2023年湖北省襄阳市老河口市秦集中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省襄阳市老河口市秦集中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组数中，互为相反数的是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

2.  下列说法中正确的是(    )

A. 若，则点为线段的中点
B. 若，则是的平分线
C. 延长直线
D. 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离

3.  下列各式中运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

5.  如图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是(    )

A. 圆锥
B. 三棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱

6.  下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点若点的坐标为，则与的数量关系为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，图表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为类似地，图所示的算筹图我们可以表述为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知函数，使成立时的值恰好只有个，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  函数中自变量的取值范围是______．

12.  从名男生和名女生中随机选出人讲题，恰好选出一男一女的概率是______ ．

13.  跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度单位：米与水平距离单位：米近似满足函数关系如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为______米．

14.  如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点若，则______度．

15.  如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．

16.  在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．

如图，若，则 ______ ；
如图，延长，与的平分线交于点，交于点，当时， ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？

 

19.  本小题分
某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

已知用元购进的餐桌数量与用元购进的餐椅数量相同．
求表中的值；
若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的倍还多张，且餐桌和餐椅的总数量不超过张．该商场计划将一半的餐桌成套一张餐桌和四张餐椅配成一套销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了元，按照中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比中的最大利润少了元．请问本次成套的销售量为多少？

20.  本小题分
月初，某校安排学生在家利用无土栽培技术栽培了盆花．为了解这些花的情况，该校在月初对部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“这盆花存活了多少盆？”共有如下四个选项：盆及以下；盆或盆；盆或盆；盆．图，图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
求扇形统计图中部分对应的扇形圆心角的度数；
若该校共有名学生，请你估计全校可能有多少名学生栽培的花存活了盆及以上含盆？
 

21.  本小题分
二次函数的图象经过点，，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过，两点．
求二次函数与一次函数的解析式；
根据图象，写出满足不等式的的取值范围．

22.  本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
若，，求的度数；
求证：；
若，，，求的长．

23.  本小题分
某商品的进价为元，市场调查发现：当售价为元时，每周可售出件，每涨价元每周少售出件．现要求每周至少售出件，且售价不低于元．
设售价为元，每周利润为元，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；
当售价为多少时，销售这种商品每周的利润最大？最大利润是多少？
若希望每周利润不得低于元，求售价的范围．

24.  本小题分
如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
若，则的度数是______度；
若，的周长是．
求的长度；
若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．

25.  本小题分
【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示．当所描的点在半径为的同心圆上时，其坐标为______．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，与，不是相反数，故该选项不符合题意；
选项，与，不是相反数，故该选项不符合题意；
选项，与，不是相反数，故该选项不符合题意；
选项，与是相反数，故该选项符合题意；
故选：．
根据相反数，绝对值，有理数的乘方化简各选项中的数，根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、若，没有确定在同一条直线上，所以不能确定就是的中点，故本选项错误；
B、若，没有确定在的内部，所以不能确定是的平分线，故本选项错误；
C、延长直线，直线就是向两边无限延长的，应延长线段，故本选项错误；
D、连接两点间得线段的长度叫两点间的距离，这时两点间的距离的概念，故本选项正确．
故选：．
根据所学知识对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查的知识点是两点间的距离，关键是熟记概念以及公理，特别是外延与内涵，一定要记清，基础知识是今后学习的基础，非常重要．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则、有理数除法、有理数乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项、有理数除法、有理数乘方，注意正确运用合并同类项法则进行计算．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了必然事件和不可能事件，随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解相关概念是解题的关键．
根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】
解：、“买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
B、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能较大，故本选项错误；
D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥．
故选A．
根据主视图、俯视图即可判断出这个几何体的形状．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力和学生对三视图掌握程度和灵活运用能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，解得；
B.由函数图象可知，解得；
C.由函数图象可知，解得，，无解；
D.由函数图象可知，解得．
故选C．
分别根据四个答案中函数的图象求出的取值范围即可．
此题比较复杂，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出无解的一组．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据作图方法可得点在第二象限角平分线上；点到轴、轴的距离相等；点的横纵坐标互为相反数，
点横，纵坐标的和为，
即或，
整理得：，
故选：．
根据作图方法可得点在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后再整理可得答案．
此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
图所示的算筹图我们可以表述为：，
故选：．
根据图的方程组，可知图中第一组小棍数代表几个，第二组的小棍数代表几个，最后两组代表数字，然后即可写出图表示的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，，∽．
．
故选项A、、D正确；
，
∽．
．
故选项C错误．
故选：．
利用平行四边形的性质先说明对边平行，再利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的性质是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的图象如图：

根据图象知道当时，对应成立的值恰好有三个，
．
故选：．
首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有个的值．
此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：从名男生和名女生中随机选出人共有种选法：男，男，男，女，男，女，男，女，男，女，女，女，
其中恰好选出一男一女的选法有种，分别为：男，女，男，女，男，女，男，女，
恰好选出一男一女的概率是为：，
故答案为：．
根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，再利用概率公式计算即可．
本题考查了利用列举法求概率，解本题的关键在找出所有等可能情况，并熟练掌握概率公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意知，抛物线经过点、、，
则，
解得：，
所以．
故答案为：．
将点、、分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
此题考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接．
与相切于点，
，又，
，
又，
，
又因为是的外角，
，
，
．
故答案为：．
连接，把要求的分成了两个角与，根据已知的与相切于点，利用切线的性质可求出等于，再根据已知的的度数，利用三角形的内角和定理可得到的度数，又根据圆的两半径相等得到，根据等角对等边得到，利用外角的性质可得到这两个角的和等于，进而求出的度数，最后用求出的与的和即可得到的度数．
本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．该题属于几何综合题，在解题时应注意把代数与几何图形的性质及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
 

15.【答案】 

【解析】解：在▱中，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先证明四边形是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 

16.【答案】  

【解析】解：根据折叠的性质，得，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；

过作于点，如图，

平分，，，
，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
，
设，，则，，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
即，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果；
过作于点，则易得，，∽，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质及折叠的性质是解决本题的关键所在．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设秋千的绳索长为，根据题意可列方程为：
，
解得：，
答：绳索的长度是． 

【解析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

19.【答案】解：由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
设购进餐桌张，则购进餐椅张，销售利润为元．
由题意得：，
解得：．
，
餐桌的进价为元张，餐椅的进价为元张．
依题意可知：
，
，
随的增大而增大，，
当时，取最大值，最大值为．
故购进餐桌张、餐椅张时，才能获得最大利润，最大利润是元．
涨价后每张餐桌的进价为元，每张餐椅的进价为元，
设本次成套销售量为套．
依题意得：，
即，解得：．
答：本次成套的销售量为套． 

【解析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式、一次函数的性质及解一元一次方程，解题的关键是：由数量相等得出关于的分式方程；根据数量关系找出关于的函数解析式；根据数量关系找出关于的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式方程或方程组是关键．
根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
设购进餐桌张，餐椅张，销售利润为元．根据购进总数量不超过张，得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“总利润成套销售的利润零售餐桌的利润零售餐椅的利润”即可得出关于的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
设本次成套销售量为套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
 

20.【答案】解：本次调查的学生总人数是：名，
“部分”的人数为：名，
补全统计图如图所示：


扇形统计图中部分对应的扇形圆心角的度数为：；

根据题意得：
名，
答：该校名学生中约有名学生栽培的花存活了盆及以上含盆． 

【解析】由两个统计图可知“部分”的有人，占调查人数的，根据频率可求答案；求出“部分”的人数即可补全条形统计图；
根据样本中“部分”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出“部分”“部分”所占调查人数的百分比，根据频率即可求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率是正确解答的关键．
 

21.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，得，
，
二次函数的对称轴为直线，
，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，
点，
设一次函数的图象经过，两点，
，得，
一次函数，
即二次函数的解析式为，一次函数的解析式为；
由图象可知，
不等式的的取值范围：或． 

【解析】根据二次函数的图象经过点，，可以求得二次函数的解析式，再根据点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过，两点，从而可以求得一次函数的解析式；
根据函数图象可以直接写出满足不等式的的取值范围．
本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：，，
，
点是的内心，
，
．
答：的度数为；
证明：如图，连接，

，，
，
，
，
，
，
；
，，，，
，
，，
，，
∽，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
解得，
．
答：的长为． 

【解析】根据，，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求的度数；
理解，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而依据等角对等边即可证明；
利用已知，，和角平分线性质可得，由，可得和的值，再证明∽和∽，再利用相似三角形的性质得到关于的方程，即可求的长．
本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义．
 

23.【答案】解：由题意得：

，
要求每周至少售出件，
，
解得：，
又售价不低于元，
．
与之间的函数关系式为；

，
二次项系数为负，当时，随的增大而增大，
又，
当时，，
当售价为元时，销售这种商品每周的利润最大，最大利润是元；
当每周利润等于元时，
即，
，
解得：，，
每周利润不得低于元，
，
又，
．
售价的范围为． 

【解析】根据每周的利润每件利润乘以销售量，得出函数的解析式；根据要求每周至少售出件，且售价不低于元，可得关于的不等式，求解即可得出的取值范围；
将中所得的函数解析式配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
先解方程求出每周利润等于元时的值，再根据函数解析式以及函数的图象和性质求出的取值范围，并根据中所得的自变量的范围可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
故答案为：；
是的垂直平分线，
，
的周长，
，的周长是，
；
当与重合时，的周长最小．
理由：，，
当与重合时，，此时最小值等于的长，
的周长最小值．
依据是等腰三角形，即可得到的度数以及的度数，再根据是垂直平分线，即可得到，，进而得出的度数；
依据垂直平分线的性质，即可得到，进而得出的周长，再根据，的周长是，即可得到的长；
依据，，即可得到当与重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

25.【答案】【分析问题】
或
【解决问题】
证明：设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为，
该点的横坐标为，
该点的坐标为或．
，，
该点在二次函数的图象上，
小明的猜想正确．
【深度思考】
解：设该点的坐标为，的圆心坐标为，
，
．
又，均为正整数，
，
，
存在所描的点在上，的值为． 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含的代数式表示出的值．
【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为，利用勾股定理可得出该点的坐标为或，结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为，结合的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含的代数式表示出的值，再结合，均为正整数，即可得出，的值．
【解答】
【分析问题】
解：根据题意，可知：所描的点在半径为的同心圆上时，其纵坐标，
横坐标，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【解决问题】见答案；
【深度思考】见答案．