百大名校高二第二学期 期末综合测试一（解析版）

高二第二学期 期末综合测试一

一、单选题

1．（2021春·广西南宁·高二校考期末）已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为，又，

所以.

故选：A.

2．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】命题为全称量词命题，

其否定为.

故选：D

3．（2021春·广西玉林·高二期末）已知、、，则“”是“”的（    ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】当时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.

【详解】若，当时，，故不充分；

若，则，故，必要性.

故“”是“”的必要非充分条件.

故选：B

4．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知实数，满足，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质、特殊值、差比较法等知识确定正确答案.

【详解】依题意，，所以，所以C选项错误.

，所以，A选项正确.

时，，但，所以B选项错误.

时，，但，所以D选项错误.

故选：A

5．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，，，则的最小值为（    ）

A． B．4 C．8 D．

【答案】B

【分析】根据题意可得：，将式子展开利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，，，

则，

当且仅当时，即时取等，

所以的最小值为，

故选：.

6．（2022春·西藏林芝·高二校考期末）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：

则等于（    ）

A．0.4  B．0.5  C．0.6  D．0.7

【答案】C

【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C.

7．（2021春·陕西渭南·高二统考期末）已知随机变量，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.85 D．0.7

【答案】D

【分析】根据正态分布的性质求解即可．

【详解】由已知，，则，

故选：D

8．（2022春·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的计算公式求解即可

【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，

则，

所以.

故选：C

9．（2022春·四川雅安·高二统考期末）下列说法错误的是（    ）

A．线性回归直线一定过样本点中心

B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

【答案】D

【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.

【详解】回归直线必过样本点中心，故A正确；

拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；

残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；

相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.

故选：D

10．（2020春·天津宁河·高二校考期末）已知函数，，若方程在有且只有一个实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分离变量，将问题转化为与有且仅有一个交点，结合对勾函数性质和导数知识可求得单调性，进而作出图象，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】方程在有且只有一个实根等价于在上有且只有一个实根；

当时，，不是的实根；

当时，问题等价于在上有且仅有一个实根，

令，则与有且仅有一个交点；

当时，在上单调递增，上单调递减；

则；

当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，则；

由此可得图象如下图所示，

由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

11．（2022秋·江苏连云港·高二期末）出版社出版某一读物，1页上所印文字占去，如图，上、下边要留1.5cm空白，左、右两侧要留1cm空白，出版商为降低成本，应选用纸张的周长为________ ．

【答案】60

【分析】设文字的区域长为，则宽为，由条件可得纸张的面积为，利用均值不等式即得.

【详解】设文字的区域长为，则宽为．

则纸张的长为 ，宽为．

则纸张的面积为

当且仅当，即时等号成立．

此时的纸张的长为12，宽为18．

所以应选择的纸张满足长为12 ，宽为18，

所以应选用纸张的周长为60cm．

故答案为：60.

12．（2017春·河北秦皇岛·高二统考期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．

【答案】[2，6]

【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.

【详解】由命题“”的否定为“”，

因为命题“”为假命题，则“”为真命题，

所以，解得，

则实数的取值范围是.

故答案为：.

13．（2022春·广西百色·高二统考期末）随机变量，若，则___________.

【答案】/2.5

【分析】根据二项分布的公式，求出p,再计算D(X)即可.

【详解】解：，

所以，解得，

所以.

故答案为：.

14．（2021春·陕西渭南·高二统考期末）某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表所示：

根据上表可得线性回归方程为，则该产品的宣传费用为万元时，销售额约为__________万元.

【答案】

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归直线方程，可得结果.

【详解】由表格中的数据可得，，

样本中心点的坐标为，

将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，可得，

故回归直线方程为，当时，.

因此，该产品的宣传费用为万元时，销售额约为万元.

故答案为：.

15．（2022春·广东湛江·高二统考期末）函数在区间上的最大值是______，最小值是______.

【答案】         

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；

【详解】解：因为，，所以，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，，所以；

故答案为：；；

16．（2022秋·北京·高二北京市第十七中学校考期末）若函数，则______；曲线在点处的切线的方程是______．

【答案】          /

【分析】直接由求导公式和法则即可求，计算为切线的斜率，再由点斜式可得解.

【详解】由，得；

则切线的斜率为，

所以切线方程为：，即

故答案为：；.

三、解答题

17．（2022春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知函数，且函数在和处都取得极值.

（1）求实数与的值；

（2）对任意，，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据，即可求得参数，再检验即可；

（2）根据（1）中所求，求得在区间的最大值，再解关于的一元二次不等式，则问题得解.

【详解】（1）

由题意可知解得：

故可得，

令，故可得或，

则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.

故的两个极值点为和.

故当时，满足题意.

（2）由（1）所以

又，

即在区间上，

所以，解得：或.

故实数的取值范围为：.

【点睛】本题考查利用导数由极值点求参数值，以及利用导数求函数最值，属综合基础题.

18．（2023秋·江西宜春·高二校考期末）北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；

(2)设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；

【答案】(1)

(2)分布列见解析，3

【分析】(1)根据独立重复实验概率公式和概率加法公式求解；

(2)由已知确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件，

则.

（2）的可能取值为2，3，4.

，

，

，

的分布列为：

数学期望

19．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据条件概型的知识求得正确答案.

（2）根据取出的一次性筷子的双数求得分布列，并求得数学期望.

【详解】（1）设事件A为第1次取出的是一次性筷子，事件B为第2次取出的是非一次性筷子，

则．

其中，，

所以．

（2）记取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）为X，则，

，

，

，

X的分布列为

X的数学期望．

20．（2022春·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期末）已知函数.

(1)求的最大值;

(2)当时，证明：.

【答案】(1)0

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数研究函数单调性，求最大值；

（2）等价于，利用导数求函数在区间内的最小值即可证明.

【详解】（1），，

当时，，时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为.

（2）证明：设，故，

令，

时，，故在单调递增，即在单调递增，

故，在单调递增，故恒成立，

故当时：