专题10 截长补短模型综合应用（专项训练）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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（能力提升）
1．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝＝4，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．
2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），过点D作DF∥AE，交射线BC于点F，作FP⊥BD于点P，连结PA、PE．（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）①判断△APE的形状，并说明理由；
②求的值；
（3）设BE＝x，PD＝y，求y与x的函数关系式．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ABE＝90°，AB＝DC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵DF∥AE，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）；
（2）解：①△APE是等腰直角三角形．理由如下：
如图，连接CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，
∵FP⊥BD，∠PBF＝45°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴PB＝PF，∠PFB＝∠PBF＝45°，
∵△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF，
∴△BEP≌△FCP（SAS），
∴PE＝PC，∠BPE＝∠FPC，
∴PA＝PE，∠APE＝∠APB+∠BPE＝∠BPC+∠FPC＝∠BPF＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形；
②∵△APE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∴＝＝；
（3）设BE＝x，PD＝y，则BF＝x+1，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PB＝（x+1），
∵BD＝，
∴y＝﹣（x+1），
即y＝﹣x+（0＜x＜1）．
3．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．
（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝ 90° ，“旋补中距”CE长度＝ 2 ；
（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；
（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，
∴点A，点C，点B'共线，点B，点C，点A'共线，
∴AB′、A′B的交点O与点C重合，
∴△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，
∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，
∴△ACB≌△A'CB'（SAS），
∴AB＝A'B'＝4，
∵点E是A'B'的中点，∠A'CB'＝90°，
∴CE＝2，
故答案为：90°，2；
（2）△ABC“旋补交差角”度数不变，△ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：
∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∴∠ACB'＝∠BCA'，
在△ACB'和△A'CB中，
，
∴△ACB'≌△A'CB（SAS），
∴∠CAB'＝∠CA'B，
∴点A，点A'，点C，点O四点共圆，
∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，
如图2，延长CE至F，使CE＝EF，连接A'F，B'F，
∵CE＝EF，A'E＝B'E，
∴四边形A'CB'F是平行四边形，
∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，
∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，
∴∠ACB＝∠CA'F，
又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，
∴△ACB≌△CA'F（SAS），
∴AB＝CF＝4，
∴CE＝2；
（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：
如图3，取A'B'中点E，连接CE，CO，EO，
∵△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，
∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，
∵点E是A'B'中点，∠A'OB'＝90°，
∴OE＝A'B'＝3，
在△OCE中，OC＞OE﹣CE，
∴当点C在线段OE上时，OC有最小值为OE﹣CE＝1．
4．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，若连接BD，CE，则BD与CE的关系为 BD＝CE，BD⊥CE ；
（2）如图2，若连接CD，BE，取BE中点F，连接AF，探究AF与CD的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝3，AC＝，请直接写出线段AE的长．
【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
如图1，设CE与BD交于点O，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）AF＝CD，AF⊥CD，理由如下：
如图2，延长FA交DC于点G，延长AF到点H，使FH＝FA，连接EH，
∵F是BE中点，
∴FE＝FB，
又∵∠EFH＝∠BFA，
∴△EFH≌△BFA（SAS），
∴HE＝AB，∠HEB＝∠EBA，
∴HE∥AB，
∴∠HEA+∠BAE＝180°，
∵AB＝AC，
∴HE＝AC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠HEA＝∠CAD，
又∵AD＝AE，
∴△HEA≌△CAD（SAS），
∴AH＝CD，∠EAH＝∠ADC，
∵FH＝FA，
∴AF＝AH＝CD，
∵∠DAE＝90°，
∴∠EAH+∠DAG＝90°，
∴∠ADC+∠DAG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AG⊥CD，
即AF⊥CD；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，
由（2）可知，CD＝2AF＝6，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AN⊥BC，
∴BC＝AB＝8，AN＝BC＝BN＝CN＝4，
∴DN＝CD+CN＝10，
∴AD＝＝＝2，
∴AE＝AD＝2．
5．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）解：如图①，将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案为：1.5＜AE＜6.5；
（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，
，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
6．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：AD的取值范围是 ．
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．
【解答】解：（1）1＜AD＜5，
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE＝AC，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，
在△BEF与△AEP中，，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE＝∠F，BF＝PA，
又∵∠BDF＝∠CDP，
∴△BDF∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
即PA•CD＝PC•BD．
7．【阅读理解】
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．
根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ；
【拓展延伸】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为 cm．
【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
故答案为：DA＝DC+DB；
（2）DA＝DB+DC，
如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
（3）如图3，连接PQ，
∵MN＝14，∠QMN＝30°，
∴QN＝MN＝7，
∴MQ＝＝＝7，
由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，
∴PQ＝＝，
故答案为：．
8．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）结论：DA＝DB+DC．
理由：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，
（2）结论：DA＝DB+DC，
理由：如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；