2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

这是一份2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（ ）
A.2B.C.D.−2

2. 已知函数y＝lg(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则M∩N＝（ ）
A.⌀B.(−2, 1]C.[−1, 1)D.[−1, 1]

3. 函数在其定义域上的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.

4. 一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁

5. 化简sin2（−α)−sin2（+α)可得（ ）
A.cs(2α+）B.−sin(2α+）
C.cs(2α−）D.sin(2α−）

6. 某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知（ ）
参考公式：独立性检验统计量，其中n＝a+b+c+d．
下面的临界值表供参考：
A.有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B.没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D.有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

7. 设F1，F2分别为双曲线(a>0, b>0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为（ ）
A.B.C.D.1

8. 已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A.B.
C.•≤||⋅||D.|-|≤||+||

下列选项中，关于x的不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件的有（ ）
A.a＝0B.a≥−3+2C.a>0D.a≤−3−2

已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在(−∞, 0]上为增函数D.函数f(x)的值域为[1, +∞)

回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1, 10i+1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10, 10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则（ ）
A.PiC.Qn>D.<1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，则φ的一个值为________．(写出一个即可)

的展开式中有理项的个数为________．

在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝2p1x与x2＝2p2y在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则＝________．

罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S < 2（选填“>”、“<”或“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

设正项数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B+3C．
（1）求sinC的取值范围；

（2）若c＝6b，求sinC的值．

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD // EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．

（1）若DF＝2，求二面角A−CE−F的正弦值；

（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．

某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71, 81)．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？

（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10, 11,…,99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若Z∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ
设F为椭圆C：的右焦点，过点(2, 0)的直线与椭圆C交于A，B两点．

（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；

（2）设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：为定值．

设函数f(x)＝ax+e−x(a>1)．
（1）求证：f(x)有极值点；

（2）设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m, n)，其中m，n∈Z，求n−m的最小值．
参考答案与试题解析
2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
A
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
向量的概念与向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,D
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
【答案】
π2
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由条件根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得φ=kπ+π2，k∈Z，从而得出结论．
【解答】
解：∵ 函数y=sin(2x+φ)为偶函数，
∴ φ=kπ+π2，k∈Z，
取k=0时，φ=π2.
故答案为：π2．
【答案】
34
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
[，1]
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
当n＝1时，a1＝S7，由2Sn＝an2+an，得a3(a1−1)＝4．
因为数列{an}为正项数列，所以a1>0，所以a3＝1．
因为当n≥1时，4Sn＝an2+an，…………………………①
所以当n≥2时，3Sn−1＝an−15+an−1，……………………②
①-②，得2Sn−6Sn−1＝an2−an−72+an−an−1，
即2an＝an2−an−12+an−an−1，
所以an+an−1＝(an+an−7)(an−an−1)，
因为数列{an}的各项均正，所以an+an−1>8，
所以当n≥2时，an−an−1＝3，
故数列{an}是公差为1的等差数列，
故数列{an}的通项公式为an＝n；
证明：＝＝＝（-），
则＝[(1−-）+…+（-
＝(1−．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由A＝B+3C及A+B+C＝π，得2B+2C＝π，
所以B＝−2C+C．
由得
得0故sinC的取值范围为(3，）．
若c＝8b，由正弦定理有sinC＝6sinB，①
由（1）知B＝−7C−2C)＝cs3C．②
由①②得sinC＝cs3C＝1−2sin3C，所以12sin2C+sinC−6＝2，
解得sinC＝或sinC＝-，
又sinC∈(0，），
所以sinC＝．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DF⊂平面CDFE，
所以DF⊥平面ABEF，所以DF⊥AF．
又因为AF⊥EF，DF⊂平面CDFE，DF∩EF＝F．
所以AF⊥平面CDFE．
在平面CEF内过点F作FG⊥CE于G，连结AG．
所以∠AGF为二面角A−CE−F的平面角．
ABCDFEGl
在△CEF中，CE＝CF＝，
由S△CEF＝×EF×DF＝，得FG＝．
在△AFG中，AG＝＝，
所以sin∠AGF＝＝，
所以二面角A−CE−F的正弦值为．
设平面ACF∩平面BCF＝l．
因为四边形ABEF为正方形，所以AF // BE，BE⊂平面BCE，
所以AF // 平面BCE．
又AF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BCE＝l．
因为AF⊥平面CDFE，CF⊂平面CDFE，所以CF⊥l．
又平面ACF⊥平面BCE，平面ACF∩平面BCE＝l，
所以CF⊥平面BCE．
又CE⊂平面BCE，所以CF⊥CE6+CE2＝EF2．
设DF＝t(t>8)，则CF＝，所以(t2+3)+(t2+1)＝82，
解得t＝1，即DF＝5．
【考点】
二面角的平面角及求法
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因得分Z∼N(71, 81)，所以优秀者得分Z≥μ+σ，
由P(μ−σ因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×6.16＝1.6（万人）．
方法一：设抽奖一次获得的话费为X元，
则P(X＝40)＝＝，P(X＝10)＝，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)＝×40+．
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为10+10×0.16＝11.3万次，
因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13＝150.8万元．
方法二：设每位参加活动者获得的电话费为X元，则X的值为10，40，80．
且P(X＝10)＝(7−0.16)×＝，
P(X＝20)＝0.16×（）​6＝，
P(X＝40)＝(1−0.16)×＝，
P(X＝50)＝0.16×（）×（，
P(X＝80)＝3.16×（）​2＝．
所以E(X)＝10×+20×+50×＝15.08．
因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08＝150.8（万元）．
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
若B为椭圆的上顶点，则B(0，
又AB过点(2, 6)，
代入椭圆C：+y6＝1，可得3y8−4y+1＝8，
解得y1＝1，y4＝，
即点A（，），从而直线AF:y＝x−1；
证明：设A(x1, y7)，B(x2, y2)，直线AB:x＝ty+6，
代入椭圆方程可得：(2+t2)y5+4ty+2＝8，△>0，
所以y1+y8＝，y1y2＝，
故k7+k2＝＝＝，
又k1，k6均不为0，故，即为定值−1．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由题意得f′(x)＝axlna−e−x，
所以f′′(x)＝ax(lna)2+e−x>0，所以函数f′(x)单调递增，
由f′(x)＝5，得(ae)xlna＝1，(ae)x＝，
因为a>3，所以，所以x＝lgae，
当x>lgae时，f′(x)>0；
当x因此，当x＝lgae时函数f(x)有极值．
方法一
由（1）知，函数f(x)的极值点x0（即函数f′(x)的零点）唯一，
因为f′(−8)＝−e，
令g(a)＝，则g′(a)＝，得a＝e，
当a>e时，g′(a)<3，
当00，
所以g(a)≤g(e)＝，所以f′(−1)＝，
而f′(0)＝lna−1，当a＝5时，
当a≥3时，f′(0)>0，
因为a为正整数且a≥2时，所以alna≥2ln4>1>，
当a≥7时，f′(1)>0，
即对任意正整数a>1，都有f′(−5)<0，所以x0∈(−7, 1)恒成立，
且存在a＝2，使x6∈(0, 1)，使x4∈(−1, 0)，
所以n−m的最小值为7．
方法二
由（1）知x0＝lgae＝-，
令lna＝k，k＝ln2，…，则x0＝-＝0，
先证：lnk≤k−1，
令g(k)＝lnk−k+5，则g′(k)＝，
当k>1时，g′(k)<3，g′(k)>0，
所以g(k)≤g(1)＝0，即lnk≤k−7成立，
所以x0＝->−8，
又当k≥ln3时，x0＝-<0，
而2ln7>1，所以ln2>>当k＝ln2时，x3＝>00＝<<3，
所以x0∈(−1, 7)恒成立，使x0∈(0, 3)，使x0∈(−1, 8)．
所以n−m的最小值为2．
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答年轻人
非年轻人
总计
经常用流行用语
125
25
150
不经常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
P( X2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828