期末专题09 立体几何大题综合-【备战期末必刷真题】高一下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考湖南专用）

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期末专题09 立体几何大题综合

1．（2021春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD．

(1)求证：BD⊥PC；
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．根据线面垂直的判定证明BD⊥平面PAC即可；
（2）先根据线面平行的判定证明BC∥平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可；
（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC．又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO．因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD．因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD．所以BC∥平面PAD．又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l．所以BC∥l
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，分别为，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由底面为菱形，得，由四棱柱为直四棱柱，得平面，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）设交于点，连接，，推导出为中点，从而，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
【详解】（1）因为底面为菱形，所以．

因为四棱柱为直四棱柱，所以平面．
因为平面，
所以．
因为，平面．
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）设交于点，连接，．

因为底面为菱形，
所以为中点．
因为为中点，
所以，．
又因为为的中点，，，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
3．（2022春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据勾股定理可证，易证，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）因为，由（1）可知平面，由此可知是三棱锥的高，再根据，由此即可求出结果.
【详解】（1）证明：中，因为，，，
所以.
所以，
又侧面为矩形，
所以，
又，，平面.
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：因为，平面，
所以平面，
易得，，，，
所以的面积.
三棱锥的体积.
4．（2022春·湖南长沙·高一统考期末）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面；
（2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
（3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积
【详解】(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，              
又∵平面，平面，∴平面；      
(2)证明：∵，为的中点，∴，                        
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；                                            
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，            
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.
5．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，底面．

(1)求证：平面平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直.
（2）利用几何法找线面角，然后在三角形中求正弦值.
【详解】（1）底面．
又ACB= ，； 又
平面，又平面，∴平面
（2）取PC的中点O，连接AO、BO；
又∵平面平面且交线为，
平面，直线AB在平面PBC中的射影为OB，
为AB与平面PBC所成的角
在直角中，AB=，，

6．（2022春·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可证明平面平面；
（2）根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解．
【详解】（1）证明：由题意，，
，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：设的中点为，连接，

，所以是等腰三角形，
，即是梯形底边上的高，，
由题意知，，所以，
是的中点，到底面的距离为，
四棱锥的体积为；
综上，四棱锥的体积为．
7．（2022春·湖南·高一校联考期末）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点.

(1)证明：；
(2)设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，由三角形的中位线与已知条件可知，，，证得平面，从而得到；
（2）根据几何关系得到平面、平面、平面，从而得出为二面角的平面角，是和平面所成的角，再根据解三角形知识求出、的长，进而得到的大小.
（1）
取的中点，连接，.

因为，分别是，的中点.
所以，
又因为，
所以，，
又，
平面.
又平面，所以.
（2）
因为，，，所以平面，
所以为二面角的平面角，
又因为，，所以平面，.
连接，则
在中，
因为，所以平面.
故是和平面所成的角，
即，且，
在中，，，
所以，
故所求二面角的大小为.
8．（2022春·湖南·高一校联考期末）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)设为的中点，连接、，则、，利用面面平行的判定定理即可证明；
(2)由（1）知是异面直线与所成角，解三角形得，结合三棱锥的体积公式计算即可.
（1）
设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，

又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
（2）
由（1）知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，.
所以，
因此.
9．（2022春·湖南永州·高一统考期末）如图1，在边长为的菱形中，，为线段的中点；将沿折起到的位置，使得平面平面，连接，，如图2．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由已知面面垂直证得线面垂直，从而证得线线垂直.
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
(1)
在图1中连接，，
为等边三角形   
又为的中点          即   
在图2中，平面平面，交线为，平面
平面     
平面     
(2)
在图2中，连接，平面，平面
  又，
平面                  
平面，则      
即，均为直角三角形      
在中，，设点到平面的距离为
故  
    
    
即点到平面的距离为
10．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）如图：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为DD1，BB1的中点.

(1)求证：CF//平面A1EC1；
(2)过点D作正方体截面使其与平面A1EC1平行，请给以证明并求出该截面的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，

【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明CF//平面A1EC1；
（2）先利用面面平行判定定理作出截面，再去求其面积即可.
【详解】（1）取中点M，连接
由，可得四边形为平行四边形，则
由，可得四边形为平行四边形，则
则，又平面，平面，则平面；

（2）取AA1，CC1中点G，H，连接DG，CB1，B1H，HD，

因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF//DH
因为四边形AFB1G为平行四边形，所以GB1//AF，所以GB1 //DH
所以GDHB1即为过点D长方体截面，
∵DG//A1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DG//平面AEC1
∵DH// C1E，平面AEC1，平面AEC1，∴DH//平面AEC1
又∵，∴平面DHB1G//平面AEC1.

11．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）在四棱维P-ABCD中，点E为PA中点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=CD=2，∠DAB=60°.

(1)求证：PD⊥AB；
(2)求BE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)若CD//AB，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明AB⊥面PFD，进而即可证明PD⊥AB；
（2）先求得E点到底面ABCD的距离，进而求得BE与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）利用锥体体积公式即可求得四棱锥P-ABCD的体积.
（1）
取AB中点F，连接FD，FP

因为PA=PB，所以AB⊥PF，
因为AB=AD，∠DAB=60°，所以AB=AD=BD，所以AB⊥FD
又因为，所以AB⊥面PFD，
又因为面PFD，所以AB⊥PD；
（2）
因为BE⊥PD，AB⊥PD，
所以PD⊥面PAB，
因为面PAB，面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，
又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA
所以PD=PB=PA=，
，所以，
设BE与平面ABCD所成角为θ，则；
（3）


12．（2022春·湖南永州·高一统考期末）如图所示，在四棱锥中，已知底面是边长为6的菱形，，，，为线段上的点，且．

(1)证明：平面平面；
(2)为线段上的一点，且平面，求的值及直线与平面的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2)，

【分析】（1）设与相交于点，连接，依题意可得、，即可得到平面，从而得证；
（2）在线段上作点，过点作，交于，连接，，由线面平行的性质及三角形相似求出，过作，交于点，连接，则为直线与平面的夹角，再根据线段关系求出角即可；
(1)
证明：设与相交于点，连接，
四边形为菱形，，               
，，       
又，平面，  
则平面，    
平面，
平面平面.
(2)
解：在线段上作点，过点作，交于，连接，，
，，则，故，，，四点共面，
平面，平面，平面平面，  
，故四边形为平行四边形，则，
， ，   
，，   
在中，，，
在（1）知，又，平面，  
平面，  
过作，交于点，故且，
在中，，，       
连接，在中，，
平面，则为直线与平面的夹角，
在中，，，
直线与平面的夹角为.

13．（2021春·湖南永州·高一统考期末）如图，三棱柱中，侧面为菱形，．

(1)证明：；
(2)若，，，求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，交于点，连接，证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）分析可知直线与面所成角等于直线与面所成角，证明出，可得出，证明出面，可得出是直线与面所成角．结合三角形全等可求得结果.
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接．
因为四边形为菱形，所以，是的中点，

又因为，所以，
因为，平面，平面，.
（2）解：因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角．
因为，所以，
又因为，，，所以，，
所以，即，
，，所以面，所以是直线与面所成角．
因为，所以，所以直线与面所成角等于，
所以直线与面所成角等于．
14．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，．

(1)证明：PC=PD；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P−AB−C的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）分别取，的中点，，连接，，，可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用可得答案；
（2）由（1）知，是二面角的平面角，设，过点作于，则，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离即为，设直线与平面所成角为，可得，令，则，利用基本不等式可得有最大值，此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
【详解】（1）分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
易得PC=PD.
（2）由（1）知，是二面角的平面角，
设，，
在中，，
过点作于，
则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，
二面角的大小为．

15．（2021春·湖南永州·高一统考期末）如图，在棱锥中，为的中点，平面平面，，．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知（或其补角）为异面直线与所成的角，求得，，即可求得结果.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，

因为、分别为、的中点，且，
在底面中，，则且，
所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以，平面.
（2）解：由已知，平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，因为平面，所以，，
由（1），，所以，异面直线 与所成的角等于与所成的角，
即（或其补角）为异面直线与所成的角，
在中，，，所以，
所以，异面直线 与所成的角是.
16．（2021春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC

(1)证明：平面平面PAC
(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，
则即为AM与平面PBC所成的角求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，又底面ABC，
所以，又，
所以平面PAC，
因为平面PBC，
所以平面平面PAC；
（2）如图所示：

作，连接OM，
因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，
所以平面PBC，
则即为AM与平面PBC所成的角，
设，则，
所以，又，
所以，
所以AM与平面PBC所成角的正切值为.
17．（2021春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）四棱锥，底面为正方形，边为中点，平面．
(1)若为等边三角形，求三棱锥的体积；
(2)若的中点为与平面所成角为，求与所成角的正切值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及等体积法，再利用棱锥的体积公式即可求解；
（2）根据线面角的定义及勾股定理，再利用异面直线所成角的定义及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及锐角三角函数的正切函数的定义即可求解.
(1)
为等边三角形，且为中点，，
，又平面，
三棱锥的体积．
(2)
平面，又直线在平面内的射影为,
为与平面所成角，即，如图所示

为等腰直角三角形，
分别为的中点，，

所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
平面平面，
又平面，
平面，平面，
在中，．
所以与所成角的正切值为.
18．（2022春·湖南邵阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为3的等边三角形，点在棱上，且三棱锥的体积是，试求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，根据体积公式求得高，最后利用三角形相似求出边长，即可求得结果.
【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为平面BCD，所以AO⊥BC
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M，连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD
所以EF⊥BD，EF⊥CD， ，
因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，，
所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则为二面角E-BC-D的平面角，
因为，为正三角形，
所以为直角三角形
，

因为，所以，
进而有，所以,
，
所以二面角E-BC-D的大小为

19．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，．
（ⅰ）求二面角的正切值；
（ⅱ）求直线到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）取中点并连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（Ⅱ）（ⅰ）连接，首先得到，然后可得二面角的平面角为，然后证明平面，然后在中求解即可；
（ⅱ）利用求解即可.
【详解】证明：（Ⅰ）取中点并连接，

因为是的中点，所以，
因为是的中点，所以，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）（ⅰ）连接，因为，，是的中点，

所以，所以，所以，
同理可得，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
又，所以平面，
因为平面，所以，
因为直三棱柱，所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，因为平面，所以，
易得，在中可得，
所以二面角的正切值为
（ⅱ）因为平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
即，解得，
所以直线到平面的距离为．
20．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，△PAB为正三角形，且平面PAB⊥底面ABCD，，O为AC与BD的交点．

(1)求四棱锥P—ABCD的体积；
(2)证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】(1)作AB中点E，连接PE，得，由已知面面垂直得到线面垂直，从而得到PE为锥体的高，用体积公式计算即可.
(2)连接OE，证AB⊥平面PEO，得到，由线线平行证得.
（1）解：取AB的中点E，连接PE．∵为正三角形，∴∵平面PAB⊥底面ABCD，且平面PAB∩底面，平面PAB∴PE⊥底面ABCD∴
（2）证明：连接OE∵底面ABCD是正方形，∴∴∵PE，EO平面PEO．，又∴AB⊥平面PEO．又平面 ∴∵∴
21．（2022春·湖南长沙·高一湘府中学校考期末）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】(1)如图取中点，由中位线的性质可得，根据题意可得且，则四边形为平行四边形，有，结合线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据线面垂直的判定定理与性质可得，由勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）取中点，连接，．

在中，，分别为，的中点，所以，且．
由已知，，所以，且．
所以四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，且平面，
所以平面．
（2）在正方形中，，又，，
平面，∴平面，
平面，，
在中，AB=AD=1，所以BD=，，
在中，，
BD=，CD=2，所以BC=，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
22．（2022春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.

(1)该截角四面体的表面积；
(2)该截角四面体的体积.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）求出截角四面体一个的正六边形、正三角形的面积即可求解作答.
（2）求出原正四面体和截去的一个正四面体的体积，再用割补法求解作答.
【详解】（1）依题意，该截角四面体是4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，
截角四面体中，正三角形的面积，
边长为1的正六边形的面积，
所以该截角四面体的表面积为.
（2）该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，
棱长为1的正四面体的高，棱长为3的正四面体的高为，
则棱长为1的正四面体的体积，
棱长为3的正四面体的体积
所以该截角四面体的体积为：.
23．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，⊥底ABCD，．

(1)求证：平面∥平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由四棱柱的性质和已知可证得四边形为平行四边形，则∥，由线面 平行的判定可得∥平面，同理可证得∥平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论，
（2）连接，交于，连接，可证得平面，在平面内作，垂足为E，连接BE，则就是直线与平面所成的角，再由已知求出，从而可求出结果
（1）
证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．
（2）
解：如图，连接，交于，连接，

则，
又∥，
所以，即．
因为底面ABCD，BD底面ABCD，
所以，又，
所以平面，
在平面内作，垂足为E，则，
又，所以平面，
连接BE，则就是直线与平面所成的角，设为．
因为，，
所以，．
在Rt△中，．
在Rt△中，．
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为
24．（2022春·湖南·高一校联考期末）如图，平面平面，在矩形中，，四边形为菱形，为线段的中点，.

(1)证明：平面.
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)9.

【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，再根据线面垂直、菱形及等边三角形性质可得，进而有，最后由线面垂直的判定证结论.
（2）由线面平行判定有面，则到面的距离相等，根据线面垂直有到面的距离为，最后由及棱锥的体积公式求体积.
（1）
因为面面，面面，面，
所以平面，平面，则.
在菱形中，为线段的中点，，易证：.
因为，所以.
因为，面，所以面.
（2）
由是矩形，即，面，面，
所以面，故到面的距离相等，
由（1）知：平面，故到面的距离为，
又，则.
25．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)点M在线段PC上，且满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）三棱锥的体积为三棱锥的体积，先求得的面积，再结合平面ABC，即为底面的高，根据三棱锥的体积公式即可求解；
（2）过点M作交AC于N，连接BN，BM，由平面ABC易得，即，再结合与平行关系可求得，利用勾股定理证得，进而求证.
（1）
因为，，，
所以在中，由可得，
又，所以，所以，所以，
则，
因为平面ABC，所以是三棱锥在平面上的高，
又，
所以三棱锥的体积．
（2）
如图，在平面PAC内，过点M作交AC于N，连接BN，BM．

因为平面ABC，平面，所以，则.
由知，由（1）可得，所以，
在中，，
所以，即．
由于，，平面，故平面MBN，
又平面MBN，所以．
26．（2022春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）如图所示，已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，侧棱，，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足：，．

(1)求证：直线平面PAD；
(2)求证：直线平面AEMF；
(3)求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由题易得：，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）通过证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（3）作出二面角的平面角，并解平面角所在的直角三角形.
（1）
因为底面ABCD是菱形，所以，
平面PAD，平面PAD，
所以直线平面PAD；
（2）
联结，，，

因为，所以，
又因为是菱形，所以，
所以平面，所以，
又，所以，所以，
由已知条件得，，，
由余弦定理得，
，
所以，所以，
因为直线，相交，且，都在平面内，
所以直线平面．
（3）
取为的中点，联结，，，则，

又，所以平面平面，
因为直线平面，联结，
所以，，
所以等于平面与平面所成二面角的平面角，
由已知可得，，，
所以．
所以平面与所成二面角的正弦值是．
27．（2022春·湖南常德·高一统考期末）已知在直三棱柱的底面ABC中．，E、F分别为AC和的中点．，D为棱上的动点．

(1)请作出过、、E三点截直三棱柱的截面（只要求画出图形，不要求写出做法）
(2)证明：
(3)当D为的中点时，求直线DE与平面所成的线面角的正切值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3).

【分析】（1）利用面面平行的性质作出截面与平面的交线即可作答.
（2）利用线面垂直的判定证明平面，再利用线面垂直的性质即可推理作答.
（3）取AB的中点H，证明面，再在中计算作答.
（1）
在直三棱柱中，过、、E的截面交平面于，又截面与平面有公共点E，
平面平面，因此，过、、E的截面与平面相交于过点E的一条直线，该直线平行于，
而，则有过、、E的截面与平面的交线平行于，过E作交于，
连接，所以四边形即为过、、E三点截直三棱柱的截面，如图，

（2）
由（1）知，，而E为的中点，则为的中点，
在正方形中，F为中点，，则，
因此，有，而，
则有，又平面，平面，有，而，平面，
于是得平面，又平面，则有，
因，平面，从而得平面，又平面，
所以.
（3）
因，，平面，则平面，
取的中点，连，如图，因E为的中点，即有，则平面，

于是得为直线DE与平面所成的角，在正方形中，D为的中点，即有，
而，在中，
所以直线DE与平面所成的线面角的正切值为.
28．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末） 在直三棱柱中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，，．求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1） 取中点并连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（2）连接，首先得到，然后可得二面角的平面角为，然后证明平面，然后在中求解即可；
【详解】（1）取中点并连接，
是的中点 ，
是的中点 ，
，，所以四边形为平行四边形，
所以，

平面，平面，
平面．
（2）
连接 ，，，是的中点，
，
同理可得，，
因为二面角的平面角为，
又 平面，
平面， ，
直三棱柱 平面，又平面，
，又，
平面 平面 ，
易得，在中可得，
所以二面角的正切值为
29．（2021春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，

(1)证明：平面平面；
(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）连接OM，MN，证明，再利用线面、面面垂直的判定推理作答.
（2）确定点P在底面圆内的射影点位置，再作出二面角的平面角，然后解三角形作答.
（1）
连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，

而，即有都为正三角形，因此，，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此，平面，平面，
所以平面平面.
（2）
由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，
因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，
即平面，有，，
，而，即有，
取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.
【点睛】思路点睛：在二面角的棱上取一点，在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，即可得二面角的平面角．
30．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

(1)证明：平面PAD；
(2)若F为棱PC上一点，满足，求三棱锥F-ABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取PD的中点Q，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
（2）先根据二面角平面角的定义作出所求二面角的平面角，进而结合“等体积法”求出相应的线段长度，最后求得答案.
(1)
取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则，且．
又，且，，且，∴四边形ABEQ是平行四边形，，平面PAD，平面PAD， 平面PAD.

(2)
F为棱PC上靠近P点的四等分点，理由如下：
分别取AD，AC中点，连接，，
易知四边形为正方形，连接BM，交于点，则．
又，，，，底面ABCD，. ，平面 ，.
过F¢作于点G，连接FG，底面ABCD ，.，平面，，即为所求二面角的平面角．
易知：，设AC与BD交于点O，则，，易得：，．
设点A到BD的距离为d，在中，由得：．由得：．
在中，，.
∴三棱锥F-ABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值为．