专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）

【专题说明】

二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。

【解题思路】

1. 线段中点坐标公式

 2.平行四边形顶点公式：

分类：

1. 三个定点，一个动点问题

  已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；

2. 两个定点、两个动点问题

 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。

方法总结：

  这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。

【典例分析】

【考点1  三定一动类型】

【典例1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，

此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，

此时△BPC的周长最短，

∵点C的横坐标是2，

yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，

∴C（2，﹣3），

设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，

当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴P（1，﹣2）；

（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），

①当AB为对角线时，

则，

解得：，

∴E（0，3）；

②当AC为对角线时，

则，

解得：，

∴E（﹣2，﹣3）；

③当BC为对角线时，

则，

解得：，

∴E（6，﹣3）．

综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．

【变式1-1】（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求经过A、D两点的直线的表达式；

（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，

将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，

∴，

解得，

∴y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴D（2，1），

设直线AD的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣1；

（3）设P（t，t﹣1），

①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，

∴P（4，3）；

②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，

∴t＝﹣2，

∴P（﹣2，﹣3）；

③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，

∴t＝2，

∴P（2，1），

此时﹣3+0≠1+0，

∴P（2，1）不符合题意；

综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．

【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；

（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

令x＝0，则y＝3，

∴C（0，3），

设直线BC的解析式为y＝kx+3，

∵点B（﹣3，0），

∴﹣3k+3＝0，

∴k＝1，

∴直线BC的解析式为y＝x+3，

过点P作PQ∥y轴交BC于Q，

设P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），

∴Q（m，m+3），

∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，

∴当m＝﹣时，△PBC的最大面积为，此时，点P的坐标为（﹣，）；

（3）能是平行四边形；

如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，

∴设点M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），

假设存在以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，

①当四边形BCMP是平行四边形时，

∵点C（0，3），B（﹣3，0），

∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，

∴n＝﹣4，

∴P（﹣4，﹣5），

②当四边形BCP'M'是平行四边形时，

∵点C（0，3），B（﹣3，0），

∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，

∴n＝2，

∴P（2，﹣5），

即：满足条件的点P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．

【考点2   两定两动类型】

【典例2】（2022•牡丹区三模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；

（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），

把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，

得：，

解之，得，

∴抛物线的解析式为．

（2）∵BC为定值，

∴当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大．

如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．

设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），

∴，

∴，

∴当m＝2时，S△BEC最大．此时点E的坐标为（2，4）．

（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．

∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．

①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，

∴点Q到点P的水平距离也是4．

∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；

②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，

∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，

点P的坐标是或或．

【变式2-1】（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴设抛物线y＝a（x﹣1）2+k，

把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，

∴，

∴y＝（x﹣1）2﹣4；

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

∴y＝x2﹣2x﹣3，

依题意设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），

∵C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，

∴F（2，﹣3），

∵A（﹣1，0），F（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），

当以AF为对角线时，

，

∴m＝0，

∴M（0，﹣3），

当以AN为对角线时，

，

∴m＝﹣2，

∴M（﹣2，5），

当以AM为对角线时，

，

∴m＝4，

∴M（4，5），

综上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．

【变式2-2】（2022•东莞市校级一模）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），

∴c＝﹣3，

∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，

设A（x1，0），B（x2，0），

由题意得x2﹣x1＝4，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，

∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，

∴b2+12＝16，

∴b＝±2，

又∵对称轴在y轴左侧，

∴b＝2，

∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．

∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，

∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

①若OA为边，

∴AO∥MN，OA＝MN＝3，

∵N在对称轴x＝﹣1上，

∴点M的横坐标为2或﹣4，

当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，

∴M（2，5）或（﹣4，5）；

②若OA为对角线时，

∵A（﹣3，0），O（0，0），

∴OA的中点的坐标为（﹣，0），

∵N在直线x＝﹣1上，

设M的横坐标为m，

∴，

∴m＝﹣2，

把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，

∴M（﹣2，﹣3）．

综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；

（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），

∴S△OBC＝，

∴S△OBC＝S△PBC＝，

设BC的解析式为y＝kx+n，

∴，

∴，

∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，

过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，

∴，

解得，，

∴P（，）或（，）．

【变式2-3】（2022•百色一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，抛物线的顶点为M．

（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

（2）若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EF∥y轴交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：，

解得，

所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M的坐标为（1，4）．

（2）能．

设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，

当﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M的坐标为（1，4），

直线AB：y＝x+1，当x＝1时，y＝2，

∴B（1，2），

∴BD＝4﹣2＝2，

∵EF∥MN，

∴当EF＝MN＝2时，四边形MNEF是平行四边形，

∴﹣t2+t+2＝2，

解得t1＝0，t2＝1（不符合题意，舍去），

直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，

∴E（0，1）；

当x＜﹣1或x＞2时，则EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，

∴t2﹣t﹣2＝2，

解得t1＝，t2＝，

直线y＝x+1，当x＝时，y＝；当x＝时，y＝，

∴E（，），E′（，），

综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或′（，）．