2021届山东省枣庄市第三中学高三上学期第一次月考（9月）数学试题（解析版）

2021届山东省枣庄市第三中学高三上学期第一次月考（9月）数学试题

一、单选题

1．下列函数与函数相等的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题先求函数的定义域为，函数的值域为，函数的定义域为，并判断与函数不同，排除ABD，再判断与的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到答案.

【详解】

解：因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故A选项错误；

因为函数的值域为，而函数的值域为，故B选项错误；

因为函数的定义域为，而函数的定义域为，故D选项错误；

因为与的定义域、值域、对应关系都相同，故C选项正确.

故选：C

【点睛】

本题考查函数的定义、判断函数是否为同一函数，是基础题.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【详解】

解：要使函数有意义，则，

得，

即或，

即函数的定义域为，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键．属于基础题．

3．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由两角差的正切公式计算．

【详解】

由题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查两角差的正切公式，属于基础题．

4．函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

【详解】

根据函数，，的部分图象，

可得，，．

再根据五点法作图，可得，，

故，

故选：A

【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．为得到函数的图象，只需将的图象(    )

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】先将转化为，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.

【详解】

，，所以向左平移个单位长度，得到函数的图象.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.

6．定义在R上的函数是奇函数，为偶函数，若，则（    ）

A． B．0 C．2 D．3

【答案】B

【解析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可．

【详解】

解：为偶函数，

，即函数的图象关于对称，

是奇函数，

，且，

∴，

∴，

∴函数的周期是8，

∴，

，

，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．

7．已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；

【详解】

解：因为，定义域为，

在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，

所以在定义域上单调递增，

由，，

所以

即

故选：A

【点睛】

本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.

8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为

A．11 B．9

C．7 D．5

【答案】B

【解析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．

【详解】

∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，

∴，即，（n∈N）

即ω＝2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（，）上单调，则，

即T，解得：ω≤12，

当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；

当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选B．

【点睛】

本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.

二、多选题

9．下列函数，最小正周期为的偶函数有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.

【详解】

对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.

对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.

对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.

对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意.

故选：BD

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

10．已知函数，则和满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D.

【详解】

解:选项A:.故A正确;

选项B:为增函数，则成立，

，故B正确;

选项C: ，故C正确;

选项D:,故D错误.

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.

11．若，，则（    ）

A． B． C．  D．

【答案】ACD

【解析】将指数式化为对数式，利用对数运算，对每个选项进行逐一求解，即可选择.

【详解】

由，，得，，则

，

，

，

故正确的有：

故选：.

【点睛】

本题考查指数式和对数式的转化，以及对数的运算，属综合基础题.

12．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（    ）

A．当时，有个零点 B．当时，有个零点

C．当时，有个零点 D．当时，有个零点

【答案】CD

【解析】分别画出当与时的图像,再分析,

即的根的情况即可.

【详解】

当时, 的图像为

此时即有两种情况.

又有两根, 也有两根,故有4个零点.

当时,的图像为

此时即只有一种情况,此时仅有一个零点.

故当时,有个零点.当时,有个零点

故选CD

【点睛】

本题主要考查函数的图像与零点的分布问题,需要画出图像进行两次分析即可.属于中等题型.

三、填空题

13．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

【答案】.

【解析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.

【详解】

因为，

结合正弦定理可得，

可得，因为，

结合余弦定理，可得，

所以为锐角，且，从而求得，

所以的面积为，故答案是.

【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

14．已知，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】根据幂函数的图像和性质，把不等式化为求出解集即可．

【详解】

根据幂函数是定义域上的偶函数，且在上单调递减，

等价于，

，解得或，

实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了幂函数的图像和性质的应用，考查了不等式的解法，属于中档题．

15．已知，则__________.

【答案】

【解析】先平方，再利用1的代换化为齐次式，即可解得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求出，由正弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.

若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.

若选③，由余弦定理求出边，由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出三角形的面积.

【详解】

解：选①

∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.

四、双空题

17．年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

【答案】       

【解析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；

（2）令，解方程求得即可.

【详解】

当时，    经过年后，碳的质量变为原来的

令，则   

    良渚古城存在的时期距今约在年到年之间

故答案为；

【点睛】

本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

五、解答题

18．已知函数的定义域为,且对一切,都有,当时,.

(1)判断的单调性并加以证明;

(2)若,解不等式.

【答案】(1)在上为增函数,证明见解析;(2).

【解析】（1）利用定义即可证明在上为增函数；

（2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用（1）解得即可.

【详解】

(1)在上为增函数,

证明如下:任取,且,

则.

又因为当时,,而,

所以,所以,

所以在上为增函数.

(2)由定义域可得,解得,

由已知可得,

所以,,

所求不等式可转化为.

由单调性可得,解得,

综上,不等式解集为.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题.

19．已知函数.

（1）求的定义域与最小正周期；

（2）讨论在区间上的单调性.

【答案】（1）定义域为，最小正周期；（2）函数的减区间为，增区间为.

【解析】（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为即可求出周期；

（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域即可求出.

【详解】

（1）.

，即函数的定义域为，

则

，

则函数的周期；

（2）由，

得，即函数的增区间为，

当时，增区间为，

，

此时，

由，

得，即函数的减区间为，

当时，减区间为，

，

此时，

即在区间上，函数的减区间为，增区间为.

【点睛】

本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.

20．若二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，由得，即，代入中，化简整理即可得到值，从而得到函数解析式.

（2）由（1）可得,讨论对称轴和区间的关系，利用函数单调性求得最值，即可得到所求的值.

【详解】

（1）设，由，

∴，∴，

∵，∴，

∴∴，

∴.

（2）由（1）可得

①当时，在上单增，,解得；

②当时，在上单减，在上单增，

，解得，又，故.

③当时，在上单减,，，

解得，不合题意.

综上，存在实数符合题意.

【点睛】

本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查已知二次函数在区间的最值求参数问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.

21．2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；

（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）生产30百辆时，该企业获得利润最大为4000万元.

【解析】（1）直接由题意写出2020年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；

（2）分段利用配方法及基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．

【详解】

（1）由题意得，

（2）当时，，∴；

当时，，∵，当且仅当时，等号成立，∴

∴2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为4000万元.

【点睛】

本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值及利用基本不等式求最值，属于中档题．

22．已知函数，其中常数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)因为，根据题意有

(2) ，

或，

即的零点相离间隔依次为和，

故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．

【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题