数学（湖南长沙卷）-【试题猜想】2023年中考考前最后一卷（考试版+答题卡+全解全析+参考答案）

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2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．﹣2023的相反数等于（　　）
A．﹣2023 B．±2023 C．2023 D．
【分析】根据相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：C．
2．被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法可表示为（　　）
A．25×104 B．2.5×105 C．2.5×104 D．0.25×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将250000 用科学记数法表示为2.5×105．
故选：B．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：A．
4．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（a3）2＝a5 C．÷＝ D．2+3＝5
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，二次根式的除法法则及二次根式的加法法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、2与3不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意，
故选：C．
5．不等式组的解集为（　　）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣4x≥﹣1，得：x≤1，
解不等式x﹣1≥﹣2（x+2）得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x≤1，
故选：D．
6．为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：由统计图得，96出现了10次，出现次数最多，
所以数据的众数为96分；
共有30个数，最中间的两个数分别为96，96，
所以数据的中位数为＝96（分）．
故选：C．
7．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　）

A． B．20tan37° C． D．20sin37°
【分析】通过解直角△ABC可以求得AB的长度．
【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，
∴tanC＝，
则AB＝BC•tanC＝20tan37°．
故选：B．
8．从两男、两女四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“学课标说教材”比赛，则恰好抽到两名女教师的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到两名女教师的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设男教师为男1，男2，女教师为女1，女2，画树状图如下：

∴共有12种等可能的结果，恰好抽到两名女教师的结果有2种，
∴恰好抽到两名女教师的概率为＝，
故选：B．
9．我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．
故选：A．
10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则s的值为（　　）

A．34 B．36 C．40 D．42
【分析】第一列第二个数为s﹣31，第三列第一个数为s﹣22，第三列第三数为s﹣33，由题意列出方程，即可求解．
【解答】解：由题意可得：第一列第二个数为s﹣31，第三列第一个数为s﹣22，第三列第三数为s﹣33，
可得：s﹣（s﹣31）﹣12＝s﹣（s﹣22）﹣（s﹣33），
解得：s＝36，
故选：B．
第Ⅱ卷
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
12．平面直角坐标系中，点P（﹣2，4）关于x轴对称的点的坐标为　（﹣2，﹣4）　．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠D的度数为 　20°　．

【分析】先利用平角定义求出∠BOC的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝　﹣　．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ＝0，解方程即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＝0
解得m＝﹣．
故答案为﹣．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E．若AC＝2，BC＝3，则△ABD的周长是 　5　．

【分析】由AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，易得△ABD的周长＝AB+BC．
【解答】解：∵AC垂直平分线DE分别交BC，CA于点D、E，
∴AD＝DC，
∴AD+BD＝DC+BD＝BC＝3，
∵AB＝AC＝2，
∴△ABD周长＝AB+BD+AD＝AB+BC＝2+3＝5．
故答案为：5．

16．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以点B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，则图中阴影部分的面积为 　π﹣　．

【分析】连接BP、CP，过P作PE⊥BC于E，根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD，根据等边三角形的判定得出△PBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠PBC＝60°，分别求出扇形PBC和△PBC的面积即可．
【解答】解：连接BP、CP，过P作PE⊥BC于E，

∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝2，
∵分别以点B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，
∴BP＝BC＝CP，
即△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC＝2，∠PBC＝60°，BE＝CE＝BC＝1，
∴PE＝＝＝，
∴阴影部分的面积＝S△BPC+2（S扇形PBC﹣S△BPC）
＝+2×（﹣）
＝π﹣，
故答案为：π﹣．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（+1）0﹣2﹣1﹣tan45°+|﹣|；
【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值、绝对值的定义解答即可；
【解答】解：原式＝1﹣﹣×1+
＝1﹣﹣+
＝；
18．（6分）先化简，然后从0，1，2中选取合适的a值代入求值．
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件可得出a的值只能为2，再将a＝2代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：原式＝（1﹣）•
＝（﹣）•
＝•
＝a﹣1，
∵a＝0，a＝±1时分式无意义，
∴可以取a＝2，
当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
19．（6分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是 　40　；B组所对应的扇形圆心角为 　144°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1400人，估计该校喜欢跳绳的学生约有 　560　人；
（4）现选出了3名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和2名女生．要从这3名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B组人数所占比例即可；
（2）总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是：12÷30%＝40（人），
B组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：40，144°；
（2）C组人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），
补全条形统计图如下：

（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种，
∴选出的2名学生恰好为女生的概率为．
20．（8分）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE＝CD＝30m，
在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30m，
∴BE＝AE＝30m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30m，
∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），
∴BC＝BE+CE＝52.5（m），
答：这栋楼的高度大约为52.5m．

21．（8分）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，点G、H分别在AE、CF上，且AG＝CH．

（1）如图1，求证：GE＝FH；
（2）如图2，若FG⊥AE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝CB，AD∥CB，而BE＝DF，则AF＝CE，可证明四边形AECF是平行四边形，得AE＝CF，而AG＝CH，则EG＝FH；
（2）可证明△ABE≌△CDF，得∠AEB＝∠CFD，因为∠AEB＝∠FAG，∠CFD＝∠ECH，所以∠AEB＝∠FAG＝∠CFD＝∠ECH，则与∠AFG互余的角有∠AEB、∠FAG、∠CFD、∠ECH．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝CB﹣BE，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
∵AG＝CH，
∴AE﹣AG＝CF﹣CH，
∴EG＝FH．
（2）解：∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠AEB＝∠FAG，∠CFD＝∠ECH
∴∠AEB＝∠FAG＝∠CFD＝∠ECH，
∴∠AEB+∠AFG＝∠FAG+∠AFG＝∠CFD+∠AFG＝∠ECH+∠AFG＝90°，
∴与∠AFG互余的角有∠AEB、∠FAG、∠CFD、∠ECH．
22．（9分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．

【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以＝，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝5﹣2×＝．

23．（9分）为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校九年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．
（1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格；
（2）若九年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值．
【分析】（1）设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是（12﹣x）元，利用数量＝总价÷单价，结合用30元购买小灯泡的数量正好是用45元购买小电动机数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每个小灯泡的价格，再将其代入（12﹣x）中，即可求出每个小电动机的价格；
（2）设购买m个小灯泡，则购买（90﹣m）个小电动机，根据购买小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是（12﹣x）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝12﹣3＝9．
答：每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格是9元；
（2）设购买m个小灯泡，则购买（90﹣m）个小电动机，
根据题意得：m≤（90﹣m），
解得：m≤30．
设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，则w＝3m+9（90﹣m），
即w＝﹣6m+810，
∵﹣6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w取得最小值，最小值＝﹣6×30+810＝630，此时90﹣m＝90﹣30＝60．
答：更省钱的购买方案为：购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用的最小值为630元．
24．（10分）在△ABC中，BD⊥AC，E为AB边中点，连接CE，BD与CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交BD于点M，连接CM．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠EMF＝∠ACF；
（3）判断BM、CM、AC的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据等角的余角相等证明即可；
（3）结论：AC2+BM2＝MC2．证明CG＝CM，在Rt△AGC中，AC2+AG2＝GC2，由此可得结论．
【解答】（1）解：补全图形如图所示：

（2）证明：∵∠BDC＝90°，
∴∠DCF+∠DFC＝90°，
∵EM⊥EF，
∴∠EMF+∠EFM＝90°，
∵∠EFM＝∠DFC，
∴∠EMF＝∠DCF；
（3）解：结论：AC2+BM2＝MC2．

理由：延长ME到G使EG＝EM，连接AG、CG．
在△AGE和△BME中，
，
∴△AGE≌△BME（SAS），
∴BM＝AG，BM∥AG，
∵BD⊥AC，∴∠GAC＝∠BDA＝90°，
∵CE⊥EM，EM＝EG，
∴CE垂直平分MG，
∴CG＝CM，
在Rt△AGC中，AC2+AG2＝GC2，
∴AC2+BM2＝MC2．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A和点B（A在B左边），与y轴交于点C，P是抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AP交线段BC于点D，当CP与x轴不平行时，的最大值＝　　；
（3）若直线OP交BC于点M，是否存在这样的点P，使以B、O、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，从而可得结论；
（2）运用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，设P（m，﹣m2+2m+3），得Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），求出PQ，AB，证明△PDQ∽△ADB，得，得，再运用二次根式的性质可得结论；
（3）由勾股定理求出，过M作MN⊥HS，可求，设OM的解析式为y＝kx，分△BOM∽△ABC和△BOM∽△BCA两种情况利用相似三角形的性质求出点M的坐标，从而求出直线OM的解析式，再联立方程并求解方程即可得到点P的横坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0），
综上，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）过点P作PQ∥AB交BC于点Q，如图，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，
又B（0，3），C（0，3），
将两点坐标代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+3），Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∵PQ∥AB，
∴△POQ∽△ADB△，
∴
＝
＝
＝，
∵．
∴抛物线开口向下，图象有最高点，
∴当时，的最大值为；
故答案为：；

（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由勾股定理得，，

过M作MN⊥x轴于N，
则，
依题意，0＜xP＜3，
设OM的解析式为y＝kx，
∵∠OBM是公共角，
∴△BOM∽△BAC或△BOM∽△BCA，
当△BOM∽△BAC时，
，
即，
解得：，
∴，，
此时，
则，
解得，k＝3，
∴OM解析式为y＝3x，
解3x＝﹣x2+2x+3得：
或（不合题意，舍去），
当△BOM∽△BCA时，
，即，
解得，，
∴MN＝BN＝2，则ON＝3﹣2＝1，
此时M（1，2），
则k＝2，
∴OM解析式为y＝2x，
解2x＝﹣x2+2x+3得或（舍去），
综上，P点横坐标为或者时符合题意．