2021北京北师大实验中学高一（下）期中数学（教师版）

2021北京北师大实验中学高一（下）期中

数    学

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）

1. 下列说法正确的是（    ）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在 轴正半轴上）

A. 第一象限角一定是锐角 B. 终边相同的角一定相等；

C. 小于90°的角一定是锐角 D. 钝角的终边在第二象限

2. 时间经过4小时，分针转的弧度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如果且，则 所在的象限是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限

C. 第三象限角 D. 第四象限

4. 已知角的终边在直线上，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知， 则的值为（    ）

A.  B. 18 C.  D.

6. 化简的结果为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 函数 的一个单调递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知△ABC的内角A满足，则A等于（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

9. 在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（    ）

A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④

10. 设函数，下列命题中真命题的个数为（    ）

①是奇函数；

②当时，；

③是周期函数；

④存在无数个零点；

⑤，，使得且

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在答题纸上）

11. 已知 则的最大值是____________.

12. 函数的最小正周期是_________.

13. 函数的最大值为_____________，此时_________.

14. 已知点，向量绕原点逆时针旋转后等于，求点的坐标为_____.

15. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．

16. 已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的最大值是________；最小值是________.

三.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）

17. 如图，已知函数 的图象(部分).

（1）分别求出函数的最小正周期和 的值；

（2）直接写出函数值域；

（3）直接写出函数的一个对称中心坐标和一条对称轴方程.

18. 已知向量，.

（1）求；    

（2）求向量与夹角.

19. 已知函数.

（1）求 的值；

（2）求当何值时，函数取到最大值，最大值为多少？

20. 设函数

（1）求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；

（2）将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求表达式和单调递增区间.

21. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．

（1）求角的大小；

（2）求的面积．

22. 定义向量 的“伴随函数”为； 函数 的“伴随向量”为.

（1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；

（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；

（3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为，

①若，，求值；

②求证：向量的充要条件是.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）

1. 【答案】D

【解析】

【分析】根据象限角、锐角、终边相同的角的概念即可区分出答案.

【详解】对于选项A，不正确，如，都是第一象限角，但它们不是锐角；

对于选项B，不正确，如与的终边相同，但它们不相等；

对于选项C，不正确，如不是锐角(锐角的取值范围是到)；

对于选项D，正确．(钝角的取值范围是到)．

故选：D

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据分针按顺时针方向转了4圈，求出分针转过的弧度数即可

【详解】根据分针经过4小时，分针按顺时针方向转了4圈，

所以分针转过的弧度数为

故选：D

3. 【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数的符号法则判断即可

【详解】由，可知 所在第三或第四象限或者轴非正半轴上

由，可知 所在第二或第三象限或者轴非正半轴上

所以在第三象限

故选：C

4. 【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.

【详解】设直线上任意一点P的坐标为（m，2m）（）

则（O为坐标原点）

根据正弦函数的定义得：

时，； 时，

所以选项C正确，选项A，B，D错误

故选：C

5. 【答案】A

【解析】

【分析】先进行切化弦，然后直接把代入即可求解.

【详解】,

因为，

所以原式.

故选：A

6. 【答案】C

【解析】

【分析】结合诱导公式化简整理即可求出结果.

【详解】

,

故选：C

7. 【答案】C

【解析】

【分析】由题意，即求的减区间，结合正弦函数的单调性，得出结论．

【详解】函数的增区间，即的减区间，

为，，．

结合，，可得的减区间为，，

故选：．

8. 【答案】D

【解析】

【分析】直接由正弦值与角范围求解即可

【详解】，

则A等于或

故选：D

9. 【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的解析式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．

【详解】∵=，∴==；

图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到，

所以周期为，

由周期公式知，为，

为，

故选：C.

10. 【答案】C

【解析】

【分析】直接利用三角函数性质，周期性单调性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.

【详解】函数，

对于①：函数故函数f(x)是奇函数,故①正确；

对于②：令，所以

由于函数在上单调递增，当x→0时, →0,当x→时,即→+

故当时,使得即时, 时,故g(x)在上单调递增, g(x)在上单调递减,

而x→0和时,→0,所以g(x)>0,

由于中，x取时，，故，，

所以，所以，故②正确；

对于③,假设函数的周期为T，则对一切x都成立，

取x=0时,则得到，再取时,则故，所以明显T无解，故假设错误，故不是周期函数.故③错误；

对于④,令解得，取时，，整理得，故存在无数个零点.故④正确；

对于⑤,令，则所以 ,所以，由于k和x1和x2相对应,故x1-x2不能取任意值,故并不总成立,故⑤错误.

故选:C.

【点睛】（1）函数奇偶性、周期性的判断通常用定义进行验证；

（2）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.

二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在答题纸上）

11. 【答案】

【解析】

【分析】用分离参数法转化为，利用正弦函数的有界性即可求出的最大值.

【详解】由 ，可得：

因为，所以，所以，

所以

即的最大值是-2.

故答案为：-2

12. 【答案】

【解析】

【分析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可.

【详解】,故最小正周期是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.

13. 【答案】    ①. 3    ②.

【解析】

【分析】利用函数的单调性，结合的范围求解最大值即可．

【详解】函数是增函数，

所以时，函数取得最大值：3．

故答案为：3；．

14. 【答案】

【解析】

【分析】由旋转特点可知两向量模长相等且互相垂直，由此可构造方程组求得，根据可得结果.

【详解】设，又，

由题意得：，即，解得或(舍去)

所以.

故答案为：

15. 【答案】

【解析】

【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.

考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.

16. 【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】如图，建立坐标系，利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出

【详解】解：如图所示，建立直角坐标系，则，

所以，

所以，

令，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以时，取得最小值，，

因为，所以最大值为1，

故答案为：1，

三.解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）

17. 【答案】（1）；（2）[―2，2]；（3）对称中心，对称轴方程.

【解析】

【分析】（1）根据图象中的最大值求出，求出周期，进而求得，带入点，即可求出；

（2）根据图象求出函数的最大值和最小值，即可求出函数的值域；

（3）根据对称轴和对称中心概念结合函数图象即可直接写出结果.

【详解】（1）由图象可知，，又因为，所以，即，所以，又因为点在函数图象上，所以，则，且，所以，

所以；

（2）由图象知，；所以函数值域为；

（3）由图象知是函数的一条对称轴方程，是函数的一个对称中心.

18. 【答案】（1）2；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量的加法运算求出，根据利用坐标即可计算出向量的模长；

（2）利用向量的夹角公式即可求出结果.

【详解】（1）因为向量，，

所以；

.

（2）因为，

所以，

所以向量与的夹角为.

19. 【答案】（1）；（2），最大值6.

【解析】

【分析】（1）令代入即可求解；（2）化简函数的解析式，令，将函数化简为，转化为二次函数，进而可以求解．

【详解】（1）

（2）

令，，

则，，，

函数在，上单调递减，

所以当，此时，时，，

故当，时，的最大值为6．

20. 【答案】（1），，；（2），.

【解析】

【分析】(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可；

(2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可.

【详解】(1)

所以周期；

当，即时，.

(2)由题意知，，

由，得，

所以函数的单调增区间为.

21. 【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．

试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.

又因为，所以.

因为为锐角三角形，所以.

（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.

当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.

考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．

22. 【答案】（1）；最大值为；（2）,；（3）①；②证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值；

（2）结合两角和的余弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长；

（3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；

②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件，可得证；必要性：当时，,带入的解析式中，即可知.

【详解】（1）,

因为，所以最大值为.

（2）

所以

所以

（3）设，

① 设，

根据定义得出

，其中 ，

由知.

②充分性：

，

等号成立当且仅当存在使得，其中，

所以，，即得.

必要性：当时，，

，

当且仅当时，取得最大值.