专题10《等式的性质》知识讲练-暑假小升初数学衔接（人教版）

暑假小升初数学衔接之知识讲练

专题10 等式的性质

知识目标: 探究等式的性质, 并能利用等式的性质进行等式变形、解简单的一元一次方程.

能力目标: 通过实验培养学生在动手操作、观察变化中获取知识的能力, 在类比猜想、归纳

建模和应用中提高数学综合能力.

情感目标: 通过实验操作、疑点讨论增强学生交流协作、共同进取的意识，通过类比猜想、设疑释疑培养学生勤于思考、敢于质疑的探索精神.

探究等式的性质，能根据等式性质进行等式变形、解简单的一元一次方程.

利用等式的性质把简单的一元一次方程变形为x = a (常数)的形式; 正确理解等式性

创设情景，提出问题

①       4+x=8， ② 2x, ③ 3x+8,④ a+b=b+a, ⑤ 8a+3b　 ⑥ c=2πr⑦ 1+2=3, ⑧ab, ⑨ S=vt, ⑩ 9x-3y>0

上述这组式子中，( ①④ ⑥⑦⑨ )是等式， 　(②③⑤⑧⑩　) 不是等式.

探究１：等式的性质1

观察天平回答：如果天平两边加(减)去相同的质量，天平会有什么变化？

教师引导学生归纳等式的性质1,并板书:

等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.

如果 a＝b，那么a ± c＝b ± c.

用适当的数或式子填空,使结果仍是等式。

（1）8a+2b=8a+     2b           .（2）3x+5=2x+x+     5          .

（3）如果2x -4=9,那么2x =9＋    4    .（4）如果5=10-x ,那么5x +   x     =10.

探究2：等式的性质2.

根据上面的天平猜想并想办法验证：将等式性质中的加、减法换成乘、除法, 结果又会怎样？

  学生在教师引导下归纳出等式的性质2

等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.

 如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么

1. 如果2x -10=6,那么x-5 =  3         .
2. 如果6x =12y+6,那么x =   2y+1        .
3. 怎样将等式6x =6y变形得到x = y？

根据等式的性质2：等式两边都除以6.

4. 怎样将等式8-5x =8-5y变形得到x = y？

根据等式的性质1：等式两边都减去7，再根据等式的性质2：等式两边都除以-3.

 探究3：利用等式的性质解方程:

利用等式的性质解下列方程:

   (1)x +6 = 26 ;  (2) -4x = 20 .

解： (1)x +6 = 26 ;根据等式的性质1：方程两边都减去6得x=26-6，所以x=20；

(2) -4x = 20 ，根据等式的性质2：等式两边都除以-4得.x=-5.

利用等式性质解下列方程并检验：

（1）x-8 = 6

（2）0.9x = 45

（3）2 – 0.2x = 3

（4）5x+5=0

解：（1）x-8 = 6[

根据等式的性质1：方程两边都加上8得x=14.

（2）0.9x = 45

根据等式的性质2：等式两边都除以0.9，得.x=50. 

（3）2 – 0.2x = 3

根据等式的性质1：方程两边都减去2得-0.2x=1，

根据等式的性质2：等式两边都除以-0.2，得.x=-5. 

（4）5x+5=0，

根据等式的性质1：方程两边都减去5得5x=-5，

根据等式的性质2：等式两边都除以5，得.x=-1. 

课堂小结：

通过本节课的活动，你有什么收获? 你还有什么疑问吗?

1. 等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.

2.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.

3.利用等式的性质解简单方程.

一．选择题

1．（2020春•邓州市期中）下列各等式的变形中，一定正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解析】、，

两边都乘以2得：，故本选项不符合题意；

、，

，

，故本选项符合题意；

、，

两边都除以得：，故本选项不符合题意；

、只有当时，由才能得出，故本选项不符合题意；

故选：．

2．（2020•三门县一模）已知，则下列等式不一定成立的是　　

A． B． C． D．

【解析】、的两边都减去，该等式一定成立，故本选项不符合题意；

、的两边都加上，该等式一定成立，故本选项不符合题意；

、的两边都除以，若无意义，所以不一定成立，故本选项符合题意；

、的两边都乘以，等式一定成立，故本选项不符合题意．

故选：．

3．（2020•石家庄模拟）要将等式进行一次变形，得到，下列做法正确的是　　

A．等式两边同时加 B．等式两边同时乘以2 

C．等式两边同时除以 D．等式两边同时乘以

【解析】将等式进行一次变形，

等式两边同时乘以，

得到．

故选：．

4．（2020春•汝阳县期中）下面四个等式的变形中正确的是　　

A．由得 B．由得 

C．由得 D．由得

【解析】、由方程两边都除以2即可得出，原变形正确，故本选项符合题意；

、由可得，原变形错误，故本选项不符合题意；

、由可得，原变形错误，故本选项不符合题意；

、由可得，原变形错误，故本选项不符合题意；

故选：．

5．（2020春•南安市期中）下列方程的变形，正确的是　　

A．由，得 B．由，得 

C．由，得 D．由，得

【解析】解；、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；

、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；

、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；

、由，得，原变形正确，故此选项符合题意．

故选：．

6．（2019秋•雨花区校级期末）下列等式变形错误的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解析】根据等式的性质可知：

．若，则．正确；

．若，则，正确；

．若，则，正确；

．若，则，所以原式错误．

故选：．

7．（2019秋•黄埔区期末）下列变形正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解析】、等式的两边都加上3，得，原变形错误，故不符合题意；

、等式两边同时除以，得，原变形正确，故符合题意；

、由，得，原变形错误，故不符合题意；

、等式的两边同时乘以3，得，原变形错误，故不符合题意；

故选：．

8．（2018秋•顺义区期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】根据图示可得：

2●▲■①，

●▲■②，

由①②可得●▲，■▲，

则■●▲●▲●▲．

故选：．

9．（2016秋•锦江区期末）下列各式中，变形正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解析】由及等式的性质1

得    

故选：．

二．填空题

10．（2019秋•江油市期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设，则，解得，即．仿此方法，将化成分数是　　．

【解析】设①，

根据等式性质得：②，

由②①得：，

即，

解得．

故答案为：

11．（2019秋•宁德期末）由得，在此变形中，方程两边同时　减去　．

【解析】由得，在此变形中，方程两边同时减去．

故答案为：减去．

12．（2018秋•灌云县期末）在横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，如果，那么　　．

【解析】根据题意得：

第一个等式等号右边为：，第二个等式等号右边为4，

，

等号两边同时加，

故答案为：．

13．（2019秋•沙河市期末）图（①）的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各20克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图（②）所示．则被移动石头的重量是　10　克．

【解析】设左天平的一袋石头重克，右天平的一袋石头重克，被移动的石头重克，由题意，得：

，

解得：．

答：被移动石头的重量为10克．

故答案为：10．

14．（2019春•普陀区期末）由移项，得．在此变形中，方程两边同时加上的式子是　　．

【解析】由移项，得，在此变形中，方程两边同时加上的式子是．

故答案为：．

15．（2019春•新野县期中）方程可变形为　1　．

【解析】变形为，是利用了分数的性质，右边不变，故答案为1．

16．（2015秋•南岗区期末）列等式表示“比的3倍大5的数等于的4倍”为　　．

【解析】由题意，得，故答案为：．

三．解答题

17．（2016秋•长沙期中）利用等式的性质解方程．

【解析】，

两边同时减去3，得：，

                              ，

两边同时除以2，得：，

两边同时加上3，得：；

则是方程的解．

18．用等式性质求下列方程的解．

（1）

（2）

（3）

（4）．

【解析】（1）

，

则；

（2）

，

则，

解得：；

（3）

，

则，

解得：；

（4）

，

解得：．

19．已知，观察并思考，怎样求出的值．

【解析】两边都加，得

．

两边都除以3，得

．

20．（2019秋•莱山区期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下：

我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”

（1）数对，中是“共生有理数对”的是　　

（2）若是“共生有理数对”，则的值为　　

（3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”

【解析】（1），，

，

不是“共生有理数对”；

，，

，

是“共生有理数对”．

故答案为：；

（2）是“共生有理数对”，

，

解得，

故答案为：；

（3）是“共生有理数对”中的一个有理数，

①当“共生有理数对”是时，则有：

，

解得：，

“共生有理数对”是，；

②当“共生有理数对”是时，则有：

，

解得：，

“共生有理数对”是．

21．（2019秋•浦东新区校级月考）已知，求的值．

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

即的值是9．

22．（2019秋•邵阳县期中）已知当时，代数式的值为6，利用等式的性质求代数式的值．

【解析】由题意，可得

，

，

23．（2017秋•凉州区校级期中）已知，试用等式的性质比较与的大小．

【解析】已知等式去分母得：，

整理得：，即，

．

24．（2014秋•忠县校级期末）已知，试用等式的性质比较与的大小．

【解析】已知等式去分母得：，

整理得：，

，

则．

25．（2013秋•文山市校级月考）已知，利用等式的性质试比较与的大小．

【解析】根据等式性质1，等式两边都减去式子，得

根据等式性质2，等式两边都除以5，得

．