2021北京二中高一（上）期末数学（教师版）

2021北京二中高一（上）期末

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一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合，，，则　　

A． B． C． D．，

2．下列函数中既是奇函数，又在区间，上是增函数的是　　

A． B． C． D．

3．设，，，则　　

A． B． C． D．

4．函数的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

5．已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

6．已知关于的方程在区间内有解，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．

7．已知，且是第二象限角，那么的终边在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．已知是三角形的内角，且，则的值为　　

A． B． C． D．

9．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上单调递增”的一个函数可以是　　

A． B． 

C． D．

10．设，则对任意实数，，是（a）（b）的　　

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若，且，，，则的最大值为　　

A． B． C． D．

12．已知函数，，若对任意，，总存在，使，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，，

二、填空题

13．函数的最小正周期是 　　，定义域是 　　．

14．计算　　．

15．已知，则　　．

16．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为　　．

17．已知，且，则的值是 　　．

18．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 　　．

19．若函数在区间内既没有取到最大值1，也没有取到最小值，则的取值范围为　　

三、解答题（共5小题，共67分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

20．（13分）（1）已知角的终边经过点．求的值；

（2）已知，且，求的值．

21．（13分）设函数．

（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值．

22．（13分）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

23．（14分）已知二次函数过点，且当时，函数取得最小值．

（1）求函数的解析式；

（2）若，，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．

24．（14分）对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合△．已知，4，6，8，，，2，4，8，．

（Ⅰ）写出（1）和（1）的值，并用列举法写出集合△；

（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求△△的最小值；

（Ⅲ）有多少个集合对，满足，，且△△△△？

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）

1．【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：集合，，，

．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．

【解答】解：由于函数不是奇函数，故排除；

由于函数既是奇函数，又在区间，上是增函数，故满足题意；

由于函数是奇函数，又在区间，上是减函数，故排除；

由于函数是奇函数，但不满足在区间，上是增函数，例如当时，函数无意义，故排除，

故选：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．

3．【分析】利用指数函数，对数函数的单调性结合中间值0，1，比较即可得出．

【解答】解：由题意可得，

，

而，

所以有，

故选：．

【点评】本题考查对数函数，指数函数的单调性，是基础题．

4．【分析】设，则函数化成，其中，．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域．

【解答】解：设，则，

，

，

当时，；当时，；

因此，函数的值域是，．

故选：．

【点评】本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域，着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．

5．【分析】由可求，由可求得，由，可求得，从而可求得点的坐标．

【解答】解：设其周期为，由图象可知，，

，

，，

又的图象经过，

，解得；

点的坐标为．

故选：．

【点评】本题考查由的部分图象确定其解析式，解决的关键是根据图象提供的信息确定，，考查学生读图的能力与解决问题的能力，属于中档题．

6．【分析】把方程解的问题转化为函数图像交点问题，结合图像即可得解．

【解答】解：根据题意可得，

故转化为函数和的图像的交点，

如图所示，

易知的图像的两个交点为和，

当过点时，当过点时，

所以的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．

7．【分析】由已知可解得：和，从而求得的值小于0，故的终边所在象限可能为3，4象限，的值小于0，故的终边所在象限可能为2，4象限，进而求解结论．

【解答】解：（法一），且是第二象限角，

可解得：，

，

，

，故的终边所在象限可能为3，4象限；

，故的终边所在象限可能为2，4象限；

综上可知，故的终边所在象限为第4象限；

（法二），且是第二象限角，

可解得：，

，，

，，

的终边所在象限为第4象限；

故选：．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角公式的应用，属于基础题．

8．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，结合是三角形的内角，可得，，利用同角三角函数基本关系式，平方差公式可求的值．

【解答】解：因为，两边平方，可得，解得，

又因为是三角形的内角，

所以，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．

9．【分析】由题意根据三角函数的周期性、单调性以及图象的对称性，得出结论．

【解答】解：由于，当时，，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故排除．

由于函数的最小正周期为；

当时，，为最大值，故的图象关于直线对称；

在区间上，，，故函数单调递增，故满足题意．

在区间上，，，故函数单调递减，故不满足题意．

由于函数的最小正周期是，故排除，

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的周期性、单调性以及图象的对称性，属于中档题．

10．【分析】由，知是奇函数．所以在上是增函数，可得（a）（b）成立；若（a）（b）则（a）（b）由函数是增函数知成立是（a）（b）的充要条件．

【解答】解：，的定义域为

．

是奇函数

在上是增函数

在上是增函数

可得

（a）（b）

（a）（b）成立

若（a）（b）则（a）（b）由函数是增函数知

成立

是（a）（b）的充要条件．

【点评】本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．

11．【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的最大值，判断当，时，的取得最大值，从而求得的最大值．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．

若，则和都取得最大值3，故和相差一个周期的整数倍．

故当，时，的取得最大值．

，，的取得最大值为，

故选：．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于基础题．

12．【分析】求出两个函数的值域，结合对任意，，总存在，使，等价为的值域是值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．

【解答】解：对任意，，则，即函数的值域为，，

若对任意，，总存在，使，

设函数的值域为，

则满足，，即可，

当时，函数为减函数，则此时，

当时，，，

①当时，即时，满足条件，，

②当时，此时，要使，成立，

则此时当时，，，

此时满足，即，得，

综上或，

故选：．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的 值域，转化为的值域是值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题

13．【分析】直接利用正切函数的周期以及定义域求解即可．

【解答】解：函数的最小正周期是：，

因为，解得，，

所以函数的定义域：，．

故答案为：；，．

【点评】本题考查三角函数的周期以及正切函数的定义域的求法，是基础题．

14．【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：原式，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

15．【分析】利用诱导公式化简已知可求的值，进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．

【解答】解：因为，

所以，可得，

所以．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

16．【分析】根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解．

【解答】解：函数的图象恒过定点，

可得，

点在一次函数的图象上，

，，，

，

，

（当且仅当，时等号成立），

故答案为4．

【点评】此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型

17．【分析】由已知及同角三角函数的基本关系可求出，，再利用两角和的余弦公式及诱导公式求解即可．

【解答】解：由，且，

得，

由，，

得，

故

，

即，

所以．

故答案为：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式及诱导公式在求三角函数值中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

18．【分析】由已知结合对数函数与二次函数的单调性及对数函数真数大于0的限制建立关于的不等式，可求．

【解答】解：令，

由题意得，，

解得，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，要注意界点处真数大于0，属于基础题．

19．【分析】利用函数的周期与余弦函数的单调性，列出不等式组，求解即可．

【解答】解：函数在区间内既没有取到最大值1，也没有取到最小值，

可得：或，

解得，，．

故答案为：，，．

【点评】本题考查三角函数的最值以及函数的周期的综合应用，是难题．

三、解答题（共5小题，共67分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

20．【分析】（1）由题意和三角函数的定义求出，和的值，即可求解；

（2）直接利用同角三角函数的值的应用和和角公式的应用求出结果．

【解答】解：（1）由题意知，，，则，

所以，，，

所以．

（2）已知，且，

所以，，

所以，

由于，

所以，

故．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

21．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据周期公式和对称轴公式进行计算即可．

（2）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．

【解答】解：（1），

则最小正周期，

由，，

得，，即，

即函数的对称轴方程为，．

（2）当时，，则，

则当时，即时，函数取得最大值，最大值，

当或，即或时，函数取得最小值，最小值．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的图像和性质是解决本题的关键，是中档题．

22．【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得集合．

（2）对的取值进行分类讨论，求出集合，根据可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可知，解得，

集合．

（2）由，可得，

①当时，则有，解得，即，

此时，符合题意，

②当时，，

不等式的解集为，即，

，

，解得，

③当时，，

不等式的解集为或，即或，

此时，符合题意，

④当时，则有，解得，即，

此时，符合题意，

⑤当时，，

不等式的解集为或，即或，

此时，符合题意，

综上所述，实数的取值范围是．

【点评】本题主要考查了函数的定义域，考查了含参数的一元二次不等式得解法，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．

23．【分析】（1）由已知结合二次函数取得最值的条件及，可建立关于，，的方程，可求；

（2）结合已知二次函数与此时函数的性质可建立关于的不等式组，解不等式可求的范围．

【解答】解：（1）由题意得，，

解得，，，，

所以，

（2）若，，函数的图象恒在直线的上方，

则需满足，

解得，或，

所以的范围为或．

【点评】本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．

24．【分析】（Ⅰ）根据定义直接得答案；

（Ⅱ）对于已知集合、，①若且，则△△；

②若且，则△△，据此结论找出满足条件的集合，从而求出△△的最小值．

（Ⅲ）由，，且△△△△求出集合，所满足的条件，进而确定集合对的个数．

【解答】解：（Ⅰ）结合所给定义知，（1），（1），△，6，10，．

（Ⅱ）根据题意可知：对于集合，，

①若且，则△△；

②若且，则△△．

所以要使△△的值最小，2，4，8一定属于集合；

1，6，10，16是否属于不影响△△的值，但集合不能含有之外的元素．

所以当为集合，6，10，的子集与集合，4，的并集时，△△取到最小值4．

所以△△的最小值

（Ⅲ）因为△，

所以△△．

由定义可知：．

所以对任意元素，，

．

所以．

所以△△△△．

由△△△△知：△△△△．

所以△△△△△△△△．

所以△△．

所以△，即．

因为，，

所以满足题意的集合对的个数为．

【点评】该题是一道与集合相关的信息题，难度较大，高考中很少出现．