河北省2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

河北省2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

2．已知数列满足，若对任意（且）恒成立，则当取最大值时，（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

3．在△ABC中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

4．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面ABC，⊥，若，则该“鞠”的体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（    ）

A．5种 B．6种 C．10种 D．20种

6．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（    ）

A． B． C． D．

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．过任意三点有且仅有一个平面

B．为直线，为不同的两个平面，若，则

C．为不同的直线，为平面，若，则

D．为不同的直线，为平面，若，则

10．已知函数，则（    ）

A．在区间上单调递增

B．当时，取最小值

C．对为增函数

D．对

11．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

三、填空题

13．中常数项是_________．（写出数字）

14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________.

15．已知奇函数对任意都有，则______.

16．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值______

四、解答题

17．若数列满足，，m为常数.

(1)求证：是等差数列；

(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.

18．如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求．

(2)若，求．

19．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；

（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

附：，其中．

21．在平面直角坐标系中，①已知点，直线，动点满足到点的距离与到直线l的距离之比为；②已知圆的方程为，直线为圆的切线，记点，到直线的距离分别为，，动点满足，；③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足；

（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹的方程；

（2）设为直线上任一点，轨迹与轴的两个交点分别为，，且，，三点的连线可以构成三角形.直线，与轨迹的另一交点分别为点，，求证：直线过定点.

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)对任意的，都有，求a的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.

【详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，

联立与，

可得，整理得，即，

当时，，不满足题意；

故方程组有唯一的解.

故.

故选：C.

2．B

【分析】由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出m的取值范围，则得到的最值，则得到的值.

【详解】当时，由，得，

两式相除得，对时，也适合,

所以，

因为对任意，（且）恒成立，

所以，所以，

当时，由，得，则，

当时，由，得，则，

综上，,的最大值为2，则，

故选：B.

3．D

【分析】利用向量的线性运算即得.

【详解】因为，

所以．

因为是的中点，

所以，

则．

故选：D．

4．B

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，得到PB为球的直径，推导出要想该“鞠”的体积最小，只需AB最小，由得到，结合基本不等式，求出最小值，从而得到直径最小值，求出体积最小值.

【详解】因为，面ABC，⊥，

故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点，过作，交BP于点O，则O即为球心，PB为球的直径，

要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于，

故只需AB最小，其中，

故，

解得：，

由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，

故最小值为2，此时直径最小值为，

所以该“鞠”的体积最小值为.

故选：B

【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.

5．C

【分析】利用插空法计算可得，需注意个不需要排列；

【详解】解：依题意利用插空法，个有个位置可以放，故方法有种；

故选：C．

6．A

【解析】根据的相邻的两个对称中心，得到周期，从而得到，结合在区间内单调递减，得到，根据对称中心得到，再对得到的根据在区间内单调递减，进行判断，从而得到答案.

【详解】点和是函数图像的相邻的两个对称中心

且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，

函数的最小正周期，

即，解得.

又在区间内单调递减，

，

.

由，，

得，.

，

当时，；

当时，.

①当时，，

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，.

当时，函数的单调递减区间为，满足条件.

②当时，.

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，，

当，时，函数单调递减区间分别为，，

不符合题意，故舍去.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查根据根据正切型函数的性质求解析式，根据正切型函数的单调性和周期性求参数的值，属于中档题.

7．B

【分析】由题意，利用作差法，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.

【详解】①

令，则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②

令，则，

令，所以，

当时，，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以.

故.

故选：B.

8．A

【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答.

【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，

则，令，得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，

所以当每瓶液体材料的利润最大时，.

故选：A

9．BD

【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A错，

对于B，由于，所以，故B正确，

对于C, 若，则可以异面，也可以相交，也可以，故C错误，

对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D正确.

故选：BD

10．ACD

【分析】直接求导确定函数单调递增，即可判断A、B选项；求导由即可确定C选项；由导函数和原函数在上均为增函数，结合函数图像即可判断D选项.

【详解】易知定义域为，，故在区间上单调递增，A正确；

无最小值，B错误；

当时，，

易得，则，即，故为增函数，C正确；

当时，，令，易得为增函数，即在为增函数，

又在为增函数，故函数为“上凹”函数，

结合图像可知，D正确.

故选：ACD.

11．ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．

【详解】对A，，

，时，，取得最大值，

直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”；

对B，，，时，，，，

此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；

对C，，，

时，，，

过点的切线方程是，即，

因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

对D，，，令，

则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，

也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．

故选：ABC．

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．

12．ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

13．

【分析】将看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.

【详解】的展开式的通项公式是，令，则，故或或，

所以的展开式中常数项为：，

故答案为：.

14．

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，

即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，

即可得到方程，解得即可．

【详解】双曲线的渐近线为：

，即，

不妨取，圆，

即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离：

，

解得或．

故答案为：．

15．0

【分析】由，两式相减得函数周期为12，即可得.

分别令条件等式中，结合奇函数的性质即可得.

【详解】奇函数对任意都有 ①，则 ②，

①-②得，故函数的周期为12，则.

由，又由为奇函数得，故，

由，，故.

故答案为：0

16．

【分析】先以所在直线为轴，以的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到，，设，求出点的轨迹，得到，再由点的轨迹方程，求出，即可得出结果.

【详解】以所在直线为轴，以的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，，设，

因为，所以，

整理得：，

所以，

因为可化为，

所以，解得，

因此.

即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求圆上的点到两定点距离平方和的最值问题，熟记求轨迹方程的方法即可，属于常考题型.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）等式两边同除以，用等差数列的定义证明；

（2）将条件转化为对恒成立，求的最大值即可.

【详解】（1）证明：因为，

等式两边同除以，得，即，

所以数列是首项为，公差为1的等差数列.

（2）由（1）得，因此.

由对恒成立，得对均成立.

因为，不等式两边同除以，得，

即对恒成立，

当时，取最大值，所以，

所以实数m的取值范围为.

18．(1)

(2)．

【分析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得；

（2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得．

【详解】（1）由已知，

所以；

（2）设，则，，，

由正弦定理得，

，，

，

，

是锐角，，故解得，

由正弦定理，所以．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）证明：连接，

因为分别是棱的中点，所以,

平面,平面,所以平面，

因为分别是棱，的中点，所以,.

所以四边形是平行四边形，则,.

平面,平面,所以平面，

因为平面，且，所以平面平面，

因为平面，所以平面.

（2）取的中点O，连接，，

因为是等边三角形，故,

而平面,故平面,平面,

则，

即，，两两垂直，

则以O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

设，由知，，

则，,,，

从而,

设平面的法向量为，

则,令，得,

设直线与平面所成的角为，

则.

20．（1）天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能是8人.

【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.

（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；

（3）由题意知潜伏期超过6天的人数，则，应用不等法求最大概率时的k值即可.

【详解】（1）天.

（2）由题设知：的频率为，的频率为，故200人中潜伏期在上有120人，在上有80人.

列联表如下：

∴，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.

（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率，

设潜伏期超过6天的人数为，则，

∴且，，

由题意，，即，化简得，解得，

∴，即潜伏期超过6天最有可能是8人.

21．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）分别由①②③条件列出，关系式，化简即可得轨迹方程；

（2）设DE：，根据直线RD，QE交点的纵坐标为，求出的关系式即可求解.

【详解】解：（1）若选①：设，根据题意，，整理得，

所以所求的轨迹方程为．

若选②：设，直线与圆相切于点，则，

由椭圆定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

所以，，故，，，

所以所求轨迹方程为．

若选③：设，，，则（*）．

因为，所以，整理得，代入（*）得，

所以所求轨迹方程为．

（2）证明：设与轴的两个交点坐标为，，

由题意，直线DE斜率存在，设DE： ，，联立，

消去整理得，

，，

因为直线HR，HQ与轨迹W的另一个交点分别为点D，E，且H为直线上任一点，

所以直线RD，QE交点的纵坐标为，

直线RD：，直线QE：，

联立RD，QE得

，

，即，恒过，故直线DE恒过定点.

22．(1)

(2)

【分析】（1）求出时的解析式并求出，利用导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点坐标，然后利用点斜式即可求出切线方程；

（2）构造函数，并求，结合题意至少可得，先证明在上单调递增，再证明时，成立即可．

【详解】（1）当时，，则．

所以，，

故所求切线方程为，即．

（2）设，

则．

因为，所以至少满足，即．

设．

因为，，所以在上单调递增，

所以．

设，

则．

因为，所以，，

则在上恒成立，即在上单调递增，

所以，即对任意，都有．

故a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：破解此类题的关键：①是定义域优先，求解有关函数的单调性时，需注意定义域优先；②是活用导数，对函数求导，利用导数的符号判断函数的单调性；③是会转化，会把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，通过构造函数，借用导数，判断函数的单调性，求其最值，即可得参数的取值范围，必要时可先给出所求参数的取值范围，再证明参数取最值时成立即可．