2022北京北师大实验中学高一（下）期中数学 （教师版）

2022北京北师大实验中学高一（下）期中

数    学

第Ⅰ卷（共100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 若为第四象限角，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 复数（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若，，，则，的夹角为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

5. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ）

A 6 B.  C.  D.

7. 下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若函数在上单调，则值为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

9. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论

①可能为；

②可能为；

③；

④

其中所有正确结论的序号为（    ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知向量，，若，则___________．

12. 设复数，___________；记z的共轭复数为，则在复平面内对应的点的坐标为___________．

13. 若，则___________；___________．

14. 已知对任意，有，写出一个符合题意的的值：___________．

15. 周期信号在电子技术领域具有重要作用．某电路中，一个元件输入电流是时间t的函数，其解析式为：，其中参数，m均为常数，且，；这个元件的输出电流为：，记T为电流的最小正周期，在内，记满足的t的区间的长度之和为，称为电流的“占空比”．给出下列四个结论：

①若，，则电流的“占空比”为；

②保持的值不变，电流的“占空比”随m的增大而增大；

③保持m的值不变，电流的“占空比”随的增大而减小；

④保持的值不变，记当和时，电流的“占空比”分别为和，则．

其中所有正确结论的序号是___________．

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

16. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点．

（1）求，及的值；

（2）求和的值．

18. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）求的零点；

（3）求的单调递增区间．

20. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）当时，求1号座舱与地面的距离；

（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．

第Ⅱ卷（共50分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

22. 平面直角坐标系内，已知角的终边与单位圆交点的坐标为．

（1）若将角的终边关于x轴对称，得到角的终边，则___________；

（2）若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________．

23. 已知，且满足，则的值为___________；的值为___________．

24. 函数的部分图象如图所示，其中M，N分别为图象的最高点和最低点．

（1）写出该函数图象的一个对称中心的坐标：___________；

（2）函数解析式为___________．

25. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中．

（1）的值为___________；

（2）向量，的夹角的取值范围是___________．

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26. 已知点，，满足．

（1）求m值；

（2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．

28. 已知函数．

（1）求的最小正周期和对称轴方程；

（2）求在上的最大值；

（3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求值并讨论在上的值域．

30. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．

（1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；

①，；，；

②，；，；

（2）若与具有关系，求m的取值范围；

（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：

①在上，当且仅当时，取得最大值1；

②对任意，有．

求证：与不具有关系．

参考答案

第Ⅰ卷（共100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 若为第四象限角，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】依据三角函数定义和象限角定义去判断、的符号即可解决

【详解】为第四象限角，依据三角函数定义，则有，

故选：B

2. 复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】依据复数除法去求解的值

【详解】

故选：A

3. 若，，，则，的夹角为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的夹角公式即可求出．

【详解】由题意可得，，由于向量夹角的范围为，

所以向量与夹角为．

故选：B．

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用齐次式求值的方法去求的值

【详解】

故选：B

5. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角差的余弦公式即可求得的值

【详解】由，，可得

则

故选：C

6. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ）

A. 6 B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，表示出向量的坐标，利用坐标法求出数量积；

【详解】解：如图建立平面直角坐标系，

则，，

所以；

故选：B

7. 下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数的定义对选项一一判断即可．

【详解】对A，由，不是奇函数；

对B，由，不是奇函数；

对C，由，不是奇函数；

对D，由，又的定义域为关于原点对称，所以D正确．

故选：D

8. 若函数在上单调，则的值为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先确定，结合的单调性，得到不等式组，求出的值.

【详解】因为，，

所以，

已知在上单调递增，在上单调递减

所以，解得：

或，解得：

综上：的值为或.

故选：D

9. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】分别求解不等式与，再根据充分条件与必要条件概念求解即可．

【详解】因为，解得，

由，解得，

所以能够推出，反之不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A

10. 在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论

①可能为；

②可能为；

③；

④

其中所有正确结论的序号为（    ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件可得，从而求得的值，代入解析式即可求得取值.

【详解】由题意点向左平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，

可得，向右平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，可得，即，

可得,解得，

当时，，不可能为，故①正确，②不正确，

，当k为偶数时，函数值为，

当k为奇数时，函数值为，故③正确，④不正确，

故选：A

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知向量，，若，则___________．

【11题答案】

【答案】

【解析】

【分析】依据向量垂直的充要条件，列出关于k的方程，即可求得k的值

【详解】由，，，

可得，解之得

故答案为：

12. 设复数，___________；记z的共轭复数为，则在复平面内对应的点的坐标为___________．

【12题答案】

【答案】    ①. 5    ②.

【解析】

【分析】利用复数乘法法则求出，求出模长，得到共轭复数，写出对应点的坐标.

【详解】，故，

，故在复平面内对应的点的坐标为.

故答案为：5，

13. 若，则___________；___________．

【13题答案】

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.

【详解】，.

故答案为：；.

14. 已知对任意，有，写出一个符合题意的的值：___________．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式去求的值

【详解】由，可知对任意，有

则一个符合题意的的值为

故答案为：

15. 周期信号在电子技术领域具有重要作用．某电路中，一个元件的输入电流是时间t的函数，其解析式为：，其中参数，m均为常数，且，；这个元件的输出电流为：，记T为电流的最小正周期，在内，记满足的t的区间的长度之和为，称为电流的“占空比”．给出下列四个结论：

①若，，则电流的“占空比”为；

②保持的值不变，电流的“占空比”随m的增大而增大；

③保持m的值不变，电流的“占空比”随的增大而减小；

④保持的值不变，记当和时，电流的“占空比”分别为和，则．

其中所有正确结论的序号是___________．

【15题答案】

【答案】①②④

【解析】

【分析】①中，，则正确；②中随m的增大而增大，而不变从而可以判断结果；③中取时即可判断结果；④中当时，设，则当时，，从而判断结果．

【详解】①若，，则，

电流的最小正周期，，所以“占空比”为，①正确；

②保持的值不变， 随m的增大而增大，而不变，所以电流的“占空比”变大，②正确；

③保持m的值不变，取时，电流的“占空比”为，③不正确；

④保持的值不变，设当时，，则当时，，所以，④正确．

故答案为：①②④

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

16. 已知平面直角坐标系内，角的终边经过点．

（1）求，及值；

（2）求和的值．

【16题答案】

【答案】（1）， ，；   

（2），．

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可；

（2）利用正余弦的二倍角公式求解与，结合正弦和公式求解即可．

【小问1详解】

角的终边经过点，所以，

；

【小问2详解】

由，，

．

18. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）求的零点；

（3）求的单调递增区间．

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）待定系数法去求的解析式；

（2）利用解三角方程去求的零点；

（3）利用正弦函数的单调增区间去求的单调递增区间．

【小问1详解】

由函数的最小正周期为，可得

又函数的图象经过点，则，又，则

则的解析式为

【小问2详解】

由，可得，解之得

则的零点为

【小问3详解】

由，可得

则单调递增区间为

20. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）当时，求1号座舱与地面的距离；

（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；

（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；

（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；

【小问1详解】

解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，

则，，

所以

依题意，所以，

当时，所以，故，

所以，

即当时，求1号座舱与地面的距离为；

【小问2详解】

解：令，即，

所以，

又，所以，

所以或，解得或，

即或时1号座舱与地面的距离为17米；

【小问3详解】

解：依题意，，

所以

令，解，

所以当时取得最大值，

依题意可得

第Ⅱ卷（共50分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

22. 平面直角坐标系内，已知角的终边与单位圆交点的坐标为．

（1）若将角的终边关于x轴对称，得到角的终边，则___________；

（2）若将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________．

【22题答案】

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】(1)利用数形结合，得到，进而求解即可.

(2) 利用数形结合，得到，进而求解即可.

【详解】(1) 将角的终边关于x轴对称，则必有，所以，，进而得到.

(2) 将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则必有，进而得到.

故答案为：①；②

23. 已知，且满足，则的值为___________；的值为___________．

【23题答案】

【答案】    ①. ##    ②. ##

【解析】

【分析】利用正弦的二倍角公式进行化简可求得，利用诱导公式对进行化简可得答案.

【详解】,，，，可得，

=

.

故答案为：；.

24. 函数的部分图象如图所示，其中M，N分别为图象的最高点和最低点．

（1）写出该函数图象的一个对称中心的坐标：___________；

（2）函数解析式为___________．

【24题答案】

【答案】    ①. ，（答案不唯一）    ②. ．

【解析】

【分析】（1）点与点的中点是函数图象的一个对称中心，利用中点公式求解即可；

（2）依题意得，，，解方程即可．

【详解】（1）由题意可知，点与点的中点是函数图象的一个对称中心，

由，，所以函数图象的一个对称中心为；

（2）依题意得，，所以

由于，所以

又因为，得，且

所以，

故函数解析式为．

故答案为：，（答案不唯一）；

25. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中．

（1）的值为___________；

（2）向量，的夹角的取值范围是___________．

【25题答案】

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】（1）由，根据数量积法则运算即可；

（2）由，又，求出模的取值范围，从而得出的取值范围．

【详解】（1）

；

（2）由

又因为

所以，又因为

所以

故答案为：2；

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

26. 已知点，，满足．

（1）求m的值；

（2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．

【26题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的运算律得到，再根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先表示出，再根据向量模的坐标计算及二次函数的性质求出的最小值，即可得解；

【小问1详解】

解：因为，，，

所以，，

因为，所以，

即，即，

所以，解得；

【小问2详解】

解：因为，，

所以，，

因为

所以

所以当时，此时，即；

28. 已知函数．

（1）求最小正周期和对称轴方程；

（2）求在上的最大值；

（3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域．

【28题答案】

【答案】（1）最小正周期，对称轴方程；   

（2）3；    （3），值域见解析

【解析】

【分析】（1）由恒等变换得，即可利用函数的性质求解；

（2）先求的范围，即可结合函数单调性求得最值；

（3）由上单调递减，在上单调递增得且为的极小值点，结合的范围与函数单调性，即可求得的值；

由，可得，结合函数单调性，即可对的值分类讨论（分界点为的情形），即可判断最值

【小问1详解】

，所以最小正周期，由得，对称轴方程为；

【小问2详解】

由，得，所以当时，取得最大值，为3；

【小问3详解】

由题， ，为的极小值点，

又，故，所以，即，

由，得，，即，当时，可解得，

i.当，即，此时在上的值域为，即；

ii. 当，即,此时在上的值域为，即

30. 对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．

（1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；

①，；，；

②，；，；

（2）若与具有关系，求m的取值范围；

（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：

①在上，当且仅当时，取得最大值1；

②对任意，有．

求证：与不具有关系．

【30题答案】

【答案】（1）①具有关系；②不具有关系   

（2）   

（3）证明见详解．

【解析】

【分析】（1）根据具有关系的定义判断即可；

（2）求解的值域即可得出结果；

（3）根据性质求出其值域，结合三角函数的值域得出的范围，即可证明结论．

【小问1详解】

①具有关系；②不具有关系．

【小问2详解】

，

所以，则；

【小问3详解】

因为在上，当且仅当时，取得最大值1；

又为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值，

由对任意，有v，所以关于点对称，

又，所以的周期为

故的值域为；，

当时，；时，

若，则，时有；

当时，；时，

若，则，时有；

由于，所以

故不存在，，使得，

所以与不具有关系．