2023年湖南省益阳市赫山区重点中学中考数学一模试卷-普通用卷

2023年湖南省益阳市赫山区重点中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式的解在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图主视图，左视图，俯视图完全相同的几何体是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了名同学，结果如下表：

则这名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  下列说法正确的是(    )

A. 是方程的一个解
B. 方程中，，可以取任何数值
C. 方程只有两个解，这两个解分别是和
D. 方程可能无解

6.  设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果其中正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列图形中，表示一次函数与正比例函数为常数，且的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点在直线上，与互余，平分，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，是斜边上的高，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  去年我国城镇固定资产投资为亿元，用科学记数法表示为______ ．

12.  如图，若，，则        ．

13.  一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形所在圆的周长为______．

14.  在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象一个交点的坐标是，则它们另一个交点的坐标是______ ．

15.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个绿球，这些小球除颜色外无其它差别从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______ ．

16.  在五边形中，，，，则的度数是______ ．

17.  计算的结果是______．

18.  某公司以、两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含克、克；乙产品每份含克、克，甲乙两种产品每份成本价分别为、两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为元，公司在核算成本的时候把、两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多元，如果每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  先化简，再求值：，其中

四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：；
化简：．

21.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，在斜边上，且，连结，若，求的度数．

22.  本小题分
钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答年新型冠状病毒防治试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：
乙小区：
整理数据：

分析数据：

应用数据：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
若甲小区共有人参与答卷，请估计甲小区成绩大于分的人数；
社区管理员看完统计数据，准备从成绩在到分之间的两个小区中随机抽取人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．

23.  本小题分
如图，一条宽为的河的两岸，互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥，测得公路的长为，公路，与河岸的夹角分别为，，公路，与河岸的夹角分别为，．
求两座桥，之间的距离精确到；
比较路径：和路径：的长短，则较短路径为______填序号，两路径相差______精确到参考数据：，，，
 

24.  本小题分
篮球运动是深受年轻人喜爱的运动今年，“重庆市篮球超级联赛”在忠县三峡港湾电竞馆举行，某商家抓住商机进货，花元购进了运动服，花元购进了运动鞋，已知一双运动鞋比一套运动服的进价多元，并且购进运动服的数量是运动鞋的倍．
求该商家购进运动服和运动鞋的数量分别是多少；
该商家分别以元和元的单价销售运动鞋和运动服，在运动鞋售出，运动服售出后，为了尽快回笼资金，商家决定对剩余的运动鞋每双打折销售，对剩余的运动服每套降价元销售，很快全部售完，若要保证该商家总利润为元，求的值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且与直线交于．
分别求出，，的坐标；
若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式；
在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

26.  本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
如图，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
如图，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．
求的长；
若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
即，
，
，
故选：．
先求出的取值范围，然后根据不等式的基本性质即可求出的范围．
本题考查的是求无理数的取值范围，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得不等式的解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体。
根据三视图的概念，易知主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左侧面和上面看，所得到的图形。
【解答】
解：正方体的三视图分别为正方形，正方形，正方形，正确；
圆柱的三视图分别为四边形、四边形、圆，错误；
圆锥的三视图分别为三角形、三角形、带圆心的圆，错误；
球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，正确；
故选：。  

4.【答案】 

【解析】解：小红随机调查了名同学，
根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为．
出现了次，它的次数最多，
众数为．
故选：．
由于小红随机调查了名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众数的定义可以确定众数在第二组．
此题考查中位数、众数的求法：
给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，将代入，可得，左边右边，所以是方程的解，故正确；
对于，方程有无数组解，但不一定所有的，都满足题意，例如，将代入可得，，所以不是方程的解，故错误；
对于，因为方程有两个未知数，所以该方程有无数组解，，是方程的两组解，但不是所有的解，故错误；
对于，方程有无数组解，故D错误．
故选：．
若是方程的解，则将方程的解代入方程后，方程的左右两边相等，据此可对进行判断；接下来，根据二元一次方程有无数组解和方程的解的知识对其余各项进行判断．
本题考查了二元一次方程的解，解答本题的关键是理解方程的解的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：
我们可见必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，也就是说必为一个偶数
只有选项是一个偶数．
故选：．
首先将因式分解，转化为我们可推知的值是三个连续自然数的乘积．对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而的值必定是一个偶数．分析各选项，找出正确答案．
本题考查因式分解．解决本题的关键是首先对进行因式分解，自然自然找到三个连续自然数的乘积规律．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数与的作用，本题属于基础题型．将、与进行比较，然后分情况讨论其图象的位置．
【解答】
解：若，，
则函数图象经过一、二、三象限，函数图象经过一、三象限，
若，，
则函数图象经经过一、三、四象限，函数图象经过二、四象限，
若，
则函数图象经经过二、三、四象限，函数图象经过一、三象限，
若，
则函数图象经经过一、二、四象限，函数图象经过二、四象限，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】
解：设第三边长为，由题意得：
，
则，故C符合题意．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
与互余，
．
故选：．
根据角平分线的定义可求，根据平角等于和余角的定义即可得到结论．
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
求出，求出，根据含度角的直角三角形性质求出，，求出即可．
本题主要考查的是含度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，．
 

11.【答案】 

【解析】解：亿
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由条件可判定，由和互余可求得，再由平行线的性质可得，则可求得．
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
 

13.【答案】 

【解析】解：由扇形的圆心角为，它所对的弧长为，
即，，
根据弧长公式，
即，
这个扇形所在圆的周长为．
故答案为：．
根据已知的扇形的圆心角为，它所对的弧长为，代入弧长公式即可求出半径，再计算周长即可．
本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线经过原点与双曲线相交于两点，
又由于双曲线与直线均关于原点对称．
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为，
则另一个交点的坐标为．
故答案为：．
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
 

15.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为，
摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
五边形的内角和为，，
．
故答案为：．
根据平行线的性质求得，根据，可得，根据，以及五边形的内角和为，即可求解．
本题考查了平行线的性质，垂线的定义，多边形的内角和，掌握以上知识是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据二次根式的性质以及任何非零数的零次幂等于计算即可．
本题主要考查了实数的运算．熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设每克种食材的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，餐厅每天实际成本为元，则每克种食材的成本价为元，
依题意，得：，
化简，得：．
，，
．
餐厅每天实际成本最多为元．
故答案为：．
设每克种食材的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，餐厅每天实际成本为元，则每克种食材的成本价为元，根据实际成本比核算时的成本多元，即可得出，利用餐厅每天实际成本每份甲产品的成本销售数量每份乙产品的成本销售数量，可得出，由每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，可得出，将其代入中可求出的取值范围，取其最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：


．



． 

【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算法则解决此题．
根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题．
本题主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、单项式乘多项式、平方差公式、整式的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：等腰直角三角形中，，
，，
在和中，，
≌，
，
，
，
． 

【解析】由等腰直角三角形的性质得出，，证明≌，得出，得出，由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：落在的数据有个，
，
甲小区的出现次数最多数据的是分，
众数是，
即：，
中位数是从小到大排列后处在第、位两个数的平均数，
乙小区的中位数为：，
即：；
故答案为；，，；
甲小区成绩大于分的人数占总人数的百分比为：，
甲小区成绩大于分的人数为：人；
到分之间甲小区有人，乙小区有人，
列表如下：

由表格可知共有种等可能的情况，其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区有情况，
抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为：．
通过分析甲小区落在的频数可得的值；由中位数与众数的概念可得、的值；
用总人数乘以样本中甲小区成绩大于分的人数占总人数的百分比即可得到答案；
先分析到分之间甲小区有人，乙小区有人，然后列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果．
本题考查了频数、中位数与众数等概念、用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验以及掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
两座桥，之间的距离约为；
，． 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算可求出的长，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意得：，根据三角形的外角可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再在中，利用勾股定理求出的长，最后分别计算出路径和路径的长，即可解答．
【解答】
见答案；
过点作，垂足为，

由题意得：，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
路径的长，
路径的长，
，
较短路径为：，两路径相差，
故答案为：，．  

24.【答案】解：设购买运动鞋的数量是双，则购运动服的数量是套，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
套，
答：购买运动鞋的数量是双，运动服的数量是套；
每双运动鞋的进价元，
每套运动服进价为元，
根据题意，得，
解得，
的值为． 

【解析】设购买运动鞋的数量是双，根据一双运动鞋比一套运动服的进价多元，列分式方程，求解即可；
根据要保证该商家总利润为元，列一元一次方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线，
令，，
，
令，，
，
联立方程组，
解得，
；
由 ，
，
当时，，
，
设直线的函数解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，
      满足条件的点的坐标是或或． 

【解析】见答案；
见答案；
存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
；
综上所述：满足条件的点的坐标是或或．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】解：四边形是正方形，
，
将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，
，，
，
，
四边形为“直等补”四边形；
过作于点，如图，
则，
四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
≌，
，
设，则，
，
，
解得，，或舍，
；

如图，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点．
则，，
，
，，
的周长的值最小，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
∽

，，
，
，
，，
，
，
周长的最小值为．
 

【解析】由旋转性质得，再证明，便可；
过点作于点，证明≌得，设，在中，则勾股定理列出的方程解答便可；
延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，求出便是的最小周长．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第题关键在证明全等三角形，第题关键确定、的位置．