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11平行线（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）
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这是一份11平行线（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用），共31页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
11平行线（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）
一、解答题
1．（2022春·北京通州·七年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．
(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；
(2)当时，过点G作EG的垂线．
①请在图2中补全图形；
②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．
2．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．
3．（2021春·北京·七年级期末）如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当射线经过点时，直接写出此时的值；
(2)当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
(3)当EM//FN时，求的值．
4．（2020春·北京海淀·七年级统考期末）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
5．（2020春·北京东城·七年级统考期末）阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EFAB，
则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，
∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
6．（2017春·北京·七年级统考期末）问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．
问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
7．（2021春·北京·七年级期末）如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，BF⊥BD，垂足为B，EG平分∠BED，∠CDE=50°，∠F=25°．
⑴求证：EG∥BF；⑵求∠BDC的度数．
8．（2018春·北京丰台·七年级统考期末）阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，ABCD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D
悦悦是这样做的：
过点E作EFAB．则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
9．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，已知，E、F分别在上，点G在、CD之间，连接．
(1)当时，平分平分；
①如图1，当时，则______°；
②如图2，在的下方有一点Q，若恰好平分恰好平分，求的度数；
(2)在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，直接写出与的关系．
10．（2022春·北京·七年级校考期中）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
11．（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
12．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
(1)填空： （填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．
参考答案：
1．(1)，解答过程见解析
(2)①补全图形见解析；②或或或
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解；
（2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可；
②根据①中四种情形分别求解即可．
(1)
解：∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，
即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，
又，，，
∴
(2)
解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，
∵，∠FEG=45°，
∴∠EGC=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
∵，∠FEG=45°，
∴，
∵，
∴∠AEG=∠EGD=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键．
2．(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；
(2)α+β=105°或α-β=15°
【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；
②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；
（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：①如图1：标出∠3和∠4
由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°
∴∠1+∠2=60°
∴∠2=60°-20°=40°
故答案为：40；
②∠1+∠2=60°，证明如下：
证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4
由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°
∴∠1+∠2=60°．
（2）解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为
当射线OC在∠AOB的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2
由格线平行可得∠2=，∠1+∠2=
∵∠AOB=60°，∠COB=45°
∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+=
∴=15°+
即
当射线OC在∠AOB的外部，如图：
∵∠COB=45°，∠AOB=60°
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105°
由（1）中②知，∠AOC=α+β
∴α+β=105°
综上所述：α+β=105°或α-β=15°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
3．(1)的值为30
(2)
(3)
【分析】（1）∠CFE的度数除以射线FN旋转的速度即可求得t的值；
（2）过点作直线，则由已知可得，由平行线的性质可得∠KPF，再由垂直关系即可求得∠KPE；
（3）当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，由平行线的性质建立方程，即可求得t的值．
（1）
的速度为每秒，，
当射线经过点时，所用的时间为：；
（2）
过点作直线，如图所示：
，
，
，，
，
，
，
；
（3）
与的速度不相等，
当时，与不平行；
当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：
，
，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
解得：．
本题是与平行线有关的综合问题，它考查了平行线的性质、垂直的性质、角的和差运算，运用了方程思想．
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（1）65°；（2）
【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣ +．
答：∠BED的度数为180°﹣ +．
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
6．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】（1）∠CPD=，理由如下：
如图3，过点P作PEAD交CD于点E，
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图4，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠EPD，=∠CPE
∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图5，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．(1) 见详解;(2)115°．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BED=∠CDE=50°，由角平分线的定义得到∠DEQ=25°，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE=50°，
∴∠BED=∠CDE=50°，
∵EG平分∠DEB，
∴∠DEQ=25°，
∵∠F=25°，
∴BF∥EG，
∵FB⊥BD，
∴EG⊥BD；
（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，
∵∠FBD=90°，
∴∠EBD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=115°．
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.
【分析】（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
（3）证明：如图3，过点G1作G1HAB，
∵AB∥CD，∴G1HCD，
由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
9．(1)①45；②
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点作，则设，，，根据平行线的性质求得，进而根据即可求解．
【详解】（1）①如图，分别过点作，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
平分平分；
，
，
故答案为：，
②如图，过点作，
，
恰好平分恰好平分，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
；
（2）如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，
则，
设，
如图，过点作，则
，
，
由（1）可知
即
本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)∠DGF=180°-α，理由见解析
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．
(1)
解：①图形如图所示．
②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-α，理由如下：
如图，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=∠CDN，∠GFQ=∠CFQ，
∴∠DGF=（∠CDN+∠CFQ）=（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=（360°-∠DCF）=180°-α．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
11．(1)60
(2)秒或秒
(3)或
【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
【详解】（1）设，则，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：60；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，
，
．
，
，
．
，
解得 ；
当时，如图，
，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得 ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为秒，
当时，
过点作，
，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则，
解得：；
如图中，当时，
同可知．
因为此时，
，
解得：．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
12．(1)
(2)①；②的度数为 或
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：
（2）①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为 或．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
11平行线（解答题-压轴题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）
一、解答题
1．（2022春·北京通州·七年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．
(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；
(2)当时，过点G作EG的垂线．
①请在图2中补全图形；
②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．
2．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．
3．（2021春·北京·七年级期末）如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当射线经过点时，直接写出此时的值；
(2)当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
(3)当EM//FN时，求的值．
4．（2020春·北京海淀·七年级统考期末）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
5．（2020春·北京东城·七年级统考期末）阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EFAB，
则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，
∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
6．（2017春·北京·七年级统考期末）问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．
问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
7．（2021春·北京·七年级期末）如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，BF⊥BD，垂足为B，EG平分∠BED，∠CDE=50°，∠F=25°．
⑴求证：EG∥BF；⑵求∠BDC的度数．
8．（2018春·北京丰台·七年级统考期末）阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，ABCD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D
悦悦是这样做的：
过点E作EFAB．则有∠BEF＝∠B．
∵ABCD，∴EFCD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
9．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，已知，E、F分别在上，点G在、CD之间，连接．
(1)当时，平分平分；
①如图1，当时，则______°；
②如图2，在的下方有一点Q，若恰好平分恰好平分，求的度数；
(2)在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，直接写出与的关系．
10．（2022春·北京·七年级校考期中）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
11．（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
12．（2022春·北京·七年级校考期中）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
(1)填空： （填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．
参考答案：
1．(1)，解答过程见解析
(2)①补全图形见解析；②或或或
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解；
（2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可；
②根据①中四种情形分别求解即可．
(1)
解：∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，
即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，
又，，，
∴
(2)
解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，
∵，∠FEG=45°，
∴∠EGC=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
∵，∠FEG=45°，
∴，
∵，
∴∠AEG=∠EGD=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键．
2．(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；
(2)α+β=105°或α-β=15°
【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；
②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；
（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：①如图1：标出∠3和∠4
由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°
∴∠1+∠2=60°
∴∠2=60°-20°=40°
故答案为：40；
②∠1+∠2=60°，证明如下：
证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4
由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°
∴∠1+∠2=60°．
（2）解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为
当射线OC在∠AOB的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2
由格线平行可得∠2=，∠1+∠2=
∵∠AOB=60°，∠COB=45°
∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+=
∴=15°+
即
当射线OC在∠AOB的外部，如图：
∵∠COB=45°，∠AOB=60°
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105°
由（1）中②知，∠AOC=α+β
∴α+β=105°
综上所述：α+β=105°或α-β=15°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
3．(1)的值为30
(2)
(3)
【分析】（1）∠CFE的度数除以射线FN旋转的速度即可求得t的值；
（2）过点作直线，则由已知可得，由平行线的性质可得∠KPF，再由垂直关系即可求得∠KPE；
（3）当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，由平行线的性质建立方程，即可求得t的值．
（1）
的速度为每秒，，
当射线经过点时，所用的时间为：；
（2）
过点作直线，如图所示：
，
，
，，
，
，
，
；
（3）
与的速度不相等，
当时，与不平行；
当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：
，
，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
解得：．
本题是与平行线有关的综合问题，它考查了平行线的性质、垂直的性质、角的和差运算，运用了方程思想．
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（1）65°；（2）
【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣ +．
答：∠BED的度数为180°﹣ +．
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
6．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】（1）∠CPD=，理由如下：
如图3，过点P作PEAD交CD于点E，
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图4，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠EPD，=∠CPE
∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图5，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．(1) 见详解;(2)115°．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BED=∠CDE=50°，由角平分线的定义得到∠DEQ=25°，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE=50°，
∴∠BED=∠CDE=50°，
∵EG平分∠DEB，
∴∠DEQ=25°，
∵∠F=25°，
∴BF∥EG，
∵FB⊥BD，
∴EG⊥BD；
（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，
∵∠FBD=90°，
∴∠EBD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=115°．
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.
【分析】（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
（3）证明：如图3，过点G1作G1HAB，
∵AB∥CD，∴G1HCD，
由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
9．(1)①45；②
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点作，则设，，，根据平行线的性质求得，进而根据即可求解．
【详解】（1）①如图，分别过点作，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
平分平分；
，
，
故答案为：，
②如图，过点作，
，
恰好平分恰好平分，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
；
（2）如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，
则，
设，
如图，过点作，则
，
，
由（1）可知
即
本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)∠DGF=180°-α，理由见解析
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．
(1)
解：①图形如图所示．
②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-α，理由如下：
如图，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=∠CDN，∠GFQ=∠CFQ，
∴∠DGF=（∠CDN+∠CFQ）=（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=（360°-∠DCF）=180°-α．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
11．(1)60
(2)秒或秒
(3)或
【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
【详解】（1）设，则，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：60；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，
，
．
，
，
．
，
解得 ；
当时，如图，
，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得 ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为秒，
当时，
过点作，
，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则，
解得：；
如图中，当时，
同可知．
因为此时，
，
解得：．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
12．(1)
(2)①；②的度数为 或
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：
（2）①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为 或．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
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