11平行线（解答题-提升题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）

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11平行线（解答题-提升题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（北京专用）

一、解答题
1．（2022春·北京昌平·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分别交于点、，．

(1)请直接写出直线与的位置关系______；
(2)如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧，连接，，探究，，之间的数量关系．

小明经过分析证明的过程如下：过点作//．∴______（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴_______（等量代换）．
请你补全上述的证明过程．
(3)小明进一步探究，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点，如图3．

①若，则_______．
②探究与的数量关系，小明思路如下：设，进一步可知_______（用含的式子表示）．设．用等式表示与的数量关系______．
2．（2022春·北京东城·七年级统考期末）下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点在直线上，点在直线外，且．
求作：直线，使得．
作法：如图，

①在线段的延长线上任取一点；
②以为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
③将射线反向延长．
直线就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
(1)补全图形，并完成证明过程；
证明：∵，，
∴．
∴（____________）（填推理的依据）．
(2)在（1）的条件下，过点作的垂线，交直线于点．求的度数．
3．（2022春·北京门头沟·七年级统考期末）已知：如图，ABCD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．（思路提示：通过构建平行线，建立角之间的关系）

4．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）完成下面的证明：
已知：如图，．

求证：．
证明：∵（已知），
（ ），
∴（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
∴（ ）．
又∵ °（邻补角定义），
∴（等量代换）．
5．（2022春·北京西城·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠BCD＝∠A．点E，F分别在BC，AC边上，，，DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE．

(1)求证：；
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，，∠BCD＝∠A，
∴∠ADF＝∠______．（理由：______）
∵∠G＝∠CDE，∴∠______＝∠______．（理由：______）
∴．（理由：______）
(2)图中与∠DCG相等的角是______．
6．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）阅读下列材料：
如图1，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点作，由，可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得．

请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图2，若，，则的度数为______；

(2)如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；

(3)如图4，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．

7．（2022春·北京东城·七年级统考期末）如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．

8．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．

(1)①依题意补全图形；
②若∠DPO=63°，求∠EOF的度数；
(2)直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．
9．（2022春·北京房山·七年级统考期末）填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，．

求证：．
证明：∵（已知），
∴（______）．
∵（已知），
∴（______）．
∴____________（______）．
∴（______）．
10．（2022春·北京大兴·七年级统考期末）如图，已知，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．

(1)猜想，，的数量关系，并证明；
(2)作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
11．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）补全解题过程．
已知：如图，于点，于点，．
求证：．
证明：∵，，
∴．
∴（______）（填推理依据）．
∴（______）（填推理依据）．
又∵，
∴．
∴（______）（填推理依据）．

12．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）如图，已知，于点，．

(1)求证：；
(2)连接，若，且，求的度数．
13．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：

14．（2021春·北京房山·七年级统考期末）已知直线，点是直线上一个定点，点在直线上运动．点为平面上一点，且满足设．

(1)如图，当时，______．
(2)过点作直线平分，直线交直线于点．
①如图，当时，求的度数；
②当时，直接写出的值．
15．（2021春·北京·七年级期末）如图，点，在直线上，，EF//AB．

（1）求证：CE//DF；
（2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，先补全图形，再求的度数．
16．（2021春·北京·七年级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．

(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．

参考答案：
1．(1)
(2)；
(3)①135°，②，

【分析】（1）根据已知条件可得，根据同位角相等两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质与判定填写证明过程，进而可得；
（3）①②方法一致，过点作，同理可得，由（2）可得，进而可得，根据分别为和的角平分线，得出，即，即可求解．
(1)
，
，
；
(2)
过点作//．∴（两直线平行，内错角相等）．
∵//（已知），
∴//（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴（等量代换）．
故答案为：；；
(3)
①如图，过点作，

同理可得，
，
，
分别为和的角平分线，
，
，
②设， ，
，
设，
分别为和的角平分线，
，
．
故答案为：，．
本题考查了平行线的性质与判定求角度，探究角的数量关系，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
2．(1)图见详解；同位角相等，两直线平行
(2)

【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得到答案；
（2）根据平角为求出，再根据两直线平行，同位角相等得出．
(1)
证明：如下图所示

∵，，
∴,
∴（_同位角相等，两直线平行_）;
(2)
如下图所示，作交DC于点F，

∵,
∴，
∵，
∵,
∵，
∴，
∴．
本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．
3．120°
【分析】过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；
【详解】解：过点F作MN∥CD

∵MN∥CD，∠1=30°
∴∠2=∠1=30°（两直线平行，同位角相等）
∵MN∥CD，AB∥CD
∴AB∥MN（平行于同一直线的两条直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB，
∴∠4=90°
∴∠3=∠4=90°
∴
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．
4．见解析
【分析】根据题意及对顶角相等推出∠2=∠AEF，进而得到AB∥CD，根据平行线的性质及邻补角的定义求解即可．
【详解】解：证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠AEF（对顶角相等），
∴∠2=∠AEF （等量代换），
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠GHC （两直线平行，内错角相等），
又∵∠GHC+∠4=180°（邻补角定义），
∴∠3+∠4=180°（等量代换）．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
5．(1)CDE；等角的余角相等；ADF；G；等量代换；内错角相等，两直线平行
(2)∠BDC和∠BCA

【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠ADF=∠CDE，进而推出∠ADF=∠G，即可判定CG∥AB；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
(1)
解：证明：∵∠A+∠ADF=90°，∠BCD+∠CDE=90°，∠BCD=∠A，
∴∠ADF=∠CDE（理由：等角的余角相等），
∵∠G=∠CDE，
∴∠ADF=∠G（理由：等量代换），
∴CG∥AB（理由：内错角相等，两直线平行），
故答案为：CDE；等角的余角相等；ADF；G；等量代换；内错角相等，两直线平行；
(2)
解：∵CG∥AB，
∴∠ACG=∠A，∠BDC=∠DCG，
∵∠BCD=∠A，
∴∠ACG=∠BCD，
∴∠ACG+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
即∠DCG=∠BCA，
∴图中与∠DCG相等的角是∠BDC和∠BCA，
故答案为：∠BDC和∠BCA．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）如图，过点作，证明，再证明，求解 从而可得答案；
（2）由（1）同理可得： 再证明 从而可得答案；
（3）由（1）同理可得： 再证明 从而可得结论．
(1)
解：如图，过点作，


，，
，
，
．
，，


(2)
由（1）同理可得：
与的平分线交于点，


(3)
由（1）同理可得：

与的平分线交于点，



本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7．；理由见解析
【分析】先根据补角的定义求出的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出，是解题的关键．
8．(1)①见解析；②∠EOF=27°
(2)∠PGM-∠EOF=90°

【分析】（1）①根据题意画出图形；②根据平行线的性质和垂线的定义解答即可；
（2）过点G作GN∥AB，交OC于点N，根据平行线的性质和垂线的定义可得∠PGM-∠EOF=90°．
【详解】（1）解：①如图：

②∵OF∥PD，
∴∠1=∠2，
∵∠2=63°，
∴∠1=63°．
∵OC⊥AB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EOF=27°；
（2）如图，过点G作GN∥AB，交OC于点N，

∵GN∥AB，
∴∠4=∠5，
∵OF∥PD，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵GM⊥AB，GN∥AB，
∴GM⊥GN，
∴∠MGN=90°，
∴∠PGM=∠5+90°，
∴∠PGM=∠3+90°，
∴∠PGM-∠3=90°，
即∠PGM-∠EOF=90°．
本题考查了平行线的性质、垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和垂线的定义．
9．两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】根据平行线的性质与判定，即可解答
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握和运用平行线的性质与判定是解决本题的关键．
10．(1)∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由见解析
(2)①见解析；②

【分析】（1）过点E作EF//AB，由AB//CD可得EF//CD，根据平行线的性质两直线平行、内错角相等，最后由∠BED=∠BEF+∠DEF即可解答；
（2）①分别作∠ABE、∠CDE的角平分线BF、DF交于点F即可；②由角平分线的性质、平分线的性质可得∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），进而得到∠ABE+∠CDE=2∠BFD，最后根据四边形的内角和即可解答．
【详解】（1）解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由如下：
过点E作．
∴∠B＋∠BEG＝180°．

∵AB//CD，
∴EG//CD．
∴∠DEG＋∠D＝180°．
∴∠B＋∠BEG＋∠DEG＋∠D＝180°＋180°．即∠B＋∠BED＋∠D＝360°．
（2）解：①

②，理由如下：
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE =2∠EBF，∠CDE =2∠EDF，
由（1）知，∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，
∴2∠EBF＋∠BED＋2∠EDF＝360°，
∴∠BBF+∠EDF=180°-∠BED．
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BED+∠BFD+180°-∠BED =360°，
∴．
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、四边形的内角和等知识点，灵活相关性质成为解答本题的关键．
11．；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【分析】先证明，可得，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵，
∴．
∴（内错角相等，两直线平行）．
本题考查的是平行线的性质与判定，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法以及简单的逻辑思维推理”是解本题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，连接，

设，
，
，
，
由（1）已得：，
，
，
解得，
即，
由（1）已证：，
．
本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
13．证明见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论.
【详解】∵，
∴，
∴.
∵CE//DF，
∴.
∴.
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
14．(1)
(2)①；②

【分析】（1）延长与相交于点，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角定理可得，代入计算即可得出答案；
（2）①延长与相交于点，如图，根据角平分线的性质可得出的度数，再根据三角形外角定理可得，即可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出答案；
②根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形外角和，即可得出答案．
【详解】（1）解： ；
延长与相交于点，如图，

，
，
，
，
．
（2）解：①延长与相交于点，如图，

，平分，
，
，
，
，
；
②．如图，
，
，
，平分，
，
，
．
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行计算是解决本题的关键，在平行线中遇到拐点问题，经常过拐点作平行线或延长截线来解题．
15．（1）证明见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）结合题意，根据同位角相等，两直线平行的性质分析，即可完成证明；
（2）根据平行线的性质，得，从而得，根据角平分线的性质，计算得，再结合平行线的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1），，
，
；
（2）补全图形，如图所示，

，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
16．(1)60
(2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．

【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解．
（1）
解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，
解得，x=60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为：60；
（2）
解：①过E作EF∥AB，如图1，

∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°-3∠B，
∴∠B+60°=360°-3∠B，
∴∠B=75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键．