百大名校高二数学期末复习基础卷（解析版）

期末复习01（基础卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（江苏省苏州市五区四市2022-2023学年第二学期高二数学）

 已知（，且），则的值为（    ）

A. 30 B. 42 C. 56 D. 72

【答案】C

【解析】因为，所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C

2、（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题，，，

则，故选：B

3．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）设随机变量的概率分布列为：

则（       ）A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，，即事件的对立事件是的事件，

所以.

故选：C

4、（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为，

事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个,

事件A发生的概率，

而事件A B包含的基本事件有“”一个，

可得事件AB发生的概率，

.

故选：D

5、（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【解析】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，

剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，

有，

则共有种，故选：．

6、（2022·江苏·扬州中学高二期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

所以，，，

设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，

设直线与平面BDE所成角为，所以．

故选：D.

7、（2022·河南新乡·高二期中（理））展开式中的常数项为（       ）

A．－70 B．－56 C．56 D．70

【答案】D

【解析】的通项公式为，

当时，得到展开式的常数项为，故选：D

8、（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体的棱长为3，点E在上底面内(不包含边界)，若，则AE与平面所成角的正弦值的最大值为(       )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

，即，∴，

∴点E为在四边形内，以为圆心，1为半径的四分之一圆上，

设，且，

∴，，.

设平面的法向量，

则，令，则.

设AE与平面所成角为，

则，

当且仅当时，有最大值.故选：C.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ）

A．若，则

B．，，两两共面，但，，不共面

C．一定存在实数x，y，使得

D．，，一定能构成空间的一个基底

【答案】ABD

【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，

∴若，则，A正确，B正确；

若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；

设，则，此方程组无解，

∴，，不共面，D正确.

故选：ABD.

10、（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（       ）

A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】ABD

【解析】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有种，A正确：

若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有种，B正确：

若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有种排法，甲、乙两人相邻有种排法，所以共有种站法，C错误；

前排有种站法，后排3人中最高的站中间有种站法，所以共有种站法，D正确.故选：ABD

11、（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（       ）

A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于

B．B选项是正确选项的概率高于

C．在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为

D．在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率

【答案】BC

【解析】若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确答案的概率为，

对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；

对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；

对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；

对于D，D选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.

故选：BC.

12、（江苏省苏州市五区四市2022-2023学年第二学期高二数学）

 在的展开式中（    ）

A. 常数项为 B. 项的系数为

C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可.

【详解】的展开式的通项公式，

对于A：令，解得，可得，

即常数项为，故A错误；

对于B：令，解得，可得，

即项的系数为，故B正确；

对于C：由通项公式可得：第项的系数为，

当为偶数时，；当为奇数时，；

取为偶数，令，则，

整理得，解得，

所以系数最大项第3项，故C正确；

对于D：令，则，

所以有理项共有5项，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2023·云南玉溪·统考一模）已知随机变量，若，则p＝_____．

【答案】

【解析】已知X～B（2，p），

则，

∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．

故答案为：．

14、（江苏省苏州市五区四市2022-2023学年第二学期高二数学） 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有________个.

【答案】

【解析】若个位为，则有个，若个位为，则有个，

综上可得组成的四位数中，能被整除的有个.

故答案为：

15、（2023·云南·统考一模）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)

【答案】

【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，

由可得，，

所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

16、（江苏省苏州市五区四市2022-2023学年第二学期高二数学）

 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：

自左向右，第n行第个数记为（n，且）.若（且），则k的值为________；（且）的值为________.

【答案】    ①. 或；    ②.

【解析】

【分析】确定或，解得答案，根据组合公式得到原式为，计算得到答案.

【详解】，则，或，，故或；

.

故答案为：或；

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2022-2023南京六校联考）（本小题满分10分）

已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

（1）若，求:

（2）求中的项.

解：

.............................................2

..................................6

..............................................................10

18、（2022·全国·高二课时练习）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）假设2020年该省一本线为520分，利用（1）中求出的回归方程预测2020年该大学录取平均分.

参考公式：，

【解析】（1）由题知：，

，

所以得：，

，

故所求回归方程为：

（2）由（1）知：当时，，故预测该大学2020年的录取平均分为.

19、（2022~2023学年第二学期常熟市高二试卷）（本小题满分12分）7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．

（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？

解：（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法.

故排法共有（种）.

（2）法一  甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，

共有 （种）.

法二  7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

共有（种）.

（3）法一  16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种.

法二  先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：

1．四只口罩分给1人，有种分法；

2．四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法；

3．四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；

4．四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；

5．四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；

则共有种分法.

20、（江苏省苏州市五区四市2022-2023学年第二学期高二数学）

 近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，

（1）求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；

（2）记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.

【解析】

【小问1详解】

依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，

所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.

【小问2详解】

依题意的可能取值为、、、、，且，

所以，，

，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以.

21、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．

(1)证明：为圆柱底面的直径；

(2)若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)见解析；(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面，继而证明平面，根据线面垂直的性质定理证明，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】（1）证明：连接，在直三棱柱中，，

∴四边形为正方形，

∴

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，

∴

又平面，平面，

∴．

又，,平面，

∴平面，又平面，

∴，∴为圆柱底面的直径．

（2）由已知平面，，

∴以为正交基底建立空间直角坐标系，

∴，，，，，．

∵为，中点，

∴，．

设平面的一个法向量为．

则，又，，

∴，取，得，，∴，

设平面的一个法向量为．

则，又，，

∴，取，得，．

∴，

∴，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

22、（2023·黑龙江大庆·统考一模）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.

(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；

(3)若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.

【详解】（1）种子密度的平均值为：（）

（2）由频率分布直方图知优种占比为，

任选一粒种子萌发的概率，

因为为这批种子总数远大于2，所以，

，，

，

所以布列为：

期望.

（3）因为该品种种子的密度，

所以，，即，

所以20000粒种子中约有优种（粒）

即估计其中优种的数目为粒.