河北省邯郸市2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

河北省邯郸市2023届高三第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知是关于x的方程的一个根，其中，则（    ）

A．18 B．16 C．9 D．8

3．“是钝角”是“是第二象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知命题：函数的图像关于直线对称，：函数的图像关于点对称，则下列命题中的真命题为（   ）

A． B． C． D．

6．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．9

7．将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（    ）

A．120种 B．240种 C．480种 D．960种

8．设函数的值域为A，若，则的零点个数最多是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为

10．若函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则为偶函数

B．若的定义域为，则

C．若，则的单调增区间为

D．若在上单调递减，则

11．已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ）

A．2 B．6 C．9 D．12

12．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段上一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点G，使平面平面

C．当时，直线EG与所成角的余弦值为

D．三棱锥的外接球体积的最大值为

三、填空题

13．每年的4月23日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了8名学生，统计到他们某一周课外阅读时间（单位：小时）分别为3.5，2.8，2.5，2.3，3.2，3.0，2.7，1.7，则这组数据的第40百分位数是___________．

14．如图，为正方体，下面结论中正确的是___.（填写所有正确结论的编号）

①平面；

②平面；

③与底面所成角的正切值是；

④过点与异面直线与成角的直线有条.

15．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________

16．对任意的实数，，表示，中较小的那个数，若，，则的最大值是_______．

四、解答题

17．已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若集合，且，求中所有元素之和.

18．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．

(1)求A的值；

(2)若的面积为，求a的最小值．

19．如图1，已知是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折起，并连接得到如图2所示的几何体.

(1)判断几何体是哪种简单几何体，并证明；

(2)在几何体中，若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.

20．游泳是人在水的浮力作用下产生的向上漂浮，凭借浮力通过肢体有规律的运动，使身体在水中有规律运动的技能，游泳的好处是非常多的，主要包括这几个方面：第一个，提高身体的体能，因为游泳是一个比较消耗体力的活动，长期的游泳可以使自己保持很好的体能．第二个，塑身作用和塑形减肥的作用，游泳消耗量比较大，可以消耗我们体内的脂肪，另外，由于在游泳中水压的作用，我们的体形可以得到塑造，所以有塑形减肥的作用．第三个，它可以提高心肺功能，特别是肺活量，游泳以后，我们不断地有规律的调整自己的呼吸，使肺活量能明显的增加，同时由于游泳需要消耗大量的氧，所以我们心脏的功能，也得到很好的锻炼，所以能够提高心肺的功能．第四个，游泳对我们心情，对我们精神状态，也能起到一个改善，在游泳锻炼当中，我们心情愉悦，对我们身心健康是非常好的锻炼．现有，，三家游泳馆，其中游泳馆有2名教练，游泳馆有3名教练，游泳馆有5名教练．

(1)若从，，三家游泳馆抽取2名教练参加培训，求抽取的2人来自不同游泳馆的概率；

(2)若从，，三家游泳馆抽取4名教练参加培训，记表示从游泳馆抽取的人数，求的分布列和数学期望．

21．已知椭圆T：的左焦点为，上顶点为P.直线PF与椭圆T交于另一点Q，且，点在椭圆T上.

(1)求椭圆T的方程；

(2)过点，且斜率为k的直线l与椭圆T相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，作，垂足为N.是否存在定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R和；若不存在，请说明理由.

22．设函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，且在区间上有极值，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】化简集合，根据交集运算定义求解.

【详解】不等式的解集为，

所以，

不等式的解集为，

所以，

所以，

故选：B.

2．A

【分析】将复数代入原方程计算

【详解】由题意得，化简得，

所以解得所以．

故选：A

3．A

【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，

当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，

所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，

故选：A

4．A

【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．

【详解】由已知，所以，

，当且仅当时等号成立．

故选：A．

5．A

【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断即可；

【详解】解：令，则，

所以图像关于直线对称，即命题为真命题，则为假命题；

又，所以函数的图像关于点对称，所以命题为真命题，则为假命题，

所以为真命题，、、均为假命题；

故选：A

6．A

【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.

【详解】如图，

设抛物线的准线为，过作于，过作于，

因为，所以当，，三点共线时，

取得最小值，故的最小值为．

故选:A.

7．B

【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.

【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法，

再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法，

故字母b不相邻的排列方法共有（种），

故选：B

8．C

【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；

【详解】解：令，则在上单调递减；

令，则．由，得或；

由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，

于是，的极大值为，极小值为．在同一坐标系中作出函数和的图象，如下图：

显然；由，得；由的解析式，得．

（1）若，当时，，不符合题意；

（2）若，当时，，不符合题意；

（3）若，

①当时，；

②当时，，即．

由①②，时符合题意．

此时，结合图象可知，当时，在上没有零点，在上有2个零点；

当时，在上有1个零点，在上有1个或2个零点，

综上，最多有3个零点．

故选：C．

9．BD

【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.

【详解】，所以，故A错误；

，故B正确；

，

，，，故C错误；

向量在上的投影向量为，故D正确．

故选：BD

10．AB

【分析】对于A选项：根据偶函数的定义即可判断；

对于B选项：根据二次函数在上恒成立的条件即可判断；

对于C选项：求出的定义域，由单调区间和定义域的关系即可判断；

对于D选项：根据函数的定义域和复合函数的单调性即可判断.

【详解】对于A选项：若，则，其定义域为，

又，即为偶函数，所以A选项正确；

对于B选项：若的定义域为，则在上恒成立，

即，解得：，所以B选项正确；

对于C选项：若，则，

则，解得：或，

即的定义域为，

因为，单调区间要以定义域为前提，所以C选项错误；

对于D选项：若在上单调递减，

则，且，解得：，所以D选项错误；

故选：AB.

11．BC

【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案

【详解】由双曲线的方程可得，焦点为，

圆：的圆心为，半径为2，

圆：的圆心为，半径为1，

所以，，

所以,

，

所以，

故选：BC

12．AD

【分析】选项A求三棱锥体积判断；选项B用反证法判断；选项C建立空间坐标系，用向量法求直线与直线所成角的余弦值来断；选项D求外接球心，用方程求解判断．

【详解】解：对于A，，所以A正确；

对于B，若存在线段，使平面平面线段，因为平面交平面与平面分别为与，

于是，应在的延长线上，所以B错误；

对于C，以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当时，则，

则，2，，，0，

，2，，，2，，所以，2，，，0，，

所以，，

所以直线与所成角的余弦值为，所以C错误；

对于D，当在点时，三棱锥外接球半径最大，连接交于点，则为的中点，因为三角形为直角三角形，所以外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，与交于，设球心为，

如平面展开图，

设半径，因为，，所以，

所以，，

由，可得，解得，

故体积的最大值为，所以D正确，

故选：AD．

13．2.7

【分析】根据百分位数的定义求解即可

【详解】将这组数据从小到大排列：1.7，2.3，2.5，2.7，2.8，3.0，3.2，3.5．

因为，

所以这组数据的第40百分位数为第4项数据，即2.7．

故答案为：2.7

14．①②④

【分析】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断①②，找出直线在平面上射影，示出线面角的正切值判断③，求出异面直线与所成的角，进一步确定与它们成等角的直线的条件判断④．

【详解】正方体中，,,且，则平面①正确；

正方体中易证平面，由线面垂直定义可得，同理可得，和是平面内两条相交直线，因此有平面，②正确；

易证是在平面上的射影，是与平面所成角，显然，③错；

由可得直线与所成的角是，

抽象出图形如下，，，，是的平分线，是其补角的平分线，与和夹角为，与和夹角为，直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时，与的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条，而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角．所以过点与异面直线与成角的直线有2条，④正确．

故答案为：①②④

15．

【分析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积

【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，

所以当时，弦AB的长度最短，

因为，

所以，

所以三角形ABC的面积为，

故答案为：

16．1

【解析】先由求出的范围，此时，求出对应的最值；再由求出的范围，此时，求出对应的最值，再比较大小，即可得出结果.

【详解】由得，即，解得或；

因为表示，中较小的那个数，

所以当或；，

因为是开口向下的二次函数，对称轴为，

因此其在上单调递增，在上单调递减，且，，

所以时，的最大值为；

由得，即，解得，

所以当时，，因此，

综上，的最大值是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于对的理解，根据题意，得到表示两函数中较小的，因此只需根据函数解析式，求出对应的最值，即可求解.

17．(1)

(2)242

【分析】（1）结合等差、等比数列的知识求得的通项公式.

（2）根据已知条件列不等式，结合等比数列的前项和公式求得正确答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

依题意，解得，.

所以.

（2）设，即，即，

因为，所以，即，

由于，所以，解得，，

所以中所有元素之和为.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据正弦定理及余弦定理结合条件即得；

（2）根据三角形面积公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式即得.

【详解】（1）由，

可得

所以

整理得：，

由正弦定理得：，

∴，

∵A为内角，

∴；

（2）由，得，

所以，

∵，

∴，当且仅当时，符号成立，

∴，又，

∴，

即 a 的最小值为．

19．(1)几何体是三棱台，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，再利用边与边的比值关系，判断几何体是三棱台.

（2）根据题意，以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，计算出所求二面角的余弦值即可.

【详解】（1）几何体是三棱台，证明如下：

由条件知，又平面平面，

所以平面，同理，平面.

因为，平面，所以平面平面.

另一方面，延长交于点M，如图，

因为且，

所以，解得.

同理，延长交于点，也可得，

故点M和点重合，即延长后交于同一点M，

从而几何体是三棱台.

（2）因为，

所以是直二面角的一个平面角，

从而.

以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

所以，

所以，又因为，所以.

而平面，

所以平面是平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量，

由及得

取，得.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

所以，

即二面角的余弦值是.

20．(1)；

(2)2.

【分析】（1）求出抽取2名教练的不同结果总数，再求出2人来自不同游泳馆的结果数，利用古典概型计算作答.

（2）求出的所有可能值，再求出各个对应的概率，列出分布列，求出数学期望作答.

【详解】（1），，三家游泳馆共有10名教练，从中任抽2人，有个不同结果，它们等可能，

抽取的2人来自不同游泳馆的事件含有的结果数为，

所以抽取的2人来自不同游泳馆的概率.

（2）的可能值为0，1，2，3，4，

，

，

所以的分布列为：

的数学期望.

21．(1)

(2)存在，，

【分析】（1）待定系数法去求椭圆T的方程；

（2）利用设而不求的方法求得恒过点，再利用直角三角形的性质找到定点R并求得的值.

(1)

由，，，可得点Q的坐标为，

则，解之得，则，

又因为点在椭圆T上，所以，则

解之得，则，.

故椭圆T的方程为.

(2)

由题可知直线l的方程为，设点，，则.

联立方程组，整理得.

则，，.

直线的方程为，

整理得.

.

令，得，所以恒过点.

在Rt△MGN中，存在定点为斜边MG的中点，使得，为定值.

22．(1)

(2)

【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出f′(0)、f(0)，再利用点斜式求出切线方程；

（2）求导，利用零点存在性定理可得，使得时，单调递增；当时，单调递减，在处取得极大值，，再构造函数利用导数可得答案.

【详解】（1）当时，，

则，切点为.

，切线斜率为，

所以所求切线方程为，即.

（2），

令，

因为，所以在R上单调递减；

又当时，，

所以，

又，

所以，使得.

所以，

因为，所以，由题意.

故当时，单调递增；

当时，单调递减，

在处取得极大值，.

令，则，

所以在上单调递增，

而，

所以，

故实数a的取值范围为.

【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.