值范围______ ．
16. 如图，▱ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，AEED=3，点F为CD中点，则GFAG的值是______ ．
17. 已知Rt△ABC三边分别为6，8，10，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为______ ．
18. 直线l：y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( 3,0)、B(0,3)，动点P的坐标为(m,−m2+am+1)(a为常数)．
(1)当a= ______ 时，有且仅有一个满足条件的m的值，使得点P在直线l上；
(2)若有且仅有两个符合条件的m的值，使得点P到直线l的距离为1，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(1)2−2+ 13−12cos30°；
(2)(x−2)2−(x−3)(x+1)．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：x2−6x+4=0；
(2)解不等式组：3x+1<2(x+2)−13x≤53x+2．
21. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上∠EBC=∠DCB．
(1)求证：BE=CD
(2)若AB=8，BC=5，当CD⊥AB时，求CE的长．
22. (本小题10.0分)
(1)如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中(每空填一个字母，每空中的字母不重复)，请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
(2)若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中(每空填一个字母，每空中的字母不重复)，从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为______．
23. (本小题10.0分)
为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)这次抽查了四个品牌的饮料共______瓶；
(2)请补全两条统计图；
(3)若四个品牌饮料的平均合格率是95%，四个品牌饮料月销售量约20万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？
24. (本小题10.0分)
如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，作出一个满足条件的格点P，使得射线BP平分∠ABC；
(2)在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以AC为边的▱ACDE，D、E均在格点上；
(3)在图3中，在AC边上找一点M，连接BM，使△ABM面积是△BCM面积的4倍．
25. (本小题10.0分)
如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上的一点(不与A，B重合)，连接AD，点C为弧BD的中点，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F．
(1)求证：FC是半圆O的切线；
(2)若AF=6，AC=4 3，求阴影部分的面积．
26. (本小题10.0分)
水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p(元/千克)与销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天)之间的部分数据如表：
销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天)
1
4
5
8
12
销售单价p(元/千克)
20.25
21
21.25
22
23
已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．
(1)试求p关于t的函数表达式；
(2)若该水果的日销量y(千克)与销售时间t(天)的关系满足一次函数y=−2t+120(1≤t≤15,t为整数)．
①求销售过程中最大日销售利润为多少？
②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润(n<3)给“精准扶贫”对象.现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
27. (本小题10.0分)
如图，已知矩形ABCD中，AB=3,AD=3 2，点P是线段AD上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，设AP=x．
(1)求当D，Q，B三点在同一直线上时对应的x的值．
(2)当点Q在矩形ABCD内部时，若△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，求x的值．
28. (本小题10.0分)
已知二次函数y=14x2+bx+c(b,c为常数)的图象与x轴正半轴交于点A，B(点A位于点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.若∠OAC=∠BCO；
(1)试确定c的值，并确定当△ABC的面积为12时的二次函数的表达式．
(2)在(1)的条件下，若在抛物线上存在一点P，以P为圆心，2为半径作⊙P，
①若被直线BC截得的弦长为 11时，求点P的横坐标m；
②当点P与点A重合时，过圆上任意一点Q作射线BQ，过点C作CM⊥BQ于点M，直接写出点M纵坐标的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查倒数的定义．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】
解：∵−2×(−12)=1，
∴−2的倒数是−12．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得，x−5≥0，
解得x≥5．
故选：C．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3.【答案】B
【解析】解：4400000000用科学记数法表示为：4.4×109，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】C
【解析】解：由表格可得，
这12名同学进球数的众数是3，中位数是(3+4)÷2=3.5，
故选：C．
根据表格中的数据，可以写出这组数据的众数，计算出这组数据的中位数，本题得以解决．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．
5.【答案】B
【解析】解：∵BC⊥OA，
∴∠OHC=90°，
∴∠O+∠C=90°，
∵∠ABC=12∠O，∠ABC=25°，
∴∠O=50°，
∴∠OCB=90°−50°=40°．
故选：B．
由垂直的定义得到∠O+∠C=90°，由圆周角定理得到∠O=50°，于是得到∠OCB的度数．
本题考查圆周角定理，垂线，关键是由圆周角定理求出∠O的度数．
6.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7.【答案】C
【解析】解：圆锥侧面展开图的面积为：12×2π×4×6=24π，
故选：C．
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若实数a，b满足a2=b2，则a=±b，故错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用对顶角的定义、实数的性质、平行线的性质及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
9.【答案】A
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵ED⊥BC，
∴∠EDC=90°，
∵CD=2，
∴CE=2CD=4，ED= 3CD=2 3，
∴AE=DE=2 3，
∴AC=AE+CE=2 3+4，
∴BD=BC−CD=4+2 3−2=2+2 3，
∵AF=DF，AE=DE，EF=EF，
∴△AEF≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠FDE=60°，
∴∠BDF+∠EDC=120°，
又∵∠DEC+∠EDC=120°，
∴∠BDF=∠DEC，
又∵∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴BFCD=BDCE，
∴BF2=2+2 34，
∴BF=1+ 3，
∴AF=AB−BF=4+2 3−(1+ 3)=3+ 3，
∴DF=3+ 3．
故选：A．
由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，求出AC和BD的长，证明△AEF≌△DEF(SSS)，由全等三角形的性质得出∠A=∠FDE=60°，证明△BDF∽△CED，得出BFCD=BDCE，求出BF的长，则可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OE，OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，则EF//AG，
∵AE=DE，
∴DF=FG，EF=12AG，
∵点A、E均在反比例函数y=6x(x>0)图象上，
∴S△OAG=S△OEF=12×6=3，即12OG⋅AG=12OF⋅EF，
∴OF=2OG，
∴DF=FG=OG，
∴S△OEF=23S△ODE=3，
∴S△ODE=4.5，
∴S△AOD=2S△ODE=9，
∵O是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD，
∴OC//AD，
∴S△ACD=S△AOD=9．
故选：B．
连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，则EF//AG，利用三角形中位线定理和反比例函数系数k的几何意义证得DF=FG=OG，即可求得S△OEF=23S△ODE=3，从而求得S△ODE=4.5，进一步求得S△AOD=2S△ODE=9，证明OC//AD，即可推出S△ACD=S△AOD=9．
本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC//AD，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】a(a−3)2
【解析】解：a3−6a2+9a=a(a2−6a+9)=a(a−3)2，
故答案为a(a−3)2
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.【答案】x=47
【解析】解：去分母，得3x=4(1−x)，
3x=4−4x，
解得x=47，
经检验，x=47是原方程的根．
故答案为：x=47．
根据解分式方程的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
13.【答案】140
【解析】解：180°⋅(9−2)÷9=140°．
先求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理．
n边形的内角和为：180°(n−2)．
此类题型直接根据内角和公式计算可得内角和，再除以边数即可．
14.【答案】a= 3，b=− 3(答案不唯一)
【解析】解：当a= 3，b=− 3时，
a+b
= 3+(− 3)
=0，
∴a= 3，b=− 3时，a+b是有理数．
故答案为：a= 3，b=− 3(答案不唯一)．
由互为相反数的两个无理数的和是0，即可得到答案．
本题考查命题与定理，无理数，关键是掌握无理数的概念，
15.【答案】m>2
【解析】解：x−y=3m−2①x+3y=−4②，
①+②，得：2x+2y=3m−6，
∴x+y=3m−62，
∵x+y>0，
∴3m−62>0，
解得m>2，
故答案为：m>2．
将两个不等式相加，即可用含m的代数式表示出x+y，然后根据x+y>0，即可得到m的取值范围．
本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，用含m的代数式表示出x+y．
16.【答案】56
【解析】解：延长BE、CD交于点H，如图，
∵AEED=3，
∴AE=3DE，
∴AD=AE+DE=3DE+DE=4DE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=4DE，AB=CD，AD//BC，AB//CD，
∴△HDE∽△HCB，
∴DHCH=DEBC，即DHCH=DE4DE=14，
∴CH=4DH，
∴AB=CD=CH−DE=4DH−CH=3CH，
∵点F为CD中点，
∴DF=CF=12CD=32DH，
∴FH=DF+DH=32DH+DH=52DH，
∵AB//FH，
∴△FGH∽△AGB，
∴GFAG=FHAB，即GFAG=52DH3DH=56．
故答案为：56．
延长BE、CD交于点H，根据题意易得AD=4DE，由平行四边形的性质可得AD=BC=4DE，AB=CD，AD//BC，AB//CD，易证△HDE∽△HCB，得到CH=4DH，于是可得AB=CD=3CH，CF=32DH，FH=52DH，易得△FGH∽△AGB，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
17.【答案】13
【解析】解：如图，Rt△ABC，AC=6，BC=8，AB=10，
取AB中点D，则点D为外心，
取AC中点E，连接BE、CD交于点G，则点G为重心，
设点F为内心，
过点G作MN垂直于BC于N，交ED与M，作FH⊥CB于点H，
∵点E为中点，AC=6，
∴EC=3=MN，
由题得，ED为中位线，
∴ED：CB=1：2，
∴GM：GN=1：2，DG：CG=1：2，
∴GM=1，GN=2，
∵CD=12AB=5，
∴CG=23×5=103，
∴CN= CG2−NG2=83，
由内切圆半径r=2SC 得，r=4824=2，
∴FH=CH=2，
∴HN=83−2=23，
由图得四边形FGNM为矩形，
∴FG//HN，
∴S△FGD=12FG⋅MG=12×23×1=13．
故答案为：13．
利用相似求出CG、NG、MG，再根据内切圆半径公式求出CH，从而求出HN，证明FG//CB，即可用公式求出三角形面积．
本题考查了三角形内心、重心、外心的性质及应用，三角形相似及内切圆半径公式的应用是解题关键．
18.【答案】−3±2 2 − 3>a>−4− 3或4− 3>a>− 3
【解析】解：(1)分别将A、B两点的坐标代入直线l，得方程组0= 3k+b3=b，解t得k=− 3b=3，
故直线l的表达式为y=− 3x+3．
将点P的坐标代入，得m2−( 3+a)m+2=0．
若它只有一个根(即有两相等实根)，则有( 3+a)2−8=0，解的a=− 3±2 2．
故答案为：− 3±2 2．
(2)点P到直线l的距离为12|− 3m+m2−am−1+3|=1，
整理得|m2−( 3+a)m+2|=2，即m2−( 3+a)m+2=±2．
①若m2−( 3+a)m+2=2有两个不相等的解，而m2−( 3+a)m+2=−2无解，则有( 3+a)2>0( 3+a)2−16<0，
解得4− 3>a>−4− 3且a≠− 3．
②若m2−( 3+a)m+2=−2有两个不相等的解，而m2−( 3+a)m+2=2无解，则有( 3+a)2<0( 3+a)2−16>0，无解．
③若m2−( 3+a)m+2=2有一个解，m2−( 3+a)m+2=−2有一个解，则有( 3+a)2=0( 3+a)2−16=0，无解．
故答案为：− 3>a>−4− 3或4− 3>a>− 3．
(1)将P点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程，求其只有一个解，即有两个相等的实根时a的值；
(2)将P点坐标代入点到直线的距离公式，讨论m的值有两个时a的取值范围．
本题难度较大，主要考查一次函数的性质及其图象上的坐标，计算量非常大，过程很容易出错，要求学生有一定的数学思维和极强的运算能力．
19.【答案】解：(1)原式=14+ 33−12× 32
=14+ 33− 34
=14+ 312；
(2)原式=x2−4x+4−(x2+x−3x−3)
=x2−4x+4−x2−x+3x+3
=−2x+7．
【解析】(1)先算负整数指数幂，把特殊三角函数值代入，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先展开，再去括号合并同类项．
本题考查实数混合运算和整式的化简，解题的关键是掌握实数相关运算法则和完全平方公式．
20.【答案】解：(1)x2−6x+4=0，
x2−6x=−4，
x2−6x+9=−4+9，
(x−3)2=5，
x−3=± 5，
x1= 5+3，x2=− 5+3；
(2)3x+1<2(x+2) ①−13x≤53x+2 ②，
由①得；x<3，
由②得：x≤1，
则不等式组的解集是x≤1；
【解析】(1)根据配方法的步骤，先移项，再两边同时加上4，再直接开平方即可求出答案；
(2)分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，用到的知识点是配方法和一元一次不等式组的解法，关键是找出解集的公共部分．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠DCB，
∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠DCB，
即∠ABE=∠ACD，
在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD；
(2)解：过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵AB=AC，BC=5，
∴BF=12BC=52，
∴AF= AB2−BF2= 82−(52)2= 2312，
∵CD⊥AB，
∴12AB⋅CD=12BC⋅AF，
即12×8CD=12×5× 2312，
解得：CD=5 23116，
∴BD= BC2−CD2=516，
由(1)得：△ABE≌△ACD，
∴CE=BD=516．
【解析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，从而可求得∠ABE=∠ACD，利用ASA可判定△ABE≌△ACD，则有BE=CD；
(2)过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理可求得AF，再利用等积求得CD的长，再次利用勾股定理可求得BD，结合(1)可得CE=BD，即可得解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边的关系．
22.【答案】解：(1)解：
空格1
空格2
空格3
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C(记为事件A)的结果有一种，所以P(A)=16；
(2)124
【解析】
(1)见答案；
(2)由(1)可知从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为：124，
故答案为：124．
【分析】
(1)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C的种数即可求出其概率；
(2)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的种数即可求出其概率；
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
23.【答案】(1)200；
(2)补条形统计图：丙有200−60−40−70=30瓶；
补扇形统计图：丁占70200=35%，丙占30200=15%；
如图：
(3)根据题意得：20×(1−95%)=1(万瓶)．
答：这四个品牌的不合格饮料有1万瓶．
【解析】
解：(1)60÷30%=200，
故答案为：200；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)甲的人数除以甲的百分比即可得到总人数；
(2)总人数减去甲、乙、丁人数，得到丙人数，丁、丙人数除以总人数，可得它们的百分比；
(3)用月销售量×(1−平均合格率)即可得到四个品牌的不合格饮料的瓶数．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1，再点A右侧5个单位格点处取点P，则点P为所求，
由题得AB=5，
以AB、AP为边作菱形ABDP，连接BP，
由菱形性质可得，BP平分角ABC．
(2)由图得S△ABC=12×4×4=8，如图2，
在点A右侧两个单位格点处取点E，在点C右侧两个单位格点处取点D，
∵AE//CD，AE=CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
且S▱ACDE=2×4=8，
故四边形ACDE为所求．
(3)如图3，在点A右侧4个单位格点取点D，在点C左侧1个单位格点取点E，
连接DE交AC于点M，连接BM，则点M为所求，
∵AD//CE，
∴△ADM∽△CEM，
∴AM：CM=AD：CE=1：4，
∴S△ABM：S△BCM=1：4．
【解析】(1)构造菱形ABDP，则由菱形性质得BP平分∠ABC；
(2)由△ABC的面积为8，作出底为2，高为4的平行四边形；
(3)构造满足相似比为1：4的相似三角形，由等高的三角形的面积比等于底之比，得到△ABM面积是△BCM4倍．
本题考查了菱形、平行四边形、三角形相似等知识点的应用，三角形面积的应用是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵点C为弧BD的中点，
∴BC=DC，
∴∠BOC=∠DOC，
∴12∠BOC=12∠DOC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=12∠BOC，
∵∠DAC=12∠DOC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC//AD，
∵CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∴∠F=90°，
∴∠OCF=180°−∠F=90°，
∵OC是⊙O的半径，且FC⊥OC，
∴FC是半圆O的切线．
(2)解：连接CD，
∵∠F=90°，AF=6，AC=4 3，
∴cos∠DAC=AFAC=64 3= 32，
∴∠DAC=30°，
∴∠BOC=∠DOC=2∠DAC=60°，
∴∠AOD=180°−∠BOC−∠DOC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴△AOD和△COD都是等边三角形，
∴OA=DA=OC=DC=OD，
∴四边形OADC是菱形，
∴DC//AB，
∴∠CDF=∠OAD=60°，
∴∠DCF=90°−∠CDF=30°，
∵CF=12AC=12×4 3=2 3，
∴DF=CF⋅tan30°=2 3× 33=2，
∴OD=AD=AF−DF=6−2=4，
∴S△DOC=S△DAC=12AD⋅CF=12×4×2 3=4 3，S△DFC=12DF⋅CF=12×2×2 3=2 3，
∵S阴影=S△DOC+S△DFC−S扇形DOC，S扇形DOC=60×π×42360=8π3，
∴S阴影=4 3+2 3−8π3=6 3−8π3，
∴阴影部分的面积是6 3−8π3．
【解析】(1)由BC=DC，得∠BOC=∠DOC，由∠OCA=∠OAC=12∠BOC，∠DAC=12∠DOC，得∠OCA=∠DAC，则OC//AD，所以∠OCF=180°−∠F=90°，即可证明FC是半圆O的切线；
(2)连接CD，由cos∠DAC=AFAC=64 3= 32，得∠DAC=30°，则∠BOC=∠DOC=2∠DAC=60°，所以∠AOD=60°，可证明△AOD和△COD都是等边三角形，四边形OADC是菱形，则DC//AB，可求得∠CDF=∠OAD=60°，∠DCF=30°，而CF=12AC=2 3，所以DF=CF⋅tan30°=2，OD=AD=4，即可求得S阴影=S△DOC+S△DFC−S扇形DOC=6 3−8π3．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设p与t之间的变化的一次函数关系为：p=kt+b，
将点(4,21)、(8,22)代入上式得：21=4k+b88=8k+b，解得：k=14b=20，
故p关于t的函数表达式为：p=14t+20(1≤t≤15,t为整数)；
(2)①设日销售利润为w，
由题意得：w=y(p−10)=−12(t−60)(t+40)(1≤t≤15,t为整数)，
∵−12<0，故w有最大值，当t=10时，w的最大值为1250；
故销售过程中最大日销售利润为1250元；
②设捐赠后的日销售利润为m，
由题意得：m=(p−10−n)y=(14t+20−10−n)(−2t+120)=−12(t+40−4n)(t−60)，
则抛物线的对称轴为t=12(60−40+2n)=10+2n，
∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴10+2n>11.5，
∴n>34．
又∵n<3，
∴n的取值范围为34
(2)日利润=日销售量×每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
(3)列式表示前12天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
27.【答案】解：(1)连接DB，
在矩形ABCD中，AB=3,AD=3 2，
∴BD= AB2+AD2=3 3，
若Q点落在BD上，由AP=x，则PD=3 2−x，PQ=x.BQ=AB=3，∠BQP=∠DQP=90°，
∴DQ=3 3−3，
∵PQ2+QD2=PD2，
∴x2+(3 3−3)2=(3 2−x)2，
∴x=3 6−3 2；
(2)①如图2，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴Q1F= 32Q1E=2− 32．
在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，
∴∠APQ1=150°，
∴△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE= 3Q1E=2 3−32，
∵AE=12，
∴x=AP=AE−PE=2− 3．
②如图3，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．在四边形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°，
∴∠ABP=30°，
∴x=AP= 33．
③如图4，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，
∴Q1Q2= 3，Q1E=2− 32，
∴EF=2+ 32．
在四边形ABQ3P中，
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP= 3EF=2 3+32．
∵AE=12，
∴x=AP=AE+PE= 3+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2− 3或 33或2+ 3．
【解析】(1)连接DB，根据矩形的性质得BD的长，若Q点落在BD上，由AP=x，则PD=3 2−x，PQ=x.BQ=AB=3，∠BQP=∠DQP=90°，然后由勾股定理可得答案；
(2)分三种情况：①连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F；②连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F；③连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合，根据三角函数计算可得答案．
此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
28.【答案】解：(1)设A(x1,0)，B(x2,0)，
则OA=x1，OB=x2，AB=x2−x1，
令y=0，得14x2+bx+c=0，
整理得：x2+4bx+4c=0，
则x1+x2=−4b，x1x2=4c，
令x=0，得y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=c，
∵∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠BCO，
∴△AOC∽△COB，
∴OAOC=OCOB，
∴OC2=OA⋅OB，即c2=4c，
解得：c=0(舍去)或c=4．
∵S△ABC=12，
∴12AB⋅OC=12，即12×4(x2−x1)=12，
∴x2−x1=6，
∴(x1+x2)2−4x1x2=36，即16b2−64=36，
解得：b=±52，
∵x2>x1>0，
∴x1+x2=−4b>0，
∴b<0，
∴b=−52，
∴该二次函数解析式为y=14x2−52x+4；
(2)①由(1)得：y=14x2−52x+4，
令y=0，得14x2−52x+4=0，
解得：x1=2，x2=8，
∴A(2,0)，B(8,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+n，把B(8,0)，C(0,4)代入得：8k+n=0n=4，
解得：k=−12n=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4，
设P(m,14m2−52m+4)，过点P作PD//y轴交BC于点D，作PE⊥BC于点E，如图，设⊙P与BC交于F、G，
则FG= 11，PF=PG=2，D(m,−12m+4)，
∴PD=|14m2−52m+4−(−12m+4)|=|14m2−2m|，
∵PE⊥FG，
∴EF=EG= 112，∠PED=90°，
在Rt△PEF中，PE= PF2−EF2= 22−( 112)2= 52，
在Rt△BCO中，BC= OB2+OC2= 82+42=4 5，
∵PD//y轴，
∴∠PDE=∠BCO，
∵∠PED=∠BOC=90°，
∴△PDE∽△BCO，
∴PDPE=BCOB，即|14m2−2m| 52=4 58，
∴|14m2−2m|=54，
解得：m1=4− 21，m2=4+ 21，m3=4− 11，m4=4+ 11，
(3)如图，设射线BQ交y轴于点N，CM交x轴于点E，连接PQ，
∵当射线BQ与⊙P相切，且射线BQ在x轴下方时，点M的纵坐标最小，
∴半径PQ⊥BQ，
∵点P与点A重合，
∴P(2,0)，
∴OP=2，
在Rt△BPQ中，BP=6，PQ=2，
∴BQ= BP2−BQ2= 62−22=4 2，
∵tan∠NBO=ONOB=PQBQ，
∴ON=PQ⋅OBBQ=2×84 2=2 2，
∴N(0,−2 2)，
∵CM⊥BQ，
∴∠CMN=90°=∠BON，
∵∠CNM=∠BNO，
∴△CNM∽△BNO，
∴∠NCM=∠NBO，
∴tan∠NCM=tan∠NBO，
∴OEOC=ONOB，即OE4=2 28，
∴OE= 2，
∴E( 2,0)，
设射线BQ的解析式分别为y=k1x+b1，则8k1+b1=0b1=−2 2，
解得：k1= 24b1=−2 2，
∴射线BQ的解析式分别为y= 24x−2 2，
同理可得直线CM的解析式为y=−2 2x+4，
联立方程组y= 24x−2 2y=−2 2x+4，
解得：x=8 2+89y=4−16 29
∴M(8 2+89,4−16 29)，
∴点M纵坐标的最小值为4−16 29．
【解析】(1)设A(x1,0)，B(x2,0)，由x2+4bx+4c=0，根据根与系数的关系得：x1+x2=−4b，x1x2=4c，再证得△AOC∽△COB，可得OAOC=OCOB，即c2=4c，可得c=4.再由S△ABC=12，可得12×4(x2−x1)=12，即x2−x1=6，进而求得b=−52，即可得出二次函数解析式为y=14x2−52x+4；
(2)运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−12x+4，设P(m,14m2−52m+4)，过点P作PD//y轴交BC于点D，作PE⊥BC于点E，如图，设⊙P与BC交于F、G，则PD=|14m2−52m+4−(−12m+4)|=|14m2−2m|，再证明△PDE∽△BCO，可得PDPE=BCOB，即|14m2−2m| 52=4 58，解方程即可得出答案；
(3)设射线BQ交y轴于点N，CM交x轴于点E，连接PQ，当射线BQ与⊙P相切，且射线BQ在x轴下方时，点M的纵坐标最小，利用待定系数法可求得射线BQ的解析式分别为y= 24x−2 2，直线CM的解析式为y=−2 2x+4，联立方程组求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，勾股定理，圆的性质，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，涉及知识点较多，难度较大，解题关键是对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶．
2023年江苏省无锡重点学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的倒数是( )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 函数y= x−5中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥−5 B. x≤−5 C. x≥5 D. x≤5
3. “一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( )
A. 44×108 B. 4.4×109 C. 4.4×108 D. 4.4×1010
4. 初三(1)班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下：这12名同学进球数的众数和中位数分别是( )
进球数(个)
1
2
3
4
5
7
人数(人)
1
1
4
2
3
1
A. 3.75：3.5 B. 3：3 C. 3：3.5 D. 7：3
5. 如图，AO是⊙O半径，BC⊥OA，连接AB，若∠ABC=25°，∠OCB的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
6. 在正三角形、平行四边形、菱形和等腰梯形这四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形
7. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于( )
A. 24 cm2 B. 48 cm2 C. 24π cm2 D. 12π cm2
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角
B. 若实数a，b满足a2=b2，则a=b
C. 同旁内角互补
D. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
9. 如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，若CD=2，则DF的长是( )
A. 3+ 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 3 3−3
10. 如图，在平面直角坐标系中，O是Rt△ABC斜边AB的中点，点A、E均在反比例函数y=6x(x>0)图象上，AE延长线交x轴于点D，且∠BAD=2∠ABC，AD=2AE.则△ACD的面积为( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：a3−6a2+9a= ______ ．
12. 分式方程31−x=4x的解是______ ．
13. 正九边形的每一个内角是______ 度.
14. 能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是______ ．
15. 若关于x，y的二元一次方程组x−y=3m−2x+3y=−4的解满足x+y>0，则m的取值范围______ ．
16. 如图，▱ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，AEED=3，点F为CD中点，则GFAG的值是______ ．
17. 已知Rt△ABC三边分别为6，8，10，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为______ ．
18. 直线l：y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( 3,0)、B(0,3)，动点P的坐标为(m,−m2+am+1)(a为常数)．
(1)当a= ______ 时，有且仅有一个满足条件的m的值，使得点P在直线l上；
(2)若有且仅有两个符合条件的m的值，使得点P到直线l的距离为1，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：(1)2−2+ 13−12cos30°；
(2)(x−2)2−(x−3)(x+1)．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：x2−6x+4=0；
(2)解不等式组：3x+1<2(x+2)−13x≤53x+2．
21. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上∠EBC=∠DCB．
(1)求证：BE=CD
(2)若AB=8，BC=5，当CD⊥AB时，求CE的长．
22. (本小题10.0分)
(1)如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中(每空填一个字母，每空中的字母不重复)，请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
(2)若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中(每空填一个字母，每空中的字母不重复)，从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为______．
23. (本小题10.0分)
为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)这次抽查了四个品牌的饮料共______瓶；
(2)请补全两条统计图；
(3)若四个品牌饮料的平均合格率是95%，四个品牌饮料月销售量约20万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？
24. (本小题10.0分)
如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，作出一个满足条件的格点P，使得射线BP平分∠ABC；
(2)在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以AC为边的▱ACDE，D、E均在格点上；
(3)在图3中，在AC边上找一点M，连接BM，使△ABM面积是△BCM面积的4倍．
25. (本小题10.0分)
如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上的一点(不与A，B重合)，连接AD，点C为弧BD的中点，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F．
(1)求证：FC是半圆O的切线；
(2)若AF=6，AC=4 3，求阴影部分的面积．
26. (本小题10.0分)
水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p(元/千克)与销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天)之间的部分数据如表：
销售时间t(1≤t≤15,t为整数)(天)
1
4
5
8
12
销售单价p(元/千克)
20.25
21
21.25
22
23
已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．
(1)试求p关于t的函数表达式；
(2)若该水果的日销量y(千克)与销售时间t(天)的关系满足一次函数y=−2t+120(1≤t≤15,t为整数)．
①求销售过程中最大日销售利润为多少？
②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润(n<3)给“精准扶贫”对象.现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
27. (本小题10.0分)
如图，已知矩形ABCD中，AB=3,AD=3 2，点P是线段AD上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，设AP=x．
(1)求当D，Q，B三点在同一直线上时对应的x的值．
(2)当点Q在矩形ABCD内部时，若△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，求x的值．
28. (本小题10.0分)
已知二次函数y=14x2+bx+c(b,c为常数)的图象与x轴正半轴交于点A，B(点A位于点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.若∠OAC=∠BCO；
(1)试确定c的值，并确定当△ABC的面积为12时的二次函数的表达式．
(2)在(1)的条件下，若在抛物线上存在一点P，以P为圆心，2为半径作⊙P，
①若被直线BC截得的弦长为 11时，求点P的横坐标m；
②当点P与点A重合时，过圆上任意一点Q作射线BQ，过点C作CM⊥BQ于点M，直接写出点M纵坐标的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查倒数的定义．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】
解：∵−2×(−12)=1，
∴−2的倒数是−12．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得，x−5≥0，
解得x≥5．
故选：C．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3.【答案】B
【解析】解：4400000000用科学记数法表示为：4.4×109，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】C
【解析】解：由表格可得，
这12名同学进球数的众数是3，中位数是(3+4)÷2=3.5，
故选：C．
根据表格中的数据，可以写出这组数据的众数，计算出这组数据的中位数，本题得以解决．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．
5.【答案】B
【解析】解：∵BC⊥OA，
∴∠OHC=90°，
∴∠O+∠C=90°，
∵∠ABC=12∠O，∠ABC=25°，
∴∠O=50°，
∴∠OCB=90°−50°=40°．
故选：B．
由垂直的定义得到∠O+∠C=90°，由圆周角定理得到∠O=50°，于是得到∠OCB的度数．
本题考查圆周角定理，垂线，关键是由圆周角定理求出∠O的度数．
6.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7.【答案】C
【解析】解：圆锥侧面展开图的面积为：12×2π×4×6=24π，
故选：C．
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若实数a，b满足a2=b2，则a=±b，故错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
利用对顶角的定义、实数的性质、平行线的性质及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
9.【答案】A
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵ED⊥BC，
∴∠EDC=90°，
∵CD=2，
∴CE=2CD=4，ED= 3CD=2 3，
∴AE=DE=2 3，
∴AC=AE+CE=2 3+4，
∴BD=BC−CD=4+2 3−2=2+2 3，
∵AF=DF，AE=DE，EF=EF，
∴△AEF≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠FDE=60°，
∴∠BDF+∠EDC=120°，
又∵∠DEC+∠EDC=120°，
∴∠BDF=∠DEC，
又∵∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴BFCD=BDCE，
∴BF2=2+2 34，
∴BF=1+ 3，
∴AF=AB−BF=4+2 3−(1+ 3)=3+ 3，
∴DF=3+ 3．
故选：A．
由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，求出AC和BD的长，证明△AEF≌△DEF(SSS)，由全等三角形的性质得出∠A=∠FDE=60°，证明△BDF∽△CED，得出BFCD=BDCE，求出BF的长，则可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OE，OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，则EF//AG，
∵AE=DE，
∴DF=FG，EF=12AG，
∵点A、E均在反比例函数y=6x(x>0)图象上，
∴S△OAG=S△OEF=12×6=3，即12OG⋅AG=12OF⋅EF，
∴OF=2OG，
∴DF=FG=OG，
∴S△OEF=23S△ODE=3，
∴S△ODE=4.5，
∴S△AOD=2S△ODE=9，
∵O是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD，
∴OC//AD，
∴S△ACD=S△AOD=9．
故选：B．
连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，则EF//AG，利用三角形中位线定理和反比例函数系数k的几何意义证得DF=FG=OG，即可求得S△OEF=23S△ODE=3，从而求得S△ODE=4.5，进一步求得S△AOD=2S△ODE=9，证明OC//AD，即可推出S△ACD=S△AOD=9．
本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC//AD，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】a(a−3)2
【解析】解：a3−6a2+9a=a(a2−6a+9)=a(a−3)2，
故答案为a(a−3)2
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.【答案】x=47
【解析】解：去分母，得3x=4(1−x)，
3x=4−4x，
解得x=47，
经检验，x=47是原方程的根．
故答案为：x=47．
根据解分式方程的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
13.【答案】140
【解析】解：180°⋅(9−2)÷9=140°．
先求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理．
n边形的内角和为：180°(n−2)．
此类题型直接根据内角和公式计算可得内角和，再除以边数即可．
14.【答案】a= 3，b=− 3(答案不唯一)
【解析】解：当a= 3，b=− 3时，
a+b
= 3+(− 3)
=0，
∴a= 3，b=− 3时，a+b是有理数．
故答案为：a= 3，b=− 3(答案不唯一)．
由互为相反数的两个无理数的和是0，即可得到答案．
本题考查命题与定理，无理数，关键是掌握无理数的概念，
15.【答案】m>2
【解析】解：x−y=3m−2①x+3y=−4②，
①+②，得：2x+2y=3m−6，
∴x+y=3m−62，
∵x+y>0，
∴3m−62>0，
解得m>2，
故答案为：m>2．
将两个不等式相加，即可用含m的代数式表示出x+y，然后根据x+y>0，即可得到m的取值范围．
本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，用含m的代数式表示出x+y．
16.【答案】56
【解析】解：延长BE、CD交于点H，如图，
∵AEED=3，
∴AE=3DE，
∴AD=AE+DE=3DE+DE=4DE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=4DE，AB=CD，AD//BC，AB//CD，
∴△HDE∽△HCB，
∴DHCH=DEBC，即DHCH=DE4DE=14，
∴CH=4DH，
∴AB=CD=CH−DE=4DH−CH=3CH，
∵点F为CD中点，
∴DF=CF=12CD=32DH，
∴FH=DF+DH=32DH+DH=52DH，
∵AB//FH，
∴△FGH∽△AGB，
∴GFAG=FHAB，即GFAG=52DH3DH=56．
故答案为：56．
延长BE、CD交于点H，根据题意易得AD=4DE，由平行四边形的性质可得AD=BC=4DE，AB=CD，AD//BC，AB//CD，易证△HDE∽△HCB，得到CH=4DH，于是可得AB=CD=3CH，CF=32DH，FH=52DH，易得△FGH∽△AGB，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
17.【答案】13
【解析】解：如图，Rt△ABC，AC=6，BC=8，AB=10，
取AB中点D，则点D为外心，
取AC中点E，连接BE、CD交于点G，则点G为重心，
设点F为内心，
过点G作MN垂直于BC于N，交ED与M，作FH⊥CB于点H，
∵点E为中点，AC=6，
∴EC=3=MN，
由题得，ED为中位线，
∴ED：CB=1：2，
∴GM：GN=1：2，DG：CG=1：2，
∴GM=1，GN=2，
∵CD=12AB=5，
∴CG=23×5=103，
∴CN= CG2−NG2=83，
由内切圆半径r=2SC 得，r=4824=2，
∴FH=CH=2，
∴HN=83−2=23，
由图得四边形FGNM为矩形，
∴FG//HN，
∴S△FGD=12FG⋅MG=12×23×1=13．
故答案为：13．
利用相似求出CG、NG、MG，再根据内切圆半径公式求出CH，从而求出HN，证明FG//CB，即可用公式求出三角形面积．
本题考查了三角形内心、重心、外心的性质及应用，三角形相似及内切圆半径公式的应用是解题关键．
18.【答案】−3±2 2 − 3>a>−4− 3或4− 3>a>− 3
【解析】解：(1)分别将A、B两点的坐标代入直线l，得方程组0= 3k+b3=b，解t得k=− 3b=3，
故直线l的表达式为y=− 3x+3．
将点P的坐标代入，得m2−( 3+a)m+2=0．
若它只有一个根(即有两相等实根)，则有( 3+a)2−8=0，解的a=− 3±2 2．
故答案为：− 3±2 2．
(2)点P到直线l的距离为12|− 3m+m2−am−1+3|=1，
整理得|m2−( 3+a)m+2|=2，即m2−( 3+a)m+2=±2．
①若m2−( 3+a)m+2=2有两个不相等的解，而m2−( 3+a)m+2=−2无解，则有( 3+a)2>0( 3+a)2−16<0，
解得4− 3>a>−4− 3且a≠− 3．
②若m2−( 3+a)m+2=−2有两个不相等的解，而m2−( 3+a)m+2=2无解，则有( 3+a)2<0( 3+a)2−16>0，无解．
③若m2−( 3+a)m+2=2有一个解，m2−( 3+a)m+2=−2有一个解，则有( 3+a)2=0( 3+a)2−16=0，无解．
故答案为：− 3>a>−4− 3或4− 3>a>− 3．
(1)将P点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程，求其只有一个解，即有两个相等的实根时a的值；
(2)将P点坐标代入点到直线的距离公式，讨论m的值有两个时a的取值范围．
本题难度较大，主要考查一次函数的性质及其图象上的坐标，计算量非常大，过程很容易出错，要求学生有一定的数学思维和极强的运算能力．
19.【答案】解：(1)原式=14+ 33−12× 32
=14+ 33− 34
=14+ 312；
(2)原式=x2−4x+4−(x2+x−3x−3)
=x2−4x+4−x2−x+3x+3
=−2x+7．
【解析】(1)先算负整数指数幂，把特殊三角函数值代入，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先展开，再去括号合并同类项．
本题考查实数混合运算和整式的化简，解题的关键是掌握实数相关运算法则和完全平方公式．
20.【答案】解：(1)x2−6x+4=0，
x2−6x=−4，
x2−6x+9=−4+9，
(x−3)2=5，
x−3=± 5，
x1= 5+3，x2=− 5+3；
(2)3x+1<2(x+2) ①−13x≤53x+2 ②，
由①得；x<3，
由②得：x≤1，
则不等式组的解集是x≤1；
【解析】(1)根据配方法的步骤，先移项，再两边同时加上4，再直接开平方即可求出答案；
(2)分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，用到的知识点是配方法和一元一次不等式组的解法，关键是找出解集的公共部分．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠DCB，
∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠DCB，
即∠ABE=∠ACD，
在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD；
(2)解：过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵AB=AC，BC=5，
∴BF=12BC=52，
∴AF= AB2−BF2= 82−(52)2= 2312，
∵CD⊥AB，
∴12AB⋅CD=12BC⋅AF，
即12×8CD=12×5× 2312，
解得：CD=5 23116，
∴BD= BC2−CD2=516，
由(1)得：△ABE≌△ACD，
∴CE=BD=516．
【解析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，从而可求得∠ABE=∠ACD，利用ASA可判定△ABE≌△ACD，则有BE=CD；
(2)过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理可求得AF，再利用等积求得CD的长，再次利用勾股定理可求得BD，结合(1)可得CE=BD，即可得解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角与各边的关系．
22.【答案】解：(1)解：
空格1
空格2
空格3
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C(记为事件A)的结果有一种，所以P(A)=16；
(2)124
【解析】
(1)见答案；
(2)由(1)可知从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为：124，
故答案为：124．
【分析】
(1)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C的种数即可求出其概率；
(2)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的种数即可求出其概率；
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
23.【答案】(1)200；
(2)补条形统计图：丙有200−60−40−70=30瓶；
补扇形统计图：丁占70200=35%，丙占30200=15%；
如图：
(3)根据题意得：20×(1−95%)=1(万瓶)．
答：这四个品牌的不合格饮料有1万瓶．
【解析】
解：(1)60÷30%=200，
故答案为：200；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)甲的人数除以甲的百分比即可得到总人数；
(2)总人数减去甲、乙、丁人数，得到丙人数，丁、丙人数除以总人数，可得它们的百分比；
(3)用月销售量×(1−平均合格率)即可得到四个品牌的不合格饮料的瓶数．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1，再点A右侧5个单位格点处取点P，则点P为所求，
由题得AB=5，
以AB、AP为边作菱形ABDP，连接BP，
由菱形性质可得，BP平分角ABC．
(2)由图得S△ABC=12×4×4=8，如图2，
在点A右侧两个单位格点处取点E，在点C右侧两个单位格点处取点D，
∵AE//CD，AE=CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
且S▱ACDE=2×4=8，
故四边形ACDE为所求．
(3)如图3，在点A右侧4个单位格点取点D，在点C左侧1个单位格点取点E，
连接DE交AC于点M，连接BM，则点M为所求，
∵AD//CE，
∴△ADM∽△CEM，
∴AM：CM=AD：CE=1：4，
∴S△ABM：S△BCM=1：4．
【解析】(1)构造菱形ABDP，则由菱形性质得BP平分∠ABC；
(2)由△ABC的面积为8，作出底为2，高为4的平行四边形；
(3)构造满足相似比为1：4的相似三角形，由等高的三角形的面积比等于底之比，得到△ABM面积是△BCM4倍．
本题考查了菱形、平行四边形、三角形相似等知识点的应用，三角形面积的应用是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵点C为弧BD的中点，
∴BC=DC，
∴∠BOC=∠DOC，
∴12∠BOC=12∠DOC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=12∠BOC，
∵∠DAC=12∠DOC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC//AD，
∵CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∴∠F=90°，
∴∠OCF=180°−∠F=90°，
∵OC是⊙O的半径，且FC⊥OC，
∴FC是半圆O的切线．
(2)解：连接CD，
∵∠F=90°，AF=6，AC=4 3，
∴cos∠DAC=AFAC=64 3= 32，
∴∠DAC=30°，
∴∠BOC=∠DOC=2∠DAC=60°，
∴∠AOD=180°−∠BOC−∠DOC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴△AOD和△COD都是等边三角形，
∴OA=DA=OC=DC=OD，
∴四边形OADC是菱形，
∴DC//AB，
∴∠CDF=∠OAD=60°，
∴∠DCF=90°−∠CDF=30°，
∵CF=12AC=12×4 3=2 3，
∴DF=CF⋅tan30°=2 3× 33=2，
∴OD=AD=AF−DF=6−2=4，
∴S△DOC=S△DAC=12AD⋅CF=12×4×2 3=4 3，S△DFC=12DF⋅CF=12×2×2 3=2 3，
∵S阴影=S△DOC+S△DFC−S扇形DOC，S扇形DOC=60×π×42360=8π3，
∴S阴影=4 3+2 3−8π3=6 3−8π3，
∴阴影部分的面积是6 3−8π3．
【解析】(1)由BC=DC，得∠BOC=∠DOC，由∠OCA=∠OAC=12∠BOC，∠DAC=12∠DOC，得∠OCA=∠DAC，则OC//AD，所以∠OCF=180°−∠F=90°，即可证明FC是半圆O的切线；
(2)连接CD，由cos∠DAC=AFAC=64 3= 32，得∠DAC=30°，则∠BOC=∠DOC=2∠DAC=60°，所以∠AOD=60°，可证明△AOD和△COD都是等边三角形，四边形OADC是菱形，则DC//AB，可求得∠CDF=∠OAD=60°，∠DCF=30°，而CF=12AC=2 3，所以DF=CF⋅tan30°=2，OD=AD=4，即可求得S阴影=S△DOC+S△DFC−S扇形DOC=6 3−8π3．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设p与t之间的变化的一次函数关系为：p=kt+b，
将点(4,21)、(8,22)代入上式得：21=4k+b88=8k+b，解得：k=14b=20，
故p关于t的函数表达式为：p=14t+20(1≤t≤15,t为整数)；
(2)①设日销售利润为w，
由题意得：w=y(p−10)=−12(t−60)(t+40)(1≤t≤15,t为整数)，
∵−12<0，故w有最大值，当t=10时，w的最大值为1250；
故销售过程中最大日销售利润为1250元；
②设捐赠后的日销售利润为m，
由题意得：m=(p−10−n)y=(14t+20−10−n)(−2t+120)=−12(t+40−4n)(t−60)，
则抛物线的对称轴为t=12(60−40+2n)=10+2n，
∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴10+2n>11.5，
∴n>34．
又∵n<3，
∴n的取值范围为34
(2)日利润=日销售量×每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
(3)列式表示前12天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
27.【答案】解：(1)连接DB，
在矩形ABCD中，AB=3,AD=3 2，
∴BD= AB2+AD2=3 3，
若Q点落在BD上，由AP=x，则PD=3 2−x，PQ=x.BQ=AB=3，∠BQP=∠DQP=90°，
∴DQ=3 3−3，
∵PQ2+QD2=PD2，
∴x2+(3 3−3)2=(3 2−x)2，
∴x=3 6−3 2；
(2)①如图2，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴Q1F= 32Q1E=2− 32．
在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，
∴∠APQ1=150°，
∴△PEQ1为含30°的直角三角形，
∴PE= 3Q1E=2 3−32，
∵AE=12，
∴x=AP=AE−PE=2− 3．
②如图3，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，
∴△ABQ2为等边三角形．在四边形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°，
∴∠ABP=30°，
∴x=AP= 33．
③如图4，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，
∴Q1Q2= 3，Q1E=2− 32，
∴EF=2+ 32．
在四边形ABQ3P中，
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP= 3EF=2 3+32．
∵AE=12，
∴x=AP=AE+PE= 3+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2− 3或 33或2+ 3．
【解析】(1)连接DB，根据矩形的性质得BD的长，若Q点落在BD上，由AP=x，则PD=3 2−x，PQ=x.BQ=AB=3，∠BQP=∠DQP=90°，然后由勾股定理可得答案；
(2)分三种情况：①连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F；②连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F；③连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合，根据三角函数计算可得答案．
此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
28.【答案】解：(1)设A(x1,0)，B(x2,0)，
则OA=x1，OB=x2，AB=x2−x1，
令y=0，得14x2+bx+c=0，
整理得：x2+4bx+4c=0，
则x1+x2=−4b，x1x2=4c，
令x=0，得y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=c，
∵∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠BCO，
∴△AOC∽△COB，
∴OAOC=OCOB，
∴OC2=OA⋅OB，即c2=4c，
解得：c=0(舍去)或c=4．
∵S△ABC=12，
∴12AB⋅OC=12，即12×4(x2−x1)=12，
∴x2−x1=6，
∴(x1+x2)2−4x1x2=36，即16b2−64=36，
解得：b=±52，
∵x2>x1>0，
∴x1+x2=−4b>0，
∴b<0，
∴b=−52，
∴该二次函数解析式为y=14x2−52x+4；
(2)①由(1)得：y=14x2−52x+4，
令y=0，得14x2−52x+4=0，
解得：x1=2，x2=8，
∴A(2,0)，B(8,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+n，把B(8,0)，C(0,4)代入得：8k+n=0n=4，
解得：k=−12n=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4，
设P(m,14m2−52m+4)，过点P作PD//y轴交BC于点D，作PE⊥BC于点E，如图，设⊙P与BC交于F、G，
则FG= 11，PF=PG=2，D(m,−12m+4)，
∴PD=|14m2−52m+4−(−12m+4)|=|14m2−2m|，
∵PE⊥FG，
∴EF=EG= 112，∠PED=90°，
在Rt△PEF中，PE= PF2−EF2= 22−( 112)2= 52，
在Rt△BCO中，BC= OB2+OC2= 82+42=4 5，
∵PD//y轴，
∴∠PDE=∠BCO，
∵∠PED=∠BOC=90°，
∴△PDE∽△BCO，
∴PDPE=BCOB，即|14m2−2m| 52=4 58，
∴|14m2−2m|=54，
解得：m1=4− 21，m2=4+ 21，m3=4− 11，m4=4+ 11，
(3)如图，设射线BQ交y轴于点N，CM交x轴于点E，连接PQ，
∵当射线BQ与⊙P相切，且射线BQ在x轴下方时，点M的纵坐标最小，
∴半径PQ⊥BQ，
∵点P与点A重合，
∴P(2,0)，
∴OP=2，
在Rt△BPQ中，BP=6，PQ=2，
∴BQ= BP2−BQ2= 62−22=4 2，
∵tan∠NBO=ONOB=PQBQ，
∴ON=PQ⋅OBBQ=2×84 2=2 2，
∴N(0,−2 2)，
∵CM⊥BQ，
∴∠CMN=90°=∠BON，
∵∠CNM=∠BNO，
∴△CNM∽△BNO，
∴∠NCM=∠NBO，
∴tan∠NCM=tan∠NBO，
∴OEOC=ONOB，即OE4=2 28，
∴OE= 2，
∴E( 2,0)，
设射线BQ的解析式分别为y=k1x+b1，则8k1+b1=0b1=−2 2，
解得：k1= 24b1=−2 2，
∴射线BQ的解析式分别为y= 24x−2 2，
同理可得直线CM的解析式为y=−2 2x+4，
联立方程组y= 24x−2 2y=−2 2x+4，
解得：x=8 2+89y=4−16 29
∴M(8 2+89,4−16 29)，
∴点M纵坐标的最小值为4−16 29．
【解析】(1)设A(x1,0)，B(x2,0)，由x2+4bx+4c=0，根据根与系数的关系得：x1+x2=−4b，x1x2=4c，再证得△AOC∽△COB，可得OAOC=OCOB，即c2=4c，可得c=4.再由S△ABC=12，可得12×4(x2−x1)=12，即x2−x1=6，进而求得b=−52，即可得出二次函数解析式为y=14x2−52x+4；
(2)运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−12x+4，设P(m,14m2−52m+4)，过点P作PD//y轴交BC于点D，作PE⊥BC于点E，如图，设⊙P与BC交于F、G，则PD=|14m2−52m+4−(−12m+4)|=|14m2−2m|，再证明△PDE∽△BCO，可得PDPE=BCOB，即|14m2−2m| 52=4 58，解方程即可得出答案；
(3)设射线BQ交y轴于点N，CM交x轴于点E，连接PQ，当射线BQ与⊙P相切，且射线BQ在x轴下方时，点M的纵坐标最小，利用待定系数法可求得射线BQ的解析式分别为y= 24x−2 2，直线CM的解析式为y=−2 2x+4，联立方程组求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，勾股定理，圆的性质，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，涉及知识点较多，难度较大，解题关键是对圆和二次函数的性质在掌握的基础上灵活讨论运动变化，对解题技巧和解题能力的要求上升到一个更高的台阶．
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