2023年湖北省襄阳市东风中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖北省襄阳市东风中学中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省襄阳市东风中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．
2．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是(   )

A． B． C． D．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（    ）

A．26° B．36° C．44° D．54°
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ）

A．6 B．12 C．24 D．48
7．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ）
A． B． C． D．
8．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
9．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
10．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________．
12．不等式组的解集为______．
13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
14．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．

15．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，ABCD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离_____．
16．如图，矩形中， ，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是___________．
  

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中
18．为了掌握九年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的九年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如下图表(成绩得分均为整数)：
组别
成绩分组
频数


















　
根据图表中提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的________，_______；扇形统计图中的________，___________；
(2)已知全区九年级共有个班(平均每班人)，用这份试卷检测，分及以上为优秀，预计优秀的人数约为_______人，分及以上为及格，预计及格的人数约为_________人；
19．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直．，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：，，）

20．如图，已知四边形是平行四边形，为平行四边形的对角线．
（1）请用直尺和圆规在上取一点，使得；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求证：．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D．

(1)求证：直线BC是⊙O的切线．
(2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积．
23．某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售．李大爷为了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按元的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．

(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果购进量不低于千克又不高于千克，设总付款总金额为元．请求出总付款金额(元)的最小值及甲、乙两种水果的购进量；
(3)在(2)中付款金额最小的方案下，该水果经销商决销售时决定甲、乙两种水果的售价都是元千克，同时他又是一个热心人，他决定每销售千克甲种水果捐元，每销售千克乙种水果捐元()，他将所捐的钱给了某中学一名贫困学生，销售时也打出捐款的牌子，所以甲、乙两种水果很快全部销售一空，结果发现总利润不高于元，求的最小值．
24．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
25．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.


参考答案：
1．D
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．
2．D
【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．
3．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进而得出答案．
【详解】从上面看，得到的视图是：

故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向．
5．B
【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，
，
，
．
故选：B ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
6．C
【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6．
7．C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
8．D
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价三十八两列方程组即可．
【详解】设马每匹x两，牛每头y两，由题意得
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
9．C
【分析】先由得到函数的图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，然后得到，，的大小关系即可．
【详解】解：∵反比例系数中，，
∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系．
10．B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
11．（答案不唯一）
【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．
【详解】解：如，y随x的增大而增大．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
12．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
13．
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶

一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为．
故答案为：
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
14．7
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x－3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x－3）2+5，得：
25a+5=0，
解得：a=－，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－（x－3）2+5（0＜x＜8）．
当y=1.8时，有－（x－3）2+5=1.8，
解得：x1=－1（舍去），x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
故答案为：7
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．
15．7或17
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．
【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，

∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，
在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，
∴OE＝＝5，
在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，
∴OF＝＝12，
当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝12+5＝17；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为7cm或17cm．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
16．
【分析】连接，构造相似三角形，推出，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
  
四边形为矩形，
，，，
为中点，

由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
又，
，  
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质应用，相似三角形的判定和性质应用，解题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形解答．
17．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
【详解】原式==，
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
18．(1)，，，
(2)、

【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率等于频数除以总数，可求出总数，继而可分别得出、、、的值；
（2）先计算全区总人数，再用总人数乘以优秀，及格所占百分比，即可解决问题；
【详解】（1）∵被调查的总人数为人，
∴，
，
组所占百分比为，
∴，
组占百分比为，
∴，
故答案为，，，；
（2）∵全区八年级学生总人数为人，
∴预计优秀的人数约为人，预计及格的人数约为人，
故答案为、；
【点睛】本题考查频数分布直方图， 频数分布表，扇形图等知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率等于频数除以总数，结合扇形图和频数分布表提供的公共信息进行计算．
19．.
【分析】设，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】设，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
解得：，
∴.8≈19 cm
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键.
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线交CD于E点即可；
（2）根据三角形的中位线与直角三角形的性质得到DE=BE，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图．点记为所求作的点．

（2）设（1）中所作直线与交于点，由（1）知，直线为边的垂直平分线
则，
∵，
∴为的中位线，
∴，，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，∴
∴，即．
【点睛】此题主要考查尺规作图及其应用，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、中位线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．
21．（1）k≤；（2）存在实数k，k＝﹣3．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．
【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系.
22．(1)见解析
(2)阴影部分的面积为π-4．

【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易证∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，从而可证直线BC是⊙O的切线；
（2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出∠AOD的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°，
得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°，
∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴OB=2OA，
∴OA=OD=4，
由∠DAC=30°，得DC=2，
∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD
=
=π-4．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识．
23．(1)
(2)购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额(元)最少，最少总付款金额为元；
(3)的最小值是

【分析】（1）当时，设，由待定系数法可得；当时，设可得；
（2）设购进甲种水果为千克，当时，，可得元，当时，， 元，即可得当时，总费用最少，最少总费用为 元；
（3）根据题意得：，可解得的最小值是．
【详解】（1）解：当时，设根据题意得，
解得；
；
当时，设
根据题意得，，
解得
．
；
（2）设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，
，
当时，，
当时， 元，
当时，．
当时， 元，
，
当时，总费用最少，最少总费用为 元，
此时乙种水果千克，
答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额元最少，最少总付款金额为元；
（3）根据题意得：，
解得，
的最小值是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．(1)或或或
(2)①15，15；②，理由见解析
(3)cm或

【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：

，sin∠BME=




（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴



②


（3）当点Q在点F的下方时，如图，


，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，


cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
25．（1）；（2）①②2③
【分析】（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.
（2）①由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0≤m≤4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.
②当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离
③由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.
【详解】解：（1）令y=0得：a（x+2）（x-6）=0
解得：x=-2或6
∴,，
在中
，且,
∴，
,将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，

设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,
即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2,4），Q（4,0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，

联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.
【点睛】本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.