2023年湖南省株洲市建宁重点中学中考数学三模试卷-普通用卷

2023年湖南省株洲市建宁重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  北京、株洲两个城市在年一月份的平均气温分别是、，则年一月份株洲市的平均气温比北京市的平均气温高(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，数轴上有，，，四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是(    )

A. 点与点 B. 点 与点 C. 点与点 D. 点与点

3.  若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置枚棋子，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，，是边上的中线，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  由方程组可得与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，平行四边形中，，，，与的平分线、交于点，连接，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，、、三点均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且设、两点的横坐标分别为、，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算：的值是______．

12.  分解因式：的结果是______．

13.  某公园划船项目收费标准如下：某班名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为小时，则租船的总费用最低为______ 元

14.  如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则______度．

15.  如图，矩形的顶点和对称中心在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为______．

16.  面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是分、分、分，若依次按照：：的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是______分．

17.  我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内正六边形的面积，则______．

18.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆弧；弧是以点为圆心，为半径的圆孤；弧是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，某翼装飞行员从离水平地面高的处出发，沿着俯角为的方向，直线滑行米到达点，然后打开降落伞以的俯角降落到地面上的点．求他飞行的水平距离结果精确到．

 

22.  本小题分
某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分、、、四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：
各类学生成绩人数比例统计表

注：等第、、、分别代表优秀、良好、合格、不合格
请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；
若该市九年级共有名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上含合格的人数．

23.  本小题分
已知矩形中，，，点是边上一点，，连接，沿翻折使点落在点处．

连接，若，求的值；
连接，若，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，点是的边上一点，以为半径的与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
求证：；
当，时，求的长．

25.  本小题分
已知点在反比例函数为常数，的图象上．

当，时，则 ______ ；
当点在第二象限时，将双曲线沿着轴翻折，翻折后的曲线与原曲线记为曲线，与过点的直线交于点，连接，过点作的垂线与直线交于点．
如图，当时，求值；
如图，若，作直线交曲线于点，分别交射线，射线于点、当时，试求出所有可能的值．

26.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
抛物线顶点为，直线交轴于点；
设点为线段上一点点不与、两点重合，过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
即年一月份株洲市的平均气温比北京市的平均气温高．
故选：．
根据题意列出算式，再根据有理数减法法则计算即可．
此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要弄清楚有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
故选：．
根据互为相反数的绝对值相等，可得答案．
本题考查了数轴，利用互为相反数的绝对值相等是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
实数的取值范围是．
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此判断即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．分式的值为正数的条件是分子、分母同号．分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，
一次项系数是，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式确定出一次项系数即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：
使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是：，
故选：．
根据图形设计出第四枚棋子的位置，进而可得答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，以及概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余求出，再根据两直线平行，同位角相等解答．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
是边上的中线，
的长度是，
故选：．
勾股定理求得斜边长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
把代入得：，
整理得：，
故选：．
方程组消元即可得到与的关系式．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，

四边形是平行四边形，
．
．
是角平分线，
．
．
．
同理．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
，，
，，，
，
，，
．
故选：．
作于，根据四边形是菱形，，，得到，，，从而得到，，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，
轴，，
，
、、三点均在二次函数的图象上，
，
为线段的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出．
本题考查了二次函数图象的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图象理清点坐标之间的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算可得．
本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：共有人，
当租两人船时，
艘，
每小时元，
租船费用为元；
当租四人船时，
余人，
要租艘四人船和艘两人船，
四人船每小时元，
租船费用为元；
当租六人船时，
艘，
每小时元，
租船费用为元；
当租八人船时，
余人，
要租艘八人船和艘两人船，
人船每小时元，
租船费用元，
当租艘四人船，艘人船，艘人船，元，
租船费用为元，而，
当租艘人船，费用最低是元，
故答案为：．
分五种情况，分别计算即可得出结论．
此题主要考查了有理数的混合运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用，由四边形是正方形，可得，，又由折叠的性质可得：，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
根据折叠的性质可得：，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于点，

四边形是矩形，
设点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
矩形的中心都在反比例函数上，
，
矩形中心的坐标为
，
，
．
，
点在上，
，
，
解得：
故答案为．
设点的坐标为则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数上，求出中心的横坐标为，进而可得出的长度，根据矩形的面积即可求得．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
考查加权平均数的意义及求法，掌握计算方法是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为，则其内接正六边形中，
是边长为的正三角形，
所以正六边形的面积为
．
故答案为：．
根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正边形的性质解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：观察，找规律：，，，，，，，，，
，，，．
，
的坐标为．
故答案为：．
根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点的坐标满足“，，，”，根据这一规律即可得出点的坐标．
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出“，，，”这一规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．
 

19.【答案】解：

 

【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

20.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

由题意可得：，，，，
，
，
解得：，
，
，
解得；，
，
，
，
解得：，
，
答：他飞行的水平距离为． 

【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出，的长是解题关键．
首先过点作于点，过点作于点，进而里锐角三角函数关系得出、的长，即可得出的长，求出即可．
 

22.【答案】解：农村人口，
农村等第的人数；
县镇人口，
县镇等第的人数；
城市人口，
城市等第的人数
故答案为：，，分

抽取的学生中，成绩不合格的人数共有，
所以成绩合格以上的人数为，
估计该市成绩合格以上的人数为．
答：估计该市成绩合格以上的人数约为人． 

【解析】根据扇形图可分别求出农村人口、县镇人口、城市人口，进而求出缺少的数据即可；
利用样本来估计总体即可．
本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题．主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．
 

23.【答案】解：如图，
，
翻折得到
，



的值是．

如图，过点作于点，交于点．



四边形是矩形

四边形是矩形
，
翻折得到
，，


∽
，设，则


，
解得：，
，，


，
即可把看作关于的二次函数，抛物线开口向上，最小值为，
，
，
，
解得：，
根据二次函数图象可知，． 

【解析】画出图形，由可得内错角和同位角相等，由翻折有对应角相等，等量代换后出现等腰三角形，即求出的值．
由于的形状大小是固定的，其翻折图形也固定，故可求点到的距离与的长度，根据是直角三角形即可利用勾股定理用含的式子表示的长度，此时可把看作是的二次函数，根据二次函数图象的性质和的范围，确定自变量的范围．
本题考查了平行线性质，轴对称性质，等腰三角形判定，矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，勾股定理，二次函数的应用．正确按题意画出图形并从中获得等量关系是解题关键，考查数形结合能力．
 

24.【答案】解：连接，，

，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
在，，，，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数的定义，切线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
连接，，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；
设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．
 

25.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，且，，
；
故答案为：．
如图，设直线与轴交于点，

点与点关于轴对称，
，，．
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，即，
，
整理得：，即，
点在第二象限，，，
；
，由得，
，，
直线解析式为：，双曲线在时解析式为：，
直线与双曲线在第一象限交点为，
直线交双曲线于点，交射线于点，交射线于点，
，，；
如图，当时，，，

，即，解得：舍去，；
如图，当时，，不合题意；

如图，当时，，，
，即，解得：或舍去；

如图，当时，，，
，即，解得：或 舍去，

综上所述，当时，的值为：，，．
将点坐标代入解析式可求；
设直线与轴交于点，由题意可证∽，可得，即可求解；
分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可．
本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求解析，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线对称轴为直线
，
，
由一元二次方程根与系数关系：
，，
，
，
则，
抛物线解析式为：；
由点坐标为，
当时，，
解得，，
点坐标为；
设点坐标为，
的面积，
整理的，
，
，
，
当时，；
存在，
由已知点坐标为，点坐标为，
直线解析式为：，
则点坐标为，
连、，则由勾股定理，

，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为，
代入，
，
存在点坐标为． 

【解析】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求面积时，合理设出未知数可以简化计算．
应用对称轴方程、根与系数关系求，
设出点坐标表示面积，求最大值；
利用勾股定理逆定理，证明，则轴，问题可解．