精品解析：河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高三模拟（一）数学试题

衡水中学､石家庄二中､雅礼中学､长郡中学等高三模拟（一）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（    ）

A. 与的夹角为

B.

C.

D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）

4. 从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数在区间上恰有3个零点，则取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算（，）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知实数，，，且，则必有（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是正方形面内(包括边界)的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（    ）

A. 36 B. 24 C.  D.

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道､大部分知道､少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%､49.0%､34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是（    ）

A. 柱形图 B. 茎叶图 C. 扇形图 D. 频率分布直方图

10. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（    ）

A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为

C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列

11. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A. 存在P使得 B. 的最小值为

C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值

12. 曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．（    ）

A. 若函数f（x）=．则曲线y=f（x）在点（-，-）与点（，）处弯曲程度相同

B. 若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值

C. 若函数，则函数的值域为

D. 若函数，则曲线上任意一点曲率的最大值为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设，则除以9所得的余数为______．

14. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．

15. 已知正实数，满足，则的最大值为______．

16. 已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距．

（1）求数列的通项公式；

（2）设， 求证： （且）．

18. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.

19. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.

（1）求证EG⊥AB；

（2）求异面直线AG和CE所成角余弦值．

20. 统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;

（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.

（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

21. 已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积定值，并求出该定值.

22. 已知函数.

（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.