题型四 多边形证明（复习讲义）（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型四多边形证明

（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）

（复习讲义）

【考点总结|典例分析】

考点01三角形全等及性质

一、三角形的基础知识

1．三角形的概念

由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．

2．三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．

推论：三角形的两边之差小于第三边．

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．

3．三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．

推论：

①直角三角形的两个锐角互余；

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

4．三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

二、全等三角形

5．三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

6．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．

三、等腰三角形

7．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

8．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

四、等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

五、直角三角形与勾股定理

9．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：

（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：

（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

10．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

1.如图，和相交于点，，．
求证：；
求证：．

2.如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．

3.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点、、、在同一直线上，，，求证：．

4.(2022·陕西省)如图，在中，点在边上，，，求证：．

5.(2022·浙江省杭州市)如图，在中，，点为边的中点，点在线段上，于点，连接，已知，．
求证：．
若，求线段的长．

6.（2021·云南中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．

7.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．

（1）若，求，的度数．

（2）写出与之间的关系，并说明理由．

8.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．

（1）求证：．

（2）若，，求的度数．

9.（2021·福建中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．

10.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知，，与相交于点，求证：．

考点02相似

六、相似三角形的判定及性质

11．定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

12．性质

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

13．判定

（1）有两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

七、相似多边形

14．定义

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

15．性质

（1）相似多边形的对应边成比例；

（2）相似多边形的对应角相等；

（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

八、位似图形

16．定义

如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．

27．性质

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

18．找位似中心的方法

将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．

19．画位似图形的步骤

（1）确定位似中心；

（2）确定原图形的关键点；

（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；

（4）作出原图形中各关键点的对应点；

（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

11.（2021·云南中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______．

12.（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值．

13.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．

14.（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：△ABF∽△FCE；

（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；

（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．

考点03多边形

十、多边形

20．多边形的相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

21．多边形的内角和、外角和

（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

22．正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．

（3）正n边形有n条对称轴.

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

15.（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（    ）

A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

16.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（     ）

A．72° B．36° C．74° D．88°

17.（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（    ）

A．每个内角都相等的多边形是正多边形

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分

18．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．

19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．

20．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．

21．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．

考点04平行四边形

十一、平行四边形的性质

23．平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

24．平行四边形的性质

（1）边：两组对边分别平行且相等．

（2）角：对角相等，邻角互补．

（3）对角线：互相平分．

（4）对称性：中心对称但不是轴对称．

25．注意：

利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．

（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．

（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．

26．平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．

（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．

十二、平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

十三、矩形的性质与判定

27．矩形的性质：

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

28．矩形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；

（2）有三个角是直角；

（3）对角线相等的平行四边形．

十四、菱形的性质与判定

29．菱形的性质：

（1）四边相等；

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；

（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．

30．菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形；

（3）四条边都相等的四边形．

十五、正方形的性质与判定

31．正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．

32．正方形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；

（2）一组邻边相等的矩形；

（3）一个角是直角的菱形；

（4）对角线相等且互相垂直、平分．

十六、联系

（1）两组对边分别平行；

（2）相邻两边相等；

（3）有一个角是直角；

（4）有一个角是直角；

（5）相邻两边相等；

（6）有一个角是直角，相邻两边相等；

（7）四边相等

（8）有三个角都是直角．

十七、中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

22.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在中，的角平分线交于点D，．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若，且，求四边形的面积．

23.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如果，求证：四边形是矩形．

24.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．

求证：．

25.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．

26.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．