四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题（解析版）

2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试

文科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

由得：，，

则，故选B.

2.若，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

解：由题意可知： ，

则 .

本题选择D选项.

3.已知实数、满足约束条件，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.

【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

4.“”是“直线的倾斜角大于”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

设直线的倾斜角为，则，

由“”，可得，再举特例，可得由“直线的倾斜角大于”

不能得到“”，即可得解.

【详解】解：设直线的倾斜角为，则，若“”，则，即，即由“”能推出“直线的倾斜角大于”，

若“直线的倾斜角大于”，不妨令，

则，则不能得到“”，

即“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，

故选A.

【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.

5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（   ）尺.   

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

如图，已知，， 

∴，解得 ，

∴，解得 .

∴折断后的竹干高为4.55尺

故选B

6.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（    ）

A. 128.5米 B. 132.5米 C. 136.5米 D. 110.5米

【答案】C

【解析】

【分析】

设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．

【详解】胡夫金字塔原高为 ，则 ，即米，

则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C．

【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．

7.已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，

选项B中，还可能异面，

选项C，由条件可得或．

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

8.函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.

【详解】解：由图象知，，则，

图中的点应对应正弦曲线中的点，

所以，解得，

故函数表达式为．

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.

9.已知，则(　　)

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.

【详解】由，

可得

，

，故选C.

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

10.已知，．若，则的取值范围是（   ）

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先由题意，求出，再由向量的几何意义，可得，进而可求出结果.

【详解】因为，，所以，

即，

当与同向时，最小；当 与反向时，最大，

又，

所以，即.

故选：D

【点睛】本题主要考查求向量模的范围，熟记向量的数量积运算，以及向量的几何意义即可，属于常考题型.

11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．

【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，

∴．

正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，

则由得，解得，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．

12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意即可得出函数的图象恒在直线的上方，当直线与函数相切时，可设切点为，，从而可以得出，联立三式即可得出，根据即可得出，再根据③即可得出，从而得出整数的最大值为2．

【详解】关于的不等式在内恒成立，

即关于的不等式在内恒成立，

即函数的图象恒在直线的上方．

当直线与函数相切时，设切点为，，

则，由①②得，，把③代入得，化简得．由得，．

又由③得．即相切时整数．

因此函数的图象恒在直线的上方时，整数的最大值为2．

故选．

【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.求值：_________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据对数运算,化简即可得解.

【详解】由对数运算,化简可得

故答案为:1

【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.

14.若等比数列的前项和为,且，，则____．

【答案】511

【解析】

由等比数列的性质可得： ，

即： ，解得： .

15.函数的图像可由的图像至少向右平移_________个单位长度得到.

【答案】

【解析】

【分析】

结合辅助角公式对目标函数进行变形得，从而可得到正确答案.

【详解】解：，

所以的图像至少向右平移个单位长度得到.

故答案为: .

【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了三角函数图像的平移变换.本题的关键是对目标函数的解析式进行整理变形.

16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由到准线的距离为2，可求出，抛物线：，，再利用，点的坐标，即可求出直线，联立直线与抛物线则可求出点的坐标，再利用，即可得出答案．

【详解】因为到准线的距离为2，所以，抛物线：， .
设，，因为，即

所以，

代入直线：

所以直线为：

由

所以 ，所以， ，

所以

故填：

【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题．

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

（3）估计居民月用水量的中位数.

【答案】(1) ； (2)36000；（3）.

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.

【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，

解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.

（Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5

所以2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

【考点】频率分布直方图

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

18.在中，是上的点，平分，.

（1）求；

（2）若，求的长．

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可．

（2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可．

【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，，

在中，，

又因为，.

（2），由正弦定理得，

设，则，则.

因为，

所以，解得.

.

【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键．

19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面．第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题．

【详解】（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.

∵为的中点，∴.

∵，平面，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵，分别为，的中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

又平面，，

∴平面平面.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.

∵平面平面，平面，∴平面.

又，，∴.

在中，∵，，∴.

∵，分别为，的中点，

∴的面积，

∴三棱锥的体积.

【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．

20.已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据中垂线性质得到，判断为椭圆，代入数据得到答案.

（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设，联立方程得到，，计算得到答案.

【详解】（1）

点轨迹是以、为焦点椭圆.

，，，.

（2）当斜率存在时，设

，令两根为，.

由.

，.

代入，，即.

故.

，，.

当轴时，易求，范围是.

【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.

21.已知函数，．

（1）讨论函数的导函数的单调性；

（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）先求出，再对a分类讨论求出函数的单调性；（2）由题得，再对a分类讨论，根据函数在x=1处取得极大值，求出a的取值范围.

【详解】（1）∵，∴，∴，

①当时，，∴函数在上单调递增；

②当时，若，则；若，则，

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时．函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）∵，∴．

①由（1）知，当时，在上单调递增，

若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值；不合题意；

②当时，在上单调递增，在上是单调递减，∴，

∴在上单调递减．∴无极值，不合题意；

③当时，，由（1）知，在上单调递增，∵，

∴若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，不合题意；

④当时，，由（1）知，在上单调递减，∵，

∴若，则；若，则．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，符合题意．

综上所述，a的取值范围是．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）直线l的参数方程为（t为参数）．将代入消去参数t可得直线l的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．

（2）将代入得：，利用根与系数的关系及参数的意义可得．

【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为

由，得，则有，即，

则曲线C的直角坐标方程为

（2）将l的参数方程代入，得，设两根为，

则，为M，N对应的参数，且

所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，

所以，

【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23.已知，，；

（1）若，，求的解集.

（2）若最小值为1，求最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）将函数化简为分段函数，分别解不等式得到答案.

（2）将函数化简为分段函数，根据最小值得到，

变形，利用柯西不等式解得答案.

【详解】（1），时，，

解不等式： 解得答案：.

（2）

当时，，.

.

当即时. 最大值为.

【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.