湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学（文）试题 Word版含答案

武昌区2020届高三年级元月调研考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 ，，则

     A．      B.           C．          D．

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于

     A．第一象限     B. 第二象限       C．第三象限       D．第四象限

3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则

     A．         B.             C．           D．

4．已知，，，则，，的大小关系为

     A．     B.         C．       D．  

5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，则

     A．          B.             C．2              D．4

6．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A．            B.              C．             D．

7．已知数列中，，，设，则数列的前项和为

     A．        B.          C．         D．

8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，则球O的表面积为

    A．           B.           C．           D．

9．已知双曲线的左焦点为，点为其右支上任意一点，点的坐标为，

则周长的最小值为

A．     B．      C．       D．  

10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：

①直线为函数的一条对称轴；

②点为函数的一个对称中心；

③函数的图象向右平移个单位后得到

函数的图象.

其中，正确说法的个数是

     A．0            B.1               C．2              D．3    

11．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点

A．      B.        C．      D．

12．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是

A．        B.          C．        D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的最大值为______.

14．若直线：被圆:截得的线段最短，则实数的值为______.

15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍，则所有可能的取值为______.

16．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将 沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列三个命题：

①线段的长是定值；

②存在某个位置，使；

③存在某个位置，使平面.

其中正确的命题有______.

(填写所有正确命题的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本题12分）

在锐角中，角、、的对边分别为、、，且.

（1）求；

（2）若，求的面积的最大值.

18．（本题12分）

如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19．（本题12分）

为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示：

（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；

（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数，并填写下面列联表：

（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？

    附：.

20．（本题12分）

已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.   

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

21．（本题12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.

    （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）

    （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；

（2）若，，且，求证：．

武昌区2020届高三年级元月调研考试

文科数学参考答案及评分细则

一、选择题：

二、填空题：

13.      14.        15. ，3，17       16.  ①③

三、解答题：

解：（1）由正弦定理，知，

即，，，

所以.      ………………………………………（4分）

（2）由余弦定理，知，即，

所以，当且仅当时取等号.

所以，所以.    …………………………………（12分）

18．（本题12分）

解：（1）因为，，所以.

因为平面，平面，

所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以.

易证，因为，

所以平面.    ……………（6分）

（2）取的中点，连结交于.

由（1）知平面，而，

所以平面.

连结，则为直线与平面所成的角.

在，求得.

又因为，所以.    ……………（12分）

19．（本题12分）

解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：

①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分；

②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；

③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分；

④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.

因此，男职工的成绩更好.         ……………………（4分）

（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）

（2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下：

    ……………（8分）

（ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关.    ……………（12分）

20．（本题12分）

解：（1）由及，得，.

所以，椭圆的方程为.    ……………（4分）

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得

.由，得.

设，，则，.

因为，所以，于是，直线的方程为.

即，，

将，，，代入，

得，所以，直线过定点.    ……………（12分）

另解：在中，令，得

.

所以，直线过定点.      ……………（12分）

21．（本题12分）

解：（1）的定义域为，且.

令，得或.

当时，，在单调递减，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；

当时，在单调递减；

当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. （5分）

（2）由（1）知，或.

因为，所以不合题意.

因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.

所以即

解得.

此时.

记，则.

因为，所以，所以在区间单调递减，

所以，解得.

所以，的取值范围为．  ……………（12分）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

解：（1）方程可化为.

方程可化为. ……………（5分）

（2）将代入，得.

设方程的两根分别为，，则. ……10分）

23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）   

解：（1）方法一：因为，

因为存在实数，使成立，

所以，解得. ……………（5分）

方法二：当时，符合题意.

当时，因为所以.

因为存在实数，使成立，所以.

当时，同理可得.

综上，实数的取值范围为.    ……………（5分）

（2）因为，

所以，

当且仅当或时取等号.     ……………（10分）