2022北京房山高一（上）期末数学（教师版）

2022北京房山高一（上）期末

数    学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．化简的结果是　　

A． B． C． D．

2．下列函数中，值域是的幂函数是　　

A． B． C． D．

3．某校高一共有10个班，编号分别为01，02，，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的概率为，高一（6）班被抽到的概率为，则　　

A．， B．， C．， D．，

4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

5．已知函数的反函数是，则的值为　　

A．1 B． C． D．

6．为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了《西游记》《红楼梦》《水浒传》和《三国演义》4部名著．甲同学准备从中任意选择2部进行阅读，那么《红楼梦》被选中的概率为　　

A． B． C． D．

7．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中上面折线是同比涨跌幅情况折线图，下面折线是环比涨跌幅情况折线图，（注年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论不正确的是　　

A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 

B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 

C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 

D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

8．设函数，若，则的取值范围是　　

A． B．，， 

C．，， D．

9．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是　　

A．20小时 B．24小时 C．36小时 D．48小时

10．已知函数，若在定义域内存在实数，使得，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，若是，上的“1阶局部奇函数”，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知事件与事件是互斥事件，若事件与事件同时发生的概率记为，则　　．

12．函数的定义域是 　　．

13．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：

若，分别表示甲、乙两名运动员的这次测试成绩的平均数，则，的大小关系是 　　；若，分别表示甲、乙两名运动员的这次测试成绩的标准差，则，的大小关系是 　　．

14．已知，，，则，，的大小关系为 　　．

15．试写出函数，使得同时满足以下条件：

①定义域为，；

②值域为，；

③在定义域内是单调增函数．

则函数的解析式可以是 　　（写出一个满足题目条件的解析式）．

三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。

16．（15分）已知幂函数的图象经过点．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．

17．（15分）在创建文明城市活动中，房山区某单位共有100名文明交通义务劝导志愿者（简称为志愿者），他们每周三和每周五的上午，下午上下班的高峰时段，在红绿灯路口义务执勤，劝导行人自觉遵守交通规则，该单位对他们自2021年9月至12月参加活动的次数统计如图所示．区创城办为了解市民文明出行情况，采用分层抽样的方法从该单位参加1次和3次的志愿者中抽取5人进行访谈．

（Ⅰ）求该单位志愿者参加活动的人均次数；

（Ⅱ）这5人中参加1次和3次活动的志愿者各占多少人？

（Ⅲ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名参加1次活动的志愿者的概率．

18．（15分）已知函数．

（Ⅰ）判断函数的单调性，并进行证明；

（Ⅱ）设，求函数的值域．

19．（15分）已知函数且，（1），（3）．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若，指出函数的奇偶性，并证明．

20．（15分）为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．

（Ⅰ）写出第年年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；

（Ⅱ）该企业从第几年开始年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？

（参考数据：，，，，

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．【分析】根指数幂的运算化简即可．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

2．【分析】由题意，利用幂函数、指数函数的单调性和值域，得出结论．

【解答】解：在上，函数的值域为，故满足条件；

由于函数的值域为，故不满足条件；

由于函数的值域为，，故不满足条件；

由于函数的值域为，故不满足条件；

故选：．

【点评】本题主要考查幂函数、指数函数的单调性和值域，属于基础题．

3．【分析】利用古典概型概率计算公式直接求解．

【解答】解：某校高一共有10个班，编号分别为01，02，，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，

设高一（5）班被抽到的概率为，高一（6）班被抽到的概率为，

则，．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．

【解答】解：．，则是偶函数，不满足条件．

．函数的定义域为，为非奇非偶函数，不满足条件．

．，则是奇函数，且在上是增函数，满足条件，

．函数的定义域为，，为非奇非偶函数，不满足条件．

故选：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．

5．【分析】先由反函数的定义求出函数的解析式，进而求出的值．

【解答】解：由题意可知，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了反函数的定义，考查了对数的运算性质，是基础题．

6．【分析】基本事件总数，《红楼梦》被选中包含的基本事件个数，由此能求出《红楼梦》被选中的概率．

【解答】解：某学校为学生推荐了《西游记》《红楼梦》《水浒传》和《三国演义》4部名著，

甲同学准备从中任意选择2部进行阅读，

基本事件总数，

《红楼梦》被选中包含的基本事件个数，

《红楼梦》被选中的概率为．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．【分析】根据同比涨跌幅情况折线图判断；根据环比涨跌幅情况折线图判断．

【解答】解：对于，上面的同比涨跌幅情况折线图中，所有数值均为正，即同比均上涨，故正确；

对于，下面的环比涨跌幅情况折线图中，数值有正有负，即消费价格环比有涨有跌，故正确；

对于，上面的同比涨跌幅情况折线图中，居民消费价格同比涨幅最大的是2018.09和2018.10两个月，

涨幅均为2.5，大于2019年3月全国居民消费价格同比涨幅，故错误；

对于，下面的环比涨跌幅情况折线图中，2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，

由1降到了，变化值1.4，是最大的，故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．【分析】由分段函数以及，运用指数函数和对数函数的单调性，即可解出不等式组，再求并集，即可得到结论．

【解答】解：由于函数，

则或，

即有或，

故解集为，，，

故选：．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查指数不等式和对数不等式的解法，注意运用函数的单调性，是中档题．

9．【分析】分别令，，代入已知关系式中，利用幂指数的运算性质化简即可求解．

【解答】解：由已知令，则，

令，则，即，则，

令，则，

所以该食品在的保鲜时间是48小时，

故选：．

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到幂指数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

10．【分析】根据题意，先分析函数的定义域，由“1阶局部奇函数”的定义可得在区间，上有解，结合对数函数的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，，，，

必有在区间，上恒成立，故，

若是，上的“1阶局部奇函数”，

则在区间，上有解，即在区间，上有解，

变形可得：，若其在区间，上有解，

必有，则有，

又由，则有，即的取值范围为，；

故选：．

【点评】本题考查函数与方程的关系，关键理解“1阶局部奇函数”的定义，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】互斥事件同时发生的概率为0．

【解答】解：事件与事件是互斥事件，

若事件与事件同时发生的概率记为，

则由互斥事件的定义得．

故答案为：0．

【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可，

【解答】解：要使函数有意义，则，得，

得，

即函数的定义域为，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式组是解决本题的关键，是基础题．

13．【分析】结合表中数据根据平均数、标准差计算方法计算即可．

【解答】解：，，；

，

，，

故答案为：；，

【点评】本题考查平均数及标准差计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．

14．【分析】利用指数的性质、运算法则、指数函数的单调性直接求解．

【解答】解：，

，

，，的大小关系为．

故答案为：．

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数的性质、运算法则、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】根据题意，由幂函数的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，可以为幂函数，

如；

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查函数的基本性质，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。

16．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求解．

（Ⅱ）由偶函数的性质可知原不等式可化为，再利用函数在上单调递增，即可求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）幂函数的图象经过点，

，，

．

（Ⅱ）函数为偶函数，在上单调递增，且满足，

不等式可化为，

，

两边平方得，

解得，

即实数的取值范围为．

【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了偶函数的性质，属于中档题．

17．【分析】（Ⅰ）根据平均数的计算公式直接求解．

（Ⅱ）利用分层抽样的方法直接求解．

（Ⅲ）设参加1次活动的2名志愿者分别为，，参加3次活动的3名志愿者分别为，，，再列举基本事件，结合古典概型求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）参加1次的志愿者有20人，2次的志愿者有50人，3次的志愿者30人，

该单位志愿者参加活动的人均次数为：

．

（Ⅱ）这5人中参加1次活动的志愿者有人，

3次活动的志愿者有人．

（Ⅲ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，

设参加1次活动的2名志愿者分别为，，参加3次活动的3名志愿者分别为，，，

从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，基本事件有10个，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

其中2人中恰有1名参加1次活动的志愿者包含的基本事件有6个，

人中恰有1名参加1次活动的志愿者的概率．

【点评】本题考查平均数、频数、概率的求法，考查平均数、分层抽样、条形统计图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义进行判断即可，

（Ⅱ）根据函数单调性与值域之间的关系进行求解．

【解答】证明：（Ⅰ），

设，

则，

，

，，则，，

则，则，

是减函数．

解：（Ⅱ），

当时，，则，则，

即，则的值域为，．

【点评】本题主要考查函数单调性和值域的求解和判断，根据指数函数单调性的定义是解决本题的关键，是基础题．

19．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得，求出、的值，即可得答案；

（Ⅱ）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）函数，

若（1），（3）．则有，

又由且，

解可得：，，

则，

（Ⅱ）根据题意，函数为奇函数，

证明：，

则，其定义域为，

则，

故函数为奇函数．

【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数解析式的计算，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）先求出第一年，第二年投入的资金数，然后根据规律即可求解；（Ⅱ）由已知可得由，然后解对数不等式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）第一年投入的资金数为万元，

第二年投入的资金数为，

则第年年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为：

万元，其定义域为；

（Ⅱ）由，可得，

即，

即该企业从第5年开始年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元．

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到对数不等式的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．