2023年江苏省盐城市重点中学高考数学三模试卷（含解析）

2023年江苏省盐城市重点中学高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有处．某家庭计划今年暑假从这个古镇中挑选个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的倍．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，角、、所对的边分别为、、，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解如，其中即为的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前项的和为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知直线：与：相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  关于复数，，下列说法正确的是(    )

A.
B. 若，
C. 若，则
D.

10.  我国古代数学名著九章算术中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，，则(    )

A. 该“堑堵”的体积为
B. 该“堑堵”外接球的表面积为
C. 若点在该“堑堵”上运动，则的最大值为
D. 该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为

11.  让巴普蒂斯约瑟夫傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在上的函数，当时，有，则(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的对称中心
C.
D.

12.  画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于，两点，为坐标原点，下列说法正确的是(    )

A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 记点到直线的距离为，则的最小值为
C. 一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D. 的面积的最小值为，最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知随机变量服从正态分布，且，则 ______ ．

14.  的展开式中的系数为______ ．

15.  双曲线：的左、右焦点分别为，，为右支上一点，且，的内切圆圆心为，与切于点，直线交轴于点，若，则取曲线的离心率为______ ．

16.  柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体如图，在一个棱长为的正八面体正八面体是每个面都是正三角形的八面体内有一个内切圆柱圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行，则这个圆柱的体积的最大值为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数的值域为．
求的单调递增区间；
若在上恰有一个零点，求的取值范围．

18.  本小题分
如图，圆台上底面半径为，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点，在平面的同侧，且．
证明：平面；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值．
条件：三棱锥的体积为；条件：与圆台底面的夹角的正切值为．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

19.  本小题分
图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数，，，，．
设，求数列的通项公式；
设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．

20.  本小题分
社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子仅考虑不超过个孩子家庭的概率分布列为：

其中，，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记表示事件“一个家庭有个孩子”，表示事件“一个家庭的男孩比女孩多若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多”
若，求；
参数受到各种因素的影响如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等，通过改变参数的值来调控未来人口结构若希望增大，如何调控的值？
参考公式：

21.  本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，当轴时，；当时，．
求的方程；
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，在直线的两侧，点若，是否存在到直线的距离的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
函数的图象与直线相切．
求实数的值；
当时，，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，配方求二次函数值域的方法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由可得，
当时，，所以，
所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，
所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是．
故选：．
求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：某家庭计划今年暑假从这个古镇中挑选个去旅游的可能情况有种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为．
故选：．
先求出从这个古镇中挑选个去旅游的可能情况，然后结合对立事件及古典概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式的应用，还考查了对立事件的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
所以，
即第二次的“晷影长”是“表高”的倍．
故选：．
由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解．
本题考查解三角形问题，三角函数公式的应用，属中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理化简已知等式得：，即：，
故，
由于，
可得：，
因为角的角平分线交于点，可得，
所以由余弦定理可得，，
因为，
所以，即，整理可得，，
所以由余弦定理可得．
故选：．
利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得的值，进而求得的值，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，可得，解得，的值，进而根据余弦定理可得的值．
本题主要考查了解三角形问题，考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
则，
当时，，
则，
故数列的前项的和为．
故选：．
根据已知条件，结合，分奇数、偶数讨论，即可求解．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得，半径，
设点坐标，易知直线：恒过点，
直线：恒过，且，
则，即，点轨迹为，
圆心为，半径为，但是去掉点，
若点为弦的中点，位置关系如图：

，连接，由易知，
，，此时在处，可以取到，故A正确．
故选：．
可得到，圆的半径，设，可看出直线过定点，直线过定点，并可得出，得出点的轨迹方程为，圆心，半径为，去掉点设点为弦的中点，并画出图形，根据图形可求出的最小值，并且，然后即可得出的最小值．
本题考查了向量垂直的充要条件，圆的标准方程，向量加法的平行四边形法则，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对恒成立，即，即，
令，则，
故F在单调递增，故，故，问题转化为，
令，，令，解得，令，解得，
故H在单调递增，在单调递减，
故H，故．
故选：．
对恒成立，即，令，对求导得出在单调递增，故，故，问题转化为，即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，，，，，，
，，，
，A正确；
，时，满足，且，不满足，B错误；
，，
，，且，
，
，
不一定等于，错误，C错误；
，，
，D正确．
故选：．
设，，，，，，然后根据复数模的计算公式即可判断的正误；举反例即可判断的正误；根据复数加法、减法和模的计算公式即可得出，然后根据复数的乘法运算即可判断的正误；根据共轭复数的求法即可判断的正误．
本题考查了复数模的计算公式，复数的加法和减法、乘法的运算，共轭复数的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由题意，故A正确；
对于，设该“堑堵”外接球的半径为，
因为，，两两垂直，
所以，所以，
所以该“堑堵”外接球的表面积为，故B正确；
对于，当点与重合时，，故C错误；
对于，连接，，
因为，，，，平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角的平面角，
在中，，
所以，
即与平面所成角的正切值为，故D正确．
故选：．
根据棱柱的体积公式计算即可判断；先求出外接球的半径，再根据球的表面积公示即可判断；当点与重合时，最大，求出即可判断；证明平面，可得即为与平面所成角的平面角，解即可判断．
本题主要考查直线与平面所成的角，多面体体积的求法，球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于，
且的最小正周期为，则也是，，，的周期，
故的最小正周期为，A错误；
，
故，即点是函数图象的对称中心，B正确；
由题意知是偶函数，且当时，有，
故，C正确；
由于，
令，则，
即，
所以，D正确．
故选：．
根据函数的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断；由已知推出可判；根据函数的周期性以及时，有可判断；令代入函数表达式求值，判断．
本题主要考查三角函数的周期性与对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，当直线，一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为；，故A正确；

对于，为椭圆上的点，，
；
的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；
对于，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
当且仅当时取等号，
此矩形面积最大值为，C正确；
对于，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；，
同理可得：当位于椭圆下半部分，即，切线方程为；，
在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；，
设，则且，
可知，坐标满足方程，，
即切点弦所在直线方程为：，
当时，，此时所在直线方程为：，
，；
当时，由，得：，
由知：，，
设，，则，，
，
又原点到直线的距离，

，
令，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，故D正确．
故选：．
由蒙日圆的定义可求蒙日圆方程判断A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确．
本题考查新定义题型，考查运算求解能力，属难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，则，
所以由得，
所以，
所以，．
故答案为：．
根据正态分布的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的通项为，
令，则，此时
故答案为：．
先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：记为双曲线半焦距，
由内角平分线定理得，
即，
解得，
设，与圆切于点、，
则，，，
则，
设，
则，
即，
则，
又，
即，
解得．
故答案为：．
由双曲线的定义求出点的坐标，然后结合内角平分线定理求出点的坐标，然后求解即可．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设该圆柱的底面半径为，高，
由题可知，，，则．
又，，，
圆柱的体积，，
可知，当时，；当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，．
故答案为：．
根据题意得到，，然后利用勾股定理得到，在中根据相似列方程，整理得，然后根据圆柱的体积公式求体积，最后求导，根据单调性求最值即可．
本题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：


，
令，则，
又，在上单调递增，
故由题意有：，解得，
，
当，时，单调递增，
解得，，
即的单调递增区间为；
由知，，
，当时，，
结合正弦函数的图象可知：
当，即时，
函数在区间上恰有一个零点，
故的取值范围是 

【解析】首先化简，再结合一次函数的单调性得出最大最小值，解出参数、，然后利用整体代换思想求得的单调递增区间；
根据正弦函数的图象，即可得到角度可取的范围，解得的范围．
本题考查三角函数的化简及正弦函数的性质，属中档偏易题．
 

18.【答案】证明：取中点，连接，，如图，

由题意，，
又，
又，
故，，
所以四边形为平行四边形，
则，又面，平面，
故平面；
选：，
又平面，
所以三棱锥体积，
所以；
选：因为平面，
所以为与底面所成的角，
所以，
又，所以；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，
故，
设平面的法向量，
而，
故
令，解得，得，
设所求角的大小为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据题意证明四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明；
选择条件根据体积求出，选择条件根据线面角的正切值求出，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：设，第一行数列的公差为，
由可得，，
由可得，
由，可得，即，
解得，，．
；

假设存在实数，使恒成立，可得
当为偶数时，可得恒成立．
由在递减，可得时，取得最大值，
所以，即；
当为奇数时，可得恒成立．
由在递增，可得时，取得最小值，
所以，即．
综上可得，不成立．
故不存在实数，使恒成立． 

【解析】设，第一行数列的公差为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比、首项，可得所求通项公式；
由等比数列的求和公式可得，假设存在实数，使恒成立．讨论为奇数和为偶数，结合不等式恒成立思想可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列不等式恒成立问题解法，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得：，
解得，
又，，，，
且，
由全概率公式，得，
由，得；
由题意得：，考虑的变化即可，
由，得，
设，则，
记，则，
故在上单调递减，，，，在上单调递减，
因此，增加的取值，会减小，会增大，即增大． 

【解析】根据分布列的性质求出，再根据全概率公式计算可得；
由题意可知，所以只需研究，再由分布列的性质得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得解．
本题考查全概率公式以及离散型随机变量分布列相关知识，属于中档题．
 

21.【答案】解：当轴时，，即，
当时，，
在中，，由余弦定理可知，
，
即，
整理，可得，即，
由，解得，，
所以的方程为．
设直线：，点，，
令，则，，
由点，在直线的两侧，可得，
联立，消去，可得，
则恒成立，
所以，．
因为，所以，
由正弦定理，得，
而，即，
所以，而，则，
所以，则，即，
即，
整理，得，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以．
令，
结合，解得，则．
所以时，点到直线的距离． 

【解析】利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程；
由点，在直线的两侧可得，设直线：，点，，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得，根据，得到代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范围即可．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由，得，
设切点为，
则，
由于是切线，则，
设，则，
显然时，，单调递增，
所以，即无实根；
当时，能成立；
当时，，，则无实数根；
综上，时，有唯一实数根，即，
于是，则，
因此有，解得；
令，则在恒成立，
而，则，
若，即时，
当时，由，得，在单调递增，
所以在恒成立；
当时，，则，
故在恒成立．
若，即时，，
则存在，使在单调递减，
所以当时，，与题设矛盾，舍，
综上，的取值范围为． 

【解析】设切点为，易得，讨论、、，利用导数、指数及三角函数性质研究的零点，进而确定切点，即可求参．
令，结合分类讨论、导数研究在恒成立，即可求参数范围．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．