2023届河北衡水中学高三1月模拟数学试题（解析版）

这是一份2023届河北衡水中学高三1月模拟数学试题（解析版），共34页。试卷主要包含了作答时，将答案写在答题卡上，3cm或小于9等内容，欢迎下载使用。

2023年高考数学模拟试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（       ）.
A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件
C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件
2．复数.若，则（       ）的值与a、b的值无关.
A． B． C． D．
3．，可以写成关于的多项式，则该多项式各项系数之和为（       ）.
A．240 B．241 C．242 D．243
4．函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（       ）个非负实根.


A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数的最大值为（       ）.
A． B． C． D．3
6．，，，，a，b，c，d间的大小关系为（       ）.
A． B．
C． D．
7．已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有（       ）个不同的取值.
A．120 B．126 C．210 D．252
8．平面上有两组互不重合的点，与，，，.则的范围为（       ）.
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．工厂生产某零件，其尺寸服从正态分布（单位：cm）.其中k由零件的材料决定，且.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有（       ）.
A．越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小
B．越大，预计生产出普通零件的概率越大
C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格
D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为，，，则当时，每生产1000个零件预计盈利
10．已知椭圆C：，上有三点、、，、分别为其左、右焦点.则下列说法中正确的有（       ）.
A．若线段、、的长度构成等差数列，则点、、的横坐标一定构成等差数列.
B．若直线与直线斜率之积为，则直线过坐标原点.
C．若的重心在轴上，则
D．面积的最大值为
11．已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（       ）.
A．的最小值为
B．的最大值为
C．方程在上有三个解
D．在上单调递减
12．直线、为曲线与的两条公切线.从左往右依次交与于A点、B点；从左往右依次交与于C点、D点，且A点位于C点左侧，D点位于B点左侧.设坐标原点为O，与交于点P.则下列说法中正确的有（       ）.
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.
14．已知存在实数使得，则的取值范围为______.
15．已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为______.
16．二元数列中各项的值同时由，决定.已知二元数列满足，，.若，，则______
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
18．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率）
(1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；
(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A疫区共有10000名居民，采用的混采策略；B疫区共有20000名居民，采用的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.
参考数据：，
19．异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.

(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
20．已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.
21．已知抛物线，点为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、.
(1)若直线斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；
(2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数.证明数列为等差数列.
22．已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，




1．A
【分析】
先由题设条件得到，再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可.
【详解】
因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件，
所以，即，
对于A，若B为C的必要条件，即，则，
所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故A正确；
对于B，若B为A的必要条件，即，则，易得不是的必要条件，故B错误；
对于C，若C为D的充分条件，即，则，易得不是的必要条件，故C错误；
对于D，若B为D的必要条件，即，则且，易得不是的必要条件，故D错误.
故选：A
2．A
【分析】
根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a、b关系，再依次判断各选项.
【详解】
因为，所以，
所以，
又，所以，
，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即的值与a、b的值无关.
故选：A.
3．D
【分析】
利用换元法，将转化为，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.
【详解】
因为，
令，则，
令，则，
所以该多项式各项系数之和为.
故选：D.
4．B
【分析】
利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程在上的根的个数.
【详解】
由图象可得函数在上有3个极值点，不妨设其极值点为，其中，
设，，，
由图象可得，，时，函数单调递增，，又函数的图象由陡峭变为平缓，故逐渐变小，
所以当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递减，所以，函数的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，先变大再变小，函数先单调递减再单调递增，所以取值先负后正，所以存在，使得，当，，当，，
当时，函数单调递增，函数的图象由平缓变为陡峭，函数单调递增，所以当时，，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
因为，函数在单调递增，
所以函数在上不存在零点，且，
因为，
因为表示点与点的连线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，结合图象可得，故，所以函数
在上存在唯一零点，
故方程在上有1个非负零点，
故选：B.

5．D
【分析】
利用三角函数的平方关系将转化为点到点的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值，
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，则，
经检验，此时，，
所以，即的最大值为.
故选：D.
6．B
【分析】
构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得；利用二项式定理证得，再构造函数证得，从而得到；构造函数，证得，从而得到；由此得解.
【详解】
令，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，则，即，故；
因为，
所以其展开通项公式为，
故，，，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以，故，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上：.
故选：B.
7．C
【分析】
将表示为，其中，且不全为0，，分析与的取值的关系，由此确定满足条件的的取值的个数.
【详解】
设，其中，且不全为0，，
若，则，，
，，
若，则，，
，，
所以若则，，若，则，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
所以时，，时，，
同理可以证明时，，，，
因为有且仅有4个不同的，使得，即中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从中任选4个变量有种取法，
故满足条件的的个数为，即210个，
故选：C.
8．D
【分析】
考虑的特殊情况，验证选项可得答案.
【详解】
当时，由题，有，，.
得.则在以为圆心，半径为1的圆上，则在以为圆心，半径为2的圆上.又，则如下图所示，即时，取最小值为1；

如下图所示，即时，取最大值为3.

则当时，的范围是，验证选项可排除A，B，C.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题因点的情况较为复杂，且又为选择题，故考虑利用特殊值验证选项得答案.
9．AC
【分析】
对于AB，利用正态分布曲线的图像变化即可得解；
对于C，结合参考数据，求出预计生产出的不合格零件的概率，从而得解；
对于D，结合参考数据，分别求出预计生产出的优质零件、普通零件与不合格零件的概率，从而得解.
【详解】
依题意，得，则，，
对于A，当变大时，变大，则零件尺寸的正态分布曲线越扁平，
所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A正确；
对于B，由选项A可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B错误；
对于C，当时，，
则，而，
所以预计生产出的不合格零件的概率为，
故生产200个零件约有不合格零件的个数为，故C正确；
对于D，当时，，
则，，
，
所以预计生产出优质零件的概率为，不合格零件的概率为，普通零件的概率为，
故每生产1000个零件预计盈利，故D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】
先证明两个结论，结论1为焦半径公式，利用该公式可判断AC的正误，利用同一法可判断B的正误，结论2为均值不等式，利用该结论可求内接三角形面积的最大值，从而可判断D的正误.
【详解】
结论1：若为椭圆上的的动点，为其左焦点，则.
证明：
，
因为，故，故.
结论2：若，则.
证明：因为，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
由结论2可得，当且仅当时等号成立.
对于A、C，设，则
由结论1可得：，
因为，故，
整理得到：，故A正确.
因为的重心在轴上，故，
故，故C正确.
对于B，设关于原点的对称点为，则，
故（，否则，这与题设矛盾），
故，
但所以，
所以，而，故，
因均在椭圆上，故重合即直线过坐标原点，故B正确.
我们先证明一个命题
命题：设为椭圆上的点，直线与椭圆交于不同的两点，则面积的最大值为.
证明：当直线的斜率不存在时，设直线， ，
则的面积，
若，则，
因为，，故，即，
当且仅当，时等号成立，故此时.
同理可证：当时，.
过当直线的斜率存在，可设，
由可得，
故，故，
而，
又到的距离为，故的面积为：

对于给定的，先考虑的最大值，
设，则
，其中，
若，则的最大值为，
此时
设，则，故，
由结论2可得：

，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故，
若，则的最大值为，同理可得，
综上，面积的最大值为.
对于D，考虑为椭圆上的点，直线为直线，
由前述命题可得：面积的最大值为，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
思路点睛：椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处理，而多变量的最值问题，往往是通过降低变元的个数逐步处理.
11．BC
【分析】
根据题意，可得，由，求解出的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，即可求出的最值，进而判断A、B选项；令，分和两种情况解方程，即可判断C选项；取，求出此时函数的单调区间，即可判断函数在上的单调性，从而判断在上的单调性，进而判断D选项.
【详解】
，
即，其中，，.
由，即，，
所以当时，，
即，，
所以当，即时，，
当，即时， ；
当时，，
即，，
所以当，即时，，
由于，所以无最小值.
综上所述，的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由，所以当时，，
即，
即或， ，
所以或，.
当时，，
即，
即或， ，
所以，，
综上所述，方程在上有三个解，故C正确；
取时，，
令，即；
令，即；
由于，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上有增有减，则在上有增有减，故D错误.
故选：BC.
12．CD
【分析】
先由和是一对反函数，图像关于直线对称，得出点关于直线对称，点关于直线对称，点在直线上，再算出和的公切线方程，设点坐标为，用表示出三个点的坐标，由直线性质算出点坐标，再依次通过计算得出每个选项的正误即可.
【详解】
由题意，画出大致图像如图，

设与，为直线，为直线，
且和是一对反函数，图像关于直线对称，
则点关于直线对称，点关于直线对称，点在直线上，
设的切点为，的切点为，
由，，
得的切线方程为，
的切线方程为，
当两函数的切线方程重合时，即为公切线，
则，将代入下式得，
将和的图像在同一坐标系中画出如图，

设方程的其中一个解为，则，
由，可得，
又因，则方程的另一个解为，
因此点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为.
因为与关于直线对称，所以，选项错误；
由点在直线上可得，
设点坐标为，则，解得，
设，，
设，，
则在上单调递减，
由，，
可得在上的函数值为先正后负，
即在上的值为先正后负，
则在上的单调性为先增后减，
又，，且，
则，即，
所以，选项B错误；
分别连接，，如图，

由，，
得，选项C正确；
分别连接，，如图，

得第三象限夹角，即，选项D正确.
故选：CD.
13．
【分析】
画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球表面积可得答案.
【详解】
如图，设四面体为“黄金四面体”，
且，
得，
又因四个面都为“黄金三角形”，则.
注意到四面体对棱相等，则将其补形为如图所示长方体，则该长方体外接球与该四面体外接球重合.
设，
则长方体外接球半径为长方体体对角线长度的一半，有，又注意到：，
得，又，得.
注意到，
，
则.
又在中，，取中点为E，
则，故，
又由前面分析可知四面体的四个面全等，
则四面体的表面积.
设四面体的内切球半径为，则，
得.
注意到，则，
又，得，又，
则.
则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为：
，
代入，得比值为：.
故答案为：

【点睛】
关键点点睛：本题涉及求几何体的外接球半径及内切球半径，难度较大.题目关键为由题目条件得到“黄金四面体”的对棱相等，从而将其补形为长方体，而适当的代换也可减小计算的复杂度.
14．
【分析】
结合绝对值三角不等式可得，即，即，再结合，可得，进而求解.
【详解】
由，即，
即，即，
又因为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．##
【分析】
根据题意假设的中点，先利用代入法求得的取值范围，再利用点斜式求得直线的方程，从而利用点线距离公式求得，进而利用换元法与基本不等式求得点B到直线l距离的最小值.
【详解】
依题意，设的中点，则，，
所以，，则，
因为，所以，故，
所以线段AP的垂直平分线l为，即，则，
所以点到直线的距离为，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即点B到直线l距离最小值为.
故答案为：
.
16．答案征集
【详解】
解析征集
17．(1)
(2)

【分析】
（1）先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；
（2）先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.
【详解】
（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
.
18．(1)4；
(2)A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.

【分析】
（1）利用错检率计算得解；
（2）先求出整个疫区检测次数的期望值和整个疫区检测次数的期望值，再作差比较大小即得解.
【详解】
（1）解：当有100个人检测出核酸阳性时，预计检出的假阳性人数为.
（2）解：先计算疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，
采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，
10000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.
再计算疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，
采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，
20000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.

因为，所以，，
所以，
所以A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设是直线与的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，从而推出矛盾，由此得证；
（2）利用（1）中结论，求得直线与的公共法向量，从而利用异面直线间的距离公式求得所求.
【详解】
（1）因为在三棱锥中，平面PBC，，
所以易得两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，故，
不妨设，，则，，
所以，即，
所以，，，
要证，只需证不是直线与的公垂线即可，
假设是直线与的公垂线，则，
故，即，
整理得，消去，得，即，
所以，不满足，故假设不成立，
所以.
.
（2）不妨设，则，
由（1）得，，，
因为，所以，则，
所以，
不妨设是直线与的公共法向量，
所以，令，则，，故，
设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为，
则，
因为，
所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为.
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】
（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.
【详解】
（1）因为，，
所以，则，
又，
所以是首项为的常数列，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，，所以，，则，
因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以；
假设当时，有，
则当时，，
因为，
所以要证，需证，
即证，
当时，，，则，
假设当时，有，
则当时，，
因为，所以，
所以，
综上：成立，
所以成立，
综上：恒成立.
21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】
(1)设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；.
(2) 设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列.
【详解】
（1）设
则，同理.
，即，，
.
当时，，
所以抛物线在点处切线斜率为，得证.
（2）设，
故直线，
令，则，故，同理.
当时，
故

，
当时，同理有，
因为，故，
整理得到：，因此，
由可得，故，
因此，即为等差数列，设其公差为.
而，故，其中.
又直线，因该直线过，
故，解得，
故，所以，
故，而，
故，所以为等差数列，设其公差为.
故，
故当时，
，
该数为常数.
当时，
，
该数为常数，
而，
故，故，
故对任意的，为常数，故数列为等差数列.
【点睛】
思路点睛：解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处理从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】
（1）求出函数的导数，根据仅有一个零点结合函数的单调性可得零点满足，通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得与互为相反数，结合其中一个根的范围可证.
（2）利用零点满足的方程可得，结合对数不等式可得.
【详解】
（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
【点睛】
思路点睛：函数的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，同时结合零点存在定理来判断，讨论单调性时，导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的方程来求解，当函数值的符号不易判断时，可以利用放缩法来处理符号问题.