2023年广东省东莞市高考数学联考试卷

这是一份2023年广东省东莞市高考数学联考试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省东莞市高考数学联考试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设复数满足是虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  已知为第二象限角，且，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金为持金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和恰好重斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为斤，设，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  设为正项等差数列的前项和若，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图所示，梯形中，，且，点在线段上运动，若，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，则的解集为(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  据某地统计局发布的数据，现将月份至月份当地的人均月收入增长率数据制成如图所示的折线图，已知月份当地的人均月收入为元，现给出如下信息，其中不正确的信息为(    )A. 月份当地人均月收入为元
B. 月份当地人均月收入为元
C. 月份当地人均月收入与月份相同
D. 这四个月中．当地月份人均月收入最低
 10.  为了得到函数的图象，只需将函数的图象(    )A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变11.  已知，函数，下列选项正确的有(    )A. 若的最小正周期，则
B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是12.  已知，分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线在第一象限的右支上一点，以为切点作双曲线的切线交轴于点，则下列结论正确的有(    )A.
B.
C.
D. 若，且，则双曲线的离心率三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  函数在点处的切线方程为______ ．14.  甲、乙、丙所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙所学校交流每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有______ 种15.  核桃又称胡桃、羌桃、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳，乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______ ．16.  以棱长为的正四面体中心点为球心，半径为的球面与正四面体的表面相交部分总长度为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，，求．18.  本小题分
某地博物馆为了解该地区电视观众对考古知识的兴趣情况，随机抽取了名观看过回望国内国际十大考古新闻的观众进行调查如图是根据调查结果绘制的名观众收看该节目时间的频率分布直方图．

将收看该节目时间不低于分钟的观众称为“考古热爱者”将上述调查所得到的频率视为概率．
求出的值，并估计该地区的观众收看回望国内国际十大考古新闻的平均时间同一组数据用该区间的中点值作代表；
现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法抽取名观众，记被抽取的名观众中的“考古热爱者”人数为，求的数学期望；
按是否为“考古热爱者”用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的名观众中随机抽取名，表示抽取的观众中是“考古热爱者”的人数，求的分布列．19.  本小题分
在年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以胜平负进球失球的成绩惨败出局甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练每人各踢一次为一轮，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有人进球另一人不进球，进球者得分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响，
经过一轮踢球，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；
若经过两轮踢球，用表示经过第轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．20.  本小题分
在三棱柱中，，且．
证明：；
若，二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值．
21.  本小题分
已知函数，．
证明：存在唯一零点；
设，若存在，，使得，证明：．22.  本小题分
已知函数，．
当时，讨论函数的单调性；
当时，证明：对任意的，；
讨论函数在上零点的个数．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，由，得，解得，
所以，
所以．
故选：．
根据一元二次不等式的解法，结合并集的定义即可求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由，得，
，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题
 3.【答案】 【解析】解：，，
又，
，
解得，
又为第二象限角，，
，
．
故选：．
由为第二象限角可得，再结合即可求出．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：这个人原来持金为斤，
第关收税金为，第关收税金为，
第关收税金为，
以此类推可得，第关收税金为，第关收税金为，
所以，即，解得，
由，
则．
故选：．
根据题意求得每次收的税金，结合题意可得，，求得的值，代入函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，，
化简，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：，，
即，
，，
，
，
，即，
．
故选：．
利用余弦函数、指数函数和对数函数的性质求解．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了余弦函数、指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量的线性运算，训练了利用配方法求最值，是中档题．
取的中点，连接，由已知可得四边形为平行四边形，设，利用向量的加法、减法及数乘运算求得，结合，可得、与的关系，然后利用配方法求的最小值．【解答】解：如图，取的中点，连接，

由已知可得，，，则四边形为平行四边形，
，
设，则
，
又，，
则，，
当时，取最小值为．
故选B．  8.【答案】 【解析】解：，均为偶函数，故函数为偶函数，
，令则，
，，即在上单调递减，
又，在恒成立，
故函数在上递减，在递增．
．
故选：．
利用导数判断函数的单调性，结合奇偶性求不等式即可．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由题意及图知，
月份当地人均月收入为元，月份当地人均月收入的增长率为，
月份当地人均月收入为元，故A错误；
月份当地人均月收入的增长率为，
月份当地人均月收入为元，故B正确；
月份当地人均月收入的增长率为，所以月份当地人均月收入为，故C错误；
月份当地人均月收入的增长率为，
月份当地人均月收入为，故D错误．
故选：．
分析折线统计图即可得出月当地人均收入与人均月收入最低的月份．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确，B错误，
将的图象向右平移个单位长度，
得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确，D错误．
故选：．
根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案．
本题主要考查三角函数图象的变换，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，故A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，故B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，故C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，故D正确．
故选：．
由余弦函数周期的公式，可判定A正确；
利用三角函数的图象变换，可判定B错误；
根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；
由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于：，则，则，
则在点处的切线斜率为，
在点处的切线方程为，
又，则切线方程为，
，即，故C错误；
对于：由得，又，则，故A正确；
对于：，
，
，
由得，
，
，
，
设点到轴的距离为，
则，，，
又，则，故B正确；
对于：，
，即，
，，，
，解得，故D错误，
故选：．
由题意变形得，可得，利用导数的几何意义求出切线方程可得可判断选项C，再根据可判断选项A，利用可判断选项B，根据向量共线的坐标表示与余弦定理可判断选项D，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
在点处的切线斜率为，
切线方程为：．
故答案为：．
求导函数，然后可求出的值，即得出切线的斜率，然后根据点斜式方程写出切线的方程即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，直线的点斜式方程，导数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：两名同学来自一个学校，分配方法的种数为：种不同方法．
第二种是两名同学来自两个学校，种不同方法，
则不同的安排方法有：．
故答案为：．
利用已知条件，分两种情况求解，第一种是：两名同学来自一个学校；第二种是：两名同学来自两个学校；分别求解即可．
本题考查排列、组合的简单应用，充分了解题意是解题的关键，是中档题．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意，从中任取一个核桃，设该核桃来自甲地为事件，来自乙地为事件，
则，，
故从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率．
故答案为：．
根据题意，从中任取一个核桃，设该核桃来自甲地为事件，来自乙地为事件，由全概率公式计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的应用，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：将正四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，
所以正四面体的体积为，
表面积为，
设正四面体的内切球半径为，
则，解得，
显然内切球心为，故到面的距离为，
球面与面相交部分为以的圆，
设三角形的内切圆半径为，圆心为，为的中点，
则，故，此时恰好，
即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，
故当时，圆弧总长度为．
故答案为：．
求出正四面体 内切球半径即为球心到面的距离，从而得到球被平面所截得的圆的半径，再求出的内切圆的半径，此圆恰好为球被平面所截得的圆，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，求四个内切圆的周长即可．
本题主要考查了正四面体的结构特征，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
 17.【答案】解：，
所以，故．
由正弦定理得，又，
所以，
故，，，
所以，即，
又，故；
，所以，
由余弦定理可得，
所以． 【解析】化简得到，根据正弦定理得到，得到答案；
根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由题意可得，
解得，
估计该地区的观众收看回望国内国际十大考古新闻的平均时间为：
；
“考古热爱者”对应的频率为，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“考古热爱者”的概率为，则，
所以的数学期望；
根据分层抽样原则知，抽取的人中，有“考古热爱者”人，非“考古热爱者”人，
则所有可能的取值为，，
因为，
所以的分布列为：  【解析】利用频率和为可求，利用频率分布直方图求解平均数的方法可得平均时间；
先求出“考古热爱者”对应的概率，利用二项分布的期望公式可得答案；
先求所有可能的取值，再分别求解概率，可得分布列．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 19.【答案】解：经过一轮踢球，记事件为甲进球，事件为乙进球，事件与事件相互独立，
，，
甲的得分的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为： 所以．
根据题意，经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种，
甲两轮中第轮得分，第轮得分；
甲第轮得分，第轮得分；
甲两轮各得分，

． 【解析】求得的可能取值及对应概率，完成分布列，即可求得期望；
讨论经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列及其期望，是中档题．
 20.【答案】解：证明：设的中点为，连接，，，

因为，所以，
又因为，且，，平面，
所以平面
因为平面，所以，
又因为是中点，所以C.
由上可知：，在中，由余弦定理得：
，
则，，
又因为平面，二面角的大小为，则，
以所在直线分别为轴，轴，以过垂直于底面的直线为轴，
建系如图，则根据题意可得：

，
所以，．
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，
取，，
记平面与平面的夹角为，
． 【解析】取中点，由已知判定即可证明；
建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求平面的夹角即可．
本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题．
 21.【答案】证明：由题意可得，
记，则，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于，在上恒大于，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点．
由可得，
若是方程的根，则是方程的根，
因为，都单调递增，
所以，，
设，，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，即的最小值为．
故原不等式成立． 【解析】利用导函数求单调性，结合即可求解．
由题意可得，若是方程的根，则是方程的根，所以，，再利用导函数求的最小值即可．
本题考查导数的综合运用，考查函数零点以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：已知，，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：当时，，
可得，，
由知，当时，，
所以，
则
，
所以在上单调递增，
此时，
所以函数在上单调递增，
此时，
故对任意的，；
当时，，，
而，
由知，，所以没有零点；
若，此时，
当时，易知，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一零点，记作，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，”，单调递增，
结合可知，当时，单调递减；当时，单调递增，
又，，
所以存在唯一实数，使，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，
所以时，，
由知，当时，，，
因为，在上单调递增，
所以在上存在唯一零点．
综上，当时，在上无零点；时，在上存在唯一零点． 【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对进行求导，利用导数即可得到函数的单调性；
将代入函数的解析式中，对进行求导，结合中信息可得，对进行求导，反推出的单调性，根据得到的单调性和最值，进而即可得证．
对和这两种情况进行分类讨论，结合中所得信息得到当时，函数无零点，对和这两种情况进行分析，利用零点存在性定理以及导数的几何意义得到函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及导数的应用，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．