高中物理第十章 静电场中的能量3 电势差与电场强度的关系导学案

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第十章　静电场中的能量
3　电势差与电场强度的关系
基础过关练
题组一　对公式UAB=Ed和E=UABd的理解
1.(2021江苏礼嘉中学检测)对公式E=UABd和UAB=Ed的理解,下列说法正确的是(　　)
A.由E=UABd知,匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大,则电场强度越小
B.公式UAB=Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
C.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
D.由UAB=Ed知,A点和B点间的距离越大,则这两点间的电势差越大
2.(2021广东深圳七中段考)关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系,下列说法正确的是(　　)
A.任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向,相同距离上电势差一定相等
C.电势降落的方向一定是电场强度的方向
D.电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
题组二　利用公式UAB=Ed定量计算
3.医生用心电图检查仪为一位身高1.8 m的运动员体检,她把电极吸在身体5个不同的位置,如图所示。如果人体从头往脚的方向构成匀强电场,其中有两个点的电势差最大,约为500 μV,则电场强度大小约为(　　)

A.278 μV/m　　　 B.500 μV/m
C.1 000 μV/m　　　D.1 250 μV/m
4.(2022河南中原名校联考)如图所示,四条竖直平行线表示一个匀强电场中的四个等势面,相邻两个等势面之间的距离为1 cm,由此可以确定场强的大小和方向是(　　)

A.300 V/m,水平向左　　　B.300 V/m,竖直向下
C.900 V/m,水平向右　　　D.900 V/m,竖直向上
5.(2022河北沧州盐山中学月考)如图所示,A、B两板间电压为600 V,A板带正电并接地,A、B两板间距离为12 cm,C点离A板4 cm,取大地电势为零,下列说法正确的是(　　)

A.E=2 000 V/m,φC=200 V
B.E=5 000 V/m,φC=-200 V
C.电子在C点具有的电势能为-200 eV
D.电子在C点具有的电势能为200 eV
6.(2023浙江金华江南中学月考)如图所示,在水平向右的匀强电场中,有一电荷量为q=-8×10-7 C的点电荷从A点运动到B点,电场力做功为WAB=3.2×10-6 J,A、B间距离L=4 m,AB与水平方向的夹角为60°,求:

(1)B、A间电势差UBA是多少?
(2)电场强度E是多大?
(3)如果B点的电势为6 V,那么A点的电势为多大?这个点电荷在A点具有的电势能是多少?


题组三　利用公式UAB=Ed定性分析非匀强电场
7.(2022江苏苏州汾湖高级中学期中)如图为某电场中的电场线和等势面,已知φa=10 V,φc=6 V,ab=bc,则(　　)

A.φb=8 V
B.φb>8 V
C.φb<8 V
D.上述三种情况都有可能
8.(2022河北保定月考)如图所示,一电场的电场线关于y轴(沿竖直方向)对称分布,O、M、N是y轴上的三个点,且OM=MN。P点在y轴右侧,MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)

A.M点的电势等于P点的电势
B.将负点电荷由O点移到P点,电场力做正功
C.M、N两点的电势差大于O、M两点的电势差
D.M、N两点的电势差小于O、M两点的电势差
题组四　匀强电场中电势差、电势的比例关系
9.(2023河南洛阳强基联盟联考)如图所示,A、B、C、D是匀强电场中一个正方形的四个顶点,A、B、C三点的电势分别为φA=15 V,φB=3 V,φC=-3 V,由此可得D点的电势φD为(　　)

A.0　　 　B.3 V　　　 C.6 V 　　　D.9 V
10.(2023河南豫北名校联考)如图所示,在与纸面平行的匀强电场中有A、B、C三个点,其电势分别为8 V、2 V、-4 V,△ABC是等腰直角三角形,斜边AC=2 m,D是AC的中点,则该匀强电场的场强大小与方向是(　　)

A.6 V/m、由A指向B
B.6 V/m、由B指向C
C.62 V/m、由A指向C
D.22 V/m、由D指向B
11.(2022重庆巴蜀中学期中)如图所示,在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形,空间有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中O(0,0)点电势为12 V,A(1,3)点电势为9 V,B(3,3)点电势为3 V,则由此可判定(　　)

A.C点电势为3 V
B.C点电势为0 V
C.该匀强电场的电场强度大小为300 V/m
D.该匀强电场的电场强度大小为1003 V/m
能力提升练
题组一　用“等分法”确定匀强电场方向与电势
1.(2023浙江精诚联盟联考)如图,A、B、C三点在匀强电场中,AC⊥BC,∠ABC=60°,BC=20 cm,把一个电荷量q=1×10-5 C的正电荷从A移到B,电场力做功-8×10-5 J;从B移到C,电场力做功为2×10-5 J,则该匀强电场的场强大小和方向是(　　)

A.20 V/m,B指向A　　　B.20 V/m,A指向B
C.10 V/m,B指向C　　　D.10 V/m,C指向B
2.(2023广东广州执信中学月考)如图,在匀强电场中,A、B、C、D、E、F位于边长为L=2 cm的正六边形的顶点上,匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、D、E的电势分别为-2 V、0 V、6 V、4 V。则下列说法正确的是(　　)

A.C点的电势φC=2 V
B.A、F间的电势差UAF=2 V
C.C、F间的电势差UCF=4 V
D.该匀强电场的场强大小为20 V/m
3.(2023安徽皖江名校联考)如图所示,匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域。已知扇形区域的圆心角θ=120°、半径R=2 m,其中C、D、E将圆弧AB四等分。若A、B、O点的电势分别为φA=0,φB=6 V,φO=2 V,下列说法正确的是(　　)

A.电场强度的大小为2 V/m
B.电场强度的方向由O指向B
C.φD=3 V
D.φC=2 V
题组二　根据图像分析电场问题
4.(2023河南濮阳月考)如图甲所示,在匀强电场中,虚线为电场线,与Ox轴成θ=37°角,Ox轴上有a、b、c三点,Oa=bc=12ab=2 cm,Ox轴上各点的电势φ的变化规律如图乙所示。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是(　　)

A.电场线方向斜向上
B.场强大小为800 V/m
C.c点的电势为16 V
D.电子在a点的电势能为-32 eV
5.(2022江苏苏州期末)某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示,x轴正方向为场强正方向,一个带负电的点电荷只在电场力的作用下以一定初速度沿x轴正方向运动,x1、x2、x3、x4四点间隔相等,则以下说法不正确的是(　　)

A.点电荷在x2和x4处电势能相等
B.点电荷由x1运动到x3的过程中电场力做负功
C.x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差
D.点电荷由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
6.(2023江西临川二中月考)若无穷远处电势为零,在x轴上有两个点电荷q1、q2,其静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示。下列说法正确的有(　　)

A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2,电势能不断减小
D.负电荷从x1移到x2,受到的电场力不断减小
7.(2023河南中原名校联考)如图1所示,在相距为r处固定电荷量分别为+2Q、-Q的点电荷,A、B为两电荷连线延长线上的两点。一重力不计、带负电的粒子从A点由静止开始运动,刚好运动到B点,以A点为坐标原点,粒子在运动过程中的电势能Ep随位移x的变化规律如图2所示,下列说法正确的是(　　)

A.位置x1处电势最低,电场强度最小
B.位置x1处距离-Q的距离为(2+1)r
C.从A到B的过程中,粒子的加速度先减小后增大
D.粒子将静止在x2处
题组三　电势差与电场强度的综合问题
8.(2023四川成都七中月考)电荷量分别为+2q和-q的两点电荷的电场线分布如图所示,O、A、B是两电荷连线上的三点,O点是连线的中点,且OA=OB,C、D是两电荷连线的中垂线上两点,且OC=OD,一带电粒子沿MN轨迹在电场中运动,下列说法正确的是(　　)

A.C点场强与D点场强相同
B.UAO>UOB
C.粒子带正电,加速度先减小后增大
D.把一负电荷从C点沿直线CD移至D点,电势能先增大后减小
9.(2022江苏南京中华中学月考)如图,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W1;若该粒子从c点移动到d点,其电势能减小W2。下列说法正确的是(　　)

A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点,则静电力做功一定为W1+W22
C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为W2qL
D.若W1=W2,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差

答案与分层梯度式解析
第十章　静电场中的能量
3　电势差与电场强度的关系
基础过关练
1.C
2.B
3.B
4.A
5.BD
7.C
8.D
9.D
10.C
11.BC


1.C　场强的大小是由电场本身决定的,与U、d无关,故A错误;公式UAB=Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差,故B错误;公式中的d是匀强电场中A、B沿电场线方向的距离,也就是这两点所在的两等势面之间的距离,故C正确;由公式UAB=Ed可知,当E一定时,A、B两点沿场强方向的距离越大,两点间电势差也越大,故D错误。
知识归纳　电场强度E和电势差U的两种关系

2.B　公式UAB=Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离,A错误;在匀强电场中,沿电场线方向,相同距离上电势差相等,B正确;在匀强电场中,电势降落最快的方向是电场强度方向,C、D错误。
3.B　沿着电场方向最远的距离等于A、E之间的距离,约为d=1.0 m,电势差U=500 μV,则电场强度E=Ud=500 μV/m,B正确。
4.A　电场线垂直于等势面且沿着电场线方向电势逐渐降低,则该匀强电场场强方向水平向左,大小为E=Ud=3V1cm=300 V/m,选项A正确。
5.BD　A板接地,其电势为零,则B板电势为-600 V,由此知C点电势为负值,A、B两板间场强E=Ud=600V12cm=50 V/cm=5 000 V/m,UAC=φA-φC=EdAC,φC=φA-EdAC=-200 V,选项A错误,B正确;电子在C点具有的电势能EpC=-eφC=200 eV,选项C错误,D正确。
6.答案　(1)4 V　
(2)2 V/m　
(3)2 V　-1.6×10-6 J
解析　(1)由题意可知A、B间电势差
UAB=WABq=3.2×10−6−8×10−7 V=-4 V
则UBA=-UAB=4 V
(2)由题图可知A、B连线沿电场线方向的距离
d=L cos 60°=2 m
匀强电场的电场强度
E=UBAd=2 V/m
(3)由UBA=φB-φA=4 V,
φB=6 V
解得φA=2 V
电荷量为q的点电荷在A点具有的电势能为
EpA=φAq=2×(-8×10-7) J=-1.6×10-6 J
7.C　因为φa=10 V,φc=6 V,知a、c两点间的电势差为4 V,因为电场线越密的地方场强越强,根据U=Ed知,a、b间的电势差大于b、c间的电势差,所以a、b间的电势差大于2 V,故b点的电势小于8 V,故选C。
关键点拨　对于非匀强电场,不能定量计算电场强度,只可以定性分析电场强度与电势差的关系,由电场线疏密程度可判断出电场强弱。
8.D　根据电场线和等势面垂直,结合图中P点处的电场线可以判断出M点的电势比P点的电势高,A错误;将负点电荷由O点移到P点,电势能增大,电场力做负功,B错误;根据U=Ed,结合OM段电场线较MN段密,定性分析可知UMN 9.D　连接A、C,因UAC=φA-φC=18 V,可将AC等分为6份,找到5个等分点e、f、g、h、i,由图可知φh=3 V,则B、h处的电势相等,由对称关系可知D点与f点电势相等,即φD=9 V,D正确。

一题多解　在匀强电场中,UAB=UDC,即φA-φB=φD-φC,解得φD=9 V,D正确。
方法技巧　(1)在匀强电场中,沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。当线段与场强方向平行时,由U=Ed可知,d相等,U相同;当线段与场强方向不平行时,只要沿场强方向的长度相等,则U相同。如图甲所示,▱ABCD中,UAB=UDC,UBC=UAD。

(2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=φA+φB2,如图乙所示。
10.C　在匀强电场中,任意两点连线中点的电势等于这两点电势的平均值,D是A、C连线的中点,则D点的电势φD=φA+φC2=2 V,又因为φB=2 V,所以B、D的连线是等势线,因为电场线与等势面垂直,且由几何关系可得AC与BD垂直,φA>φC,则电场方向沿着AC由A指向C,场强大小为E=φA−φCAC=62 V/m,C正确。
11.BC　因为AB平行于OC,并且四边形ABCO为底角是60°的等腰梯形,其中坐标O(0,0),A(1,3),B(3,3),故有UOC=2UAB,即12 V-φC=2×(9-3) V,解得φC=0 V,A错误,B正确;将OC四等分,如图所示,根据匀强电场的特点可知D点电势为3 V,由几何关系可知,BD垂直于DC,UDC=3 V,LDC=1 cm,BD为3 V等势线,故电场强度大小为E=UDCLDC=30.01 V/m=300 V/m,C正确,D错误。

图形剖析　

能力提升练
1.A
2.C
3.AD
4.D
5.A
6.ACD
7.BC
8.B
9.BD



1.A　根据W=qU,得UAB=WABq=−8×10−51×10−5 V=-8 V,UBC=WBCq=2×10−51×10−5 V=2 V。设B点电势为0,则A点电势为-8 V,C点的电势为-2 V,将线段AB四等分,如图,则D点与C点电势相等,等于-2 V,由几何知识易知,CD⊥AB,则场强方向由B指向A,场强大小为E=UBDBD=210×10−2 V/m=20 V/m,A正确。

思路分析　用“等分法”确定匀强电场方向与电势问题,先找等势点,再画等势线。具体思路如下:

2.C　连接AD、BF、CE,AD与BF、CE的交点分别为M、N,设正六边形的中心为O,如图所示。由图可知,AD与BF、CE都垂直,由正六边形的特点可知AM=MO=ON=ND,可知M、O、N的电势分别是0 V、2 V、4 V,又E点电势为4 V,则EN为一条等势线,故C点的电势为4 V,A错误;M点电势为零,B点电势为零,则BM为一条等势线,F点的电势也为零,所以有UAF=φA-φF=-2 V,B错误;点C、F之间的电势差为UCF=φC-φF=4 V,C正确;由几何关系可知AD垂直于BM,AD为一条电场线,AD=2L=4 cm,所以电场强度的大小为E=UDAAD=8V4cm=200 V/m,D错误。

方法技巧　匀强电场中寻找等势点的方法
　　将电势最高点和电势最低点连接后,根据需要平分成若干段,找到与已知的第三个点的电势相等的点,这两个等势点的连线即等势线,与等势线垂直的线即电场线。
3.AD　连接A、B,交CO于I点,交DO于H点,交EO于G点,如图所示,由几何关系可得AI=IG=GB,所以φI=2 V,φG=4 V,故OI为一条等势线,因此φC=2 V,DG∥CO,因此φD=φG=4 V,C错误,D正确;由几何关系可知BO⊥CO,故电场方向沿BO方向,由B指向O,场强大小为E=UBOR=φB−φOR=2 V/m,A正确,B错误。

4.D　由题图乙可知,沿x正方向电势降低,所以电场线方向斜向下,A错误;φ-x图线的斜率表示电场强度沿x方向的分量,由题图乙可知Ex=800 V/m,所以E=Excos37°=1 000 V/m,B错误;由题图乙得O点的电势为48 V,O、c间的距离为Oc=8 cm=0.08 m,所以O、c间的电势差为UOc=E·Oc·cos 37°=1 000×0.08×0.8 V=64 V,由于UOc=φO-φc,将UOc=64 V、φO=48 V 代入得φc=-16 V,C错误;O、a间的电势差为UOa=E·Oa·cos 37°=1 000×0.02×0.8 V=16 V,由于UOa=φO-φa,将UOa=16 V、φO=48 V代入得φa=32 V,所以电子在a点的电势能为Ep=-eφa=-32 eV,D正确。
方法技巧　电场中φ-x图像的应用技巧
(1)φ-x图像为直线表明是匀强电场,斜率的大小表示沿x轴方向的场强大小,斜率正负表示场强方向,因此可以分析出电场强度随距离的变化规律。
(2)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB分析WAB的正负,然后作出判断。
5.A　x2~x4场强方向沿x轴正方向,根据沿着电场线方向电势降低,x2处电势高于x4处电势,带负电的点电荷在x2处的电势能比在x4处的小,A错误;x1~x3场强沿x轴正方向,则从x1到x3顺着电场线方向移动负点电荷,电场力做负功,B正确;由U=Ed知E-x图线与x轴所围的面积表示电势差,则知x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差,C正确;点电荷由x1运动到x4的过程中,电场强度先增大后减小,由F=qE知,电场力先增大后减小,D正确。
方法技巧　电场中E-x图像的应用技巧
(1)根据E-x图线纵坐标判断场强的方向,根据位置变化与场强方向关系可以判断电势的升降。其数值的变化规律对应电场力、加速度的变化规律。
(2)E-x图线与横轴围成的面积表示电势差,从而可以计算电场力做功,利用能量观点可以判断动能、电势能的变化情况。
6.ACD　根据图像,电势有正值也有负值,所以q1和q2带异种电荷,A正确;φ-x图像的斜率表示场强,x1处的斜率不为零,则电场强度不为零,B错误;从x1到x2,电势不断升高,由公式Ep=qφ可知,电势越高的地方,负电荷的电势能越小,所以负电荷从x1移到x2,其电势能不断减小,C正确;从x1到x2,图像的斜率不断减小,则电场强度不断减小,所以负电荷受到的电场力不断减小,D正确。
7.BC　由图像可知粒子在x1处的电势能最小,由于粒子带负电,根据Ep=φq,可知x1处的电势最高,Ep-x图像的斜率表示粒子所受的电场力,x1处粒子所受的电场力为零,电场强度为零,A错误;由于x1处的电场强度为零,设x1到-Q的距离为x,则有kQx2=2kQ(r+x)2,解得x=(2+1)r,B正确;Ep-x图像斜率的绝对值表示电场力的大小,因斜率的绝对值先减小后增大,故粒子的加速度先减小后增大,C正确;粒子从A处由静止开始运动,在A、B两处的电势能相等,由能量守恒可得,到B处的速度为零,但电场力不为零,还会向A处运动,D错误。
方法技巧　电场中Ep-x图像的应用技巧
(1)Ep-x图像中图线的斜率表示电场力,与粒子电性相结合可判断出场强方向。
(2)Ep-x图像的纵坐标表示电势能,根据其变化,可以判断电势能变化,根据能量守恒则可判断动能变化。
8.B　场强是矢量,C点与D点场强的大小相等、方向不同,A错误;沿着电场线方向,由题意可知,AO上任意一点的场强都大于OB上任意一点的场强,AO的平均场强大于OB的平均场强,又OA=OB,故UAO>UOB,B正确;由粒子的运动轨迹可知粒子受到的电场力与电场方向相同,则粒子带正电,沿MN轨迹运动时,场强先增大后减小,电场力也先增大后减小,由牛顿第二定律可得,加速度先增大后减小,C错误;把一负电荷从C点沿直线CD移至D点,电场力方向与速度方向的夹角先是锐角后是钝角,电场力先做正功后做负功,所以电势能先减小后增大,D错误。
9.BD　根据静电力做功与电势能变化量的关系有W1=q(φa-φb)①,W2=q(φc-φd)②,WMN=q(φM-φN)③,根据匀强电场中“同一条直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比”的规律可知,UaM=UMc,即φa-φM=φM-φc,可得φM=φa+φc2④,同理可得φN=φb+φd2⑤,联立①②③④⑤式可得WMN=W1+W22,即B项正确。若W1=W2,则φa-φb=φc-φd,结合④⑤两式可推出φa-φM=φb-φN,即D项正确。由题意无法判定电场强度的方向,故A、C项均错误。