2023年衡中、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高三数学模拟试题及参考答案（一）

2023年衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等高三模拟（一）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝{l，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3}，则(CuA)∩(CuB)＝(　 　)

A．{2}

B．{5}

C．{1，3，4，5}

D．{1，2，3，4}

2．复数的虚部为(　 　)

A．3 

B．4

C．－3

D．－4

3．八卦是中国文化的基本学概念，图①是八卦模型图，其平面图形为图②所示的正八边形ABCDEFGH，其中    ＝1， 则下列结论正确的为(　 　)

A．与的夹角为

B．＋＝

C．|－|＝||

D．在方向上的投影向量为(其中e为与同向的单位向量)

4．属于区间[2，8]的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为(　 　)

A．

B．

C．

D． 

5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)在区间[，π]上恰有 3个零点，则ω的取值范围是(　 　)

A．[，]∪(4，)

B．[，4]∪(，)

C．[，]∪(5，)

D．[，5]∪(，)

6．在某款计算器上计算时，需依次按下“log”，(“a”，“b”) 6个键，某同学使用该计算器计算(a＞1，b＞1)时，误按成“log”，(“b”，“a”)这6个键，所得到的值是正确结果的，则(　 　)

A．2a＝3b

B．a3b2＝1

C．a2＝b3

D．a3＝b2

7．已知实数a＞0，b＞0，a≠1，且lnb＝，则必有(　 　)

A．logab＞1

B．a＜b

C．logab＜1

D．a＞b

8．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是(　 　)

A．36

B．24

C．18

D．12

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．2022年1月，社会调查中心联合问卷网对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%，49.0%，34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是(　 　)

1. 柱形图
2. 茎叶图
3. 扇形图
4. 频率分布直方图

10．已知数列{an}为等比数列，首项a1＞0，公比q∈(－1，0)，则下列叙述正确的是(　 　)

A．数列{an}的最大项为a1

B．数列{an}的最小项为a2

C．数列{anan＋1}为递增数列

D．数列{a2n－1＋a2n)}为递增数列

11．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，则下列结论正确的有(　 　)

A．存在点P使得∠F1PF2＝

B．cos∠F1PF2的最小值为－

C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9

D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值

12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K(x)＝,

其中是的导函数，则下列说法正确的是(　 　)

A．若函数f(x)＝x3，则曲线y＝f(x)在点(－a，－a3)与点(a，a3)处的弯曲程度相同

B．若f(x)是二次函数，则曲线y＝f(x)的曲率在顶点处取得最小值

C．若函数f(x)＝，则函数K(x)的值域为[0，1]

D．若函数f(x)＝(x＞0)，则曲线y＝f(x)上任意一点的曲率的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设a＝＋＋＋…＋，则a除以9所得的余数为            ．

14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动。在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球A的位置为(0，0)，目标球B的位置为(4，0)，要使目标球B向C(8，—4)处运动，则母球A的球心运动的直线方程为            ．

15．己知正实数x，y滿足lnx＝yex＋lny，则x(y－x＋4)的最大值为            ．

16．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°．将△ABD沿BD折起，使得点A至点P的位置，得到四面体P－BCD．当二面角P－BD－C的大小为120°时，四面体P－BCD的体积为            ；当四面体P－BCD的体积为1时，以点P为球心，PB的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线在△BCD内部的长为            ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知n∈N*，抛物线y＝－x2＋n与x轴正半轴相交于点A，设an为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求证：＋＋…＋＜2－ (n∈N*且n≥2)

18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b) sinC．

（1）求角A的大小；

（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．

19．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1, 点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设＝a，＝b，＝c．

（1）求证：EGAB；

（2）求异面直线AG和CE所成角的余弦值．  

20．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们做出合理的决策．

（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼。用表示其中A种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E(ξ)；

（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条。

①请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数；

②统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法——最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件．请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数．

21．己知双曲线C：(a＞0，b＞0)的焦距为2，且过点A(2，－1)，直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，且直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．

22．已知函数f(x)＝mx2＋lnx．

（1）若m＝－4，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）设x1，x2是f(x)＝1的两个不相等的正实数解，求证：f(x1)＋f(x2)＋3＜ln4＋x1＋x2．