【全国百强校首发】河北省衡水中学2016届高三下学期一调考试（理）数学试题

2015-2016学年度下学期高三年级一调考试

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数，且有，则（   ）

A．5      B．      C．3     D．

2.已知全集，集合，那么集合（   ）

A．     B．     C．     D．

3.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（   ）

A．      B．     C．     D．2

4.执行所示框图，若输入，则输出的等于（   ）

A．120     B．240     C．360   D．720

5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（   ）

A．144种      B．150种     C．196种      D．256种

6.在中，三边之比，则（   ）

A．1     B． 2    C．-3     D．

8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（   ）

A．      B．     C．     D．

9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（   ）

A．     B．     C．     D．

10.已知和分别为数列与数列的前项和，且，则当取得最大值时，的值为（   ）

A．4     B．5     C．4或5     D．5或6

11.在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（   ）

A．0个     B．1个     C．2个    D．3个

12.已知函数，设函数，且函数的所有零点均在区间，则的最小值为（   ）

A．6     B．8     C．9     D．10

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知的展开式中（且）的系数为0，则            .

14.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为            .

15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的交点，则的离心率为            .

16.在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为            .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）已知数列满足（为实数，且），，且成等差数列.

⑴求的值和的通项公式；

⑵设，求数列的前项和.

18（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.

⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

⑵学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；

⑶在⑵中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

19.（本小题满分12分）如图，在中，是的中点，，将沿折起，使点与图中点重合.

⑴求证：平面；

⑵当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；

⑶在⑵条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论.

20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.

⑴求椭圆的方程；

⑵设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

⑶过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，探究是否过定点，并说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数.

⑴当时，求函数在上的极值；

⑵若，求证：当时，.

（参考数据：）

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆与圆内切于点，其半径分别为3与2，圆的弦交圆于点（不在上），是圆的一条直径.

⑴求的值；

⑵若，求到弦的距离.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

⑴若，求线段中点的坐标；

⑵若，其中，求直线的斜率.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，函数

⑴求的值；

⑵求的最小值.

参考答案

一、选择题

1-5  BDACB     6-10  BBDBC    11-12  CD

二、填空题

13. 2    14.  8   15.      16.

三、解答题

又因为，所以

由

当时，

当时，

所以数列的通项公式为;

(2)由(1)，得、

设数列的前项和为，则

上述两式相减，得

所以数列的前项和为

18.(1)设各组的频率为

由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，

因为后四组的频数成等差数列

所以后四组频数依次为27,24,21,18

所以视力在5.0以下的频率为

0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82

故全年级视力在5.0以下的人数约为；

(2)

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；

(3)依题意9人中年级名次在名和名的人数分别为3人和6人

所以可能的取值为0,1,2,3

，，，

的分布列为

.

19.(1) ，且是的中点

，即

又平面

(2)在平面内，作于点

则由(1)可知，又平面

即是三棱锥的高

又当与重合时，三棱锥的体积最大

过点作于点，连接

由(1)知，平面

平面，

平面，

所以即为二面角的平面角

在中，

(3)存在，且为线段的中点，以为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系

设，

又平面的一个法向量为

解得：

20.(1)由已知可得

所以所求椭圆方程为；

(2)设点的中点坐标为，即

由，得，代入上式，得；

(3)若直线的斜率存在，设方程为，依题意

设，由

，由已知

所以，即

所以

故直线的方程为

所以直线过定点；

若直线的斜率存在，设方程为

设

由已知

此时方程为，显然过点

综上，直线过定点.

21.(1)

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以极小值为，无极大值；

(2)构造函数

在区间上单调递增

，在区间上有唯一零点

，即，由的单调性

有

构造函数在去甲上单调递减

即，.

22.(1)设交圆于点，连接

因为圆与圆内切于点，所以点在上，

所以分别是圆与圆的直径

所以

(2)若，由⑴的结果可知，，面在中，，又由，得到弦的距离为1.

23.(1)将曲线，化为普通方程，得

当，设点对应的参数为

直线的参数方程为（为参数）

代入曲线的普通方程

即

设直线上的点对应的参数分别为

则

所以点的坐标为；

(2)将代入曲线的普通方程

得

因为，得

由于

故，所以直线的斜率为.

24.(1)因为

当且仅当时，等号成立

又所以，所以的最小值为4，所以；

(2)由(1)知，由柯西不等式，得

故

当且仅当时等号成立

故的最小值为.