2021北京六十六中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京六十六中高一（下）期中

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一、选择题（每小题4分，共48分）

1．（4分）下列各角中，与终边相同的角是　　

A． B． C． D．

2．（4分）若，且，则角是　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3．（4分）若角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

4．（4分）　　

A． B． C． D．

5．（4分）已知向量的，，那么　　

A． B．2 C． D．

6．（4分）函数是　　

A．奇函数，且在区间上单调递增 

B．奇函数，且在区间上单调递减 

C．偶函数，且在区间上单调递增 

D．偶函数，且在区间上单调递减

7．（4分）函数的最小正周期为　　

A． B． C． D．

8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为，则等于　　

A． B．13 C． D．19

9．（4分）已知函数，则　　

A． B． C．1 D．

10．（4分）如果函数的一个零点是，那么可以是　　

A． B． C． D．

11．（4分）为得到函数的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

12．（4分）已知，为单位向量，且，则的最小值为　　

A． B．1 C． D．

二、填空题（每小题5分，共30分

13．（5分）的值为　　．

14．（5分）是虚数单位，若复数满足，则等于　　．

15．（5分）若向量与向量垂直，则实数　　．

16．（5分）若，，且，则的值为　　．

17．（5分）如图，正方形的边长为2，是线段上的动点（含端点），则的取值范围是　　．

18．（5分）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为　　．

三、解答题（满分72分）

19．（14分）已知，，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

20．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间与对称轴方程；

（Ⅱ）当，时，求函数的最大值与最小值．

21．（15分）已知函数，的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出的最小正周期及其单调递减区间；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若要得到的图象，只需要函数的图象经过怎样的图象变换？

22．（15分）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调递增区间；

（Ⅲ）作出在一个周期内的图象．

23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，锐角的终边与单位圆交于点．

（Ⅰ）用的三角函数表示点的坐标；

（Ⅱ）当时，求的值；

（Ⅲ）在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．

【解答】解：与边相同的角的集合为．

取，得．

故选：．

【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．

2．【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案．

【解答】解：由，可得为第一、第二及轴正半轴上的角；

由，可得为第二、第三及轴负半轴上的角．

取交集可得，是第二象限角．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．

3．【分析】由三角函数的定义，求出值即可

【解答】解：角的终边经过点，

．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的定义，利用公式求值是关键．

4．【分析】利用诱导公式即可求解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

5．【分析】可求出向量的坐标，然后即可得出的值．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．

6．【分析】由余弦函数的性质可解决此题．

【解答】解：，定义域为，函数为偶函数；

由余弦函数图象可知函数在上单调递减．

故选：．

【点评】本题考查余弦函数的性质、数形结合思想，考查数学运算能力、直观想象及推理能力，属于基础题．

7．【分析】化简可得，由周期公式可得答案．

【解答】解：化简可得，

由周期公式可得，

故选：．

【点评】本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．

8．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用，即可求出答案．

【解答】解：向量，的模分别为2和3，且夹角为，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．

9．【分析】由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解．

【解答】解：，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．

10．【分析】根据余弦函数的性质即可得到结论．

【解答】解：若的一个零点是，

则，

即，

即，

当时，，

故选：．

【点评】本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．

11．【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．

【解答】解：，，

故只需将函数的图象向左平移个长度单位．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．

12．【分析】运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．

【解答】解：，为单位向量，且，

则

，

当时，取得最小值，

则的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．

二、填空题（每小题5分，共30分

13．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．

【解答】解：．

故答案为：

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

14．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由，

得．

故答案为：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

15．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得的值．

【解答】解：向量与向量垂直，，求得，

故答案为：8．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．

16．【分析】根据余弦函数的图象与性质，求出，内的值即可．

【解答】解：在，内，的值有2个，分别为，

即或．

故答案为：或．

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

17．【分析】建立平面直角坐标系，得到，，，的坐标，利用向量的数量积解答．

【解答】解：建立平面直角坐标系，正方形的边长为2，是线段上的动点（含端点），

则，，，，

所以，，

所以，所以，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了利用平面向量求数量积的范围；本题的关键是正确建立坐标系，明确各点的坐标以及向量的坐标，了利用坐标运算解答．

18．【分析】由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值．

【解答】解：若对任意的实数都成立，

可得的最小值为，

可得，，

即有，，

由，

可得的最小值为2，此时．

故答案为：2．

【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，主要是正弦函数的最值，以及方程思想和运算能力，属于基础题．

三、解答题（满分72分）

19．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角和的正切函数公式即可得解．

（Ⅱ）利用倍角公式化简后，代入即可求值得解．

【解答】解：（Ⅰ），，且．

，，

．

（Ⅱ）．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，倍角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）解可得单调递增区间，解可得对称轴方程；

（Ⅱ）由的范围可得，可得三角函数的最值．

【解答】解：（Ⅰ），

由可得，

函数的单调递增区间为，，，

由可得，，

的对称轴方程为，；

（Ⅱ），，

，

当即时，的最小值为，

当即时，的最大值为2．

【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．

21．【分析】（Ⅰ）直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正值周期和单调递减区间；

（Ⅱ）利用函数的图象求出函数的关系式；

（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）根据函数的图象：，解得，

故，

由于，

由于，故．

所以．

所以函数的最小正周期为；

令，

整理得，

故函数的单调递减区间为：，

（Ⅱ）由函数的图象，得到．

（Ⅲ）要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的即可．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

22．【分析】（Ⅰ）把直接代入函数的解析式，求得函数的值．

（Ⅱ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出它的增区间．

（Ⅲ）用五点法作函数在一个周期上的简图．

【解答】解：（Ⅰ）由已知（2分）

．（4分）

（Ⅱ）（6分）

．（7分）

函数的单调递增区间为，（8分）

由，得．

所以的单调递增区间为．（9分）

（Ⅲ）列表：

作出在一个周期上的图象如图所示．（12分）

【点评】本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的简图，两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于中档题．

23．【分析】（Ⅰ）用的三角函数的坐标法定义得到 坐标；

（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据，得到关于的三角函数等式，求的值；

（Ⅲ）假设存在，进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的值．

【解答】解：锐角的终边与单位圆交于点．

（Ⅰ）用的三角函数表示点的坐标为；

（Ⅱ），，时，

即，整理得到，所以锐角；

（Ⅲ）在轴上假设存在定点，设，，

则由恒成立，得到，整理得，

所以存在时等式恒成立，所以存在．

【点评】本题考查了三角函数的坐标法定义的运用以及平面向量的运算；关键是正确利用坐标表示各向量，并正确化简运算．