2023届山东省枣庄市第三中学高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届山东省枣庄市第三中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：A

2．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

3．已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

4．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题先根据已知条件求出，再求，最后求解不等式,即可解题.

【详解】由的解集是，则

故有，，解得：，，

∴

∴

∵即

解得：或

∴不等式的解集，

故选：A

【点睛】本题考查求一元二次不等式的解集和根据一元二次不等式的解集求参数，是基础题.

5．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ）

A．(－∞，1] B．(－∞，1)

C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

【答案】D

【分析】根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】成立的充分条件是，则，

，所以.

故选：D

6．已知函数，则函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据奇偶性排除选项，再利用特殊值的方式，排除和，从而得到结果.

【详解】函数的定义域为

又，故函数为奇函数

则函数的图象关于原点对称，排除

因为，排除

又，排除

本题正确选项：

【点睛】本题考查具体函数的图象的判断，对于此类问题通常采用排除法来解决，排除顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.

7．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（    ）

A．(－2，2) B．(－2，1) C．(0，2) D．(1，3)

【答案】C

【分析】利用导数及对数函数的单调性作出函数图像，数形结合判断当函数与直线有三个交点时参数k的取值范围.

【详解】当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)＝0，解得或1(舍去)，

故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.

又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.

则函数f(x)的图象如图所示，

f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，

数形结合知当k∈(0，2)时，函数与直线有三个交点，即y＝f(x)－k有三个不同零点.

故选：C

【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.

8．已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.

【详解】由题得，

取特值代入上面的不等式得a≥3，

所以，

（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，

恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）

所以，所以

所以.

(2)在x∈上，，恒有，

所以在x∈上恒成立，

又在x∈上，的最小值为5，

所以.

(3)在x∈时，x≥，

恒有.

综上.

故选:C

【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、多选题

9．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【解析】两个函数要是同一个函数，只要定义域相同，对应关系相同即可

【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于B，，的定义域都为，而，与的对应关系相同，所以，是同一个函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于D，，的定义域都为，而，，所以，是同一个函数，

故选：BD

10．已知，那么下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由不等式的性质可判断ACD，由特值法可判断B．

【详解】若，，则，

则，故A成立；

不一定成立，如，故B不成立；

∵，，

∴，故C成立，

因为

所以，，则，成立，故D正确，

故选：ACD．

11．下列说法正确的是（    ）

A．若不等式的解集为，则

B．若命题，则的否定为

C．在中，“”是“”的充要条件

D．若对恒成立，则实数的取值范围为

【答案】ABD

【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由全称量词命题的否定可判断B；由充要条件的判断可判断C；变元转化为一次函数恒成立可判断D

【详解】对于A：不等式的解集为，

则和是方程的两个根，故，

解得，所以，故A正确；

对于B：命题，

则的否定为，故B正确；

对于C：由可得，

所以，

又，

所以或，

所以“”不是“”的充要条件，故C错误；

对于D：令，由对恒成立，

则，解得，

所以实数的取值范围为，故D正确；

故选：ABD

12．已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（    ）

A．是周期函数

B．满足

C．在上单调递减

D．是满足条件的一个函数

【答案】ABD

【分析】题目中条件：可得知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．

【详解】对于A：，其图象关于点对称即

所以，

函数是周期函数且其周期为4，故A正确；

对于B：由A知，对于任意的，都有满足，

又函数是偶函数，即，故B正确；

对于C：反例：如图所示的函数，关于轴对称，

图象关于点对称，函数的周期为4，但是在上不是单调函数，故C不正确；

对于D：是定义域为在，

且，

，

所以是定义域为在上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数，

故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．求值：_________．

【答案】1

【分析】根据对数运算,化简即可得解.

【详解】由对数运算,化简可得

故答案为:1

【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.

14．已知函数的定义域为，则的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据的定义域，求得的取值范围，由此求得的取值范围，也即求得函数的定义域.

【详解】由于函数的定义域为，

所以，即，

由于在定义域上递减，

所以，

解得.

所以函数的定义域为.

故答案为：

15．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】首先根据题意得到有解，从而得到有解，再利用基本不等式得到，即可得到答案.

【详解】因为存在非零实数，使得成立，

所以有解，

化简有解，即有解.

因为，当且仅当，即时取等号，

因为，所以，，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.

【答案】     8    

【解析】x+2y=xy等价于1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围.

【详解】∵x>0，y>0，x+2y=xy，

∴1，

∴1，

∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，

∴x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，

∴m2+2m<8，解得﹣4<m<2.

故答案为：8；(﹣4，2)

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

五、解答题

17．已知幂函数在 上单调递增，函数.

（1）求的值；

（2）当时，记的值域分别为集合，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）.

【分析】（1）由幂函数的定义，求得或，再结合幂函数的性质，即可求解；

（2）由（1）得幂函数和指数函数的单调性，求得集合和，再结合命题是成立的必要条件，得到，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）由题意，幂函数，可得，解得或，

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，

当时，在上单调递增，符合题意，

所以.

（2）由（1）可得函数，

当时，可得，即；

当时，可得，即，

若命题是成立的必要条件，即，

可得，即，解得，

即实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图象与性质，以及根据充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中熟记幂函数和指数函数的性质，以及合理利用充分、必要条件的转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

18．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.

【答案】[－2，0].

【分析】利用导数求得的最小值，结合的值域为值域的子集，列出不等式，即可容易求得参数范围.

【详解】由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.

令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，

则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.

当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，

所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.

又由题意可知，h(x)的值域是的子集，

所以

解得实数a的取值范围是[－2，0].

【点睛】本题考查利用导数研究能成立问题，涉及由集合之间的关系求参数范围的问题，属综合中档题.

19．已知定义在上的奇函数和偶函数满足.

(1)求，的解析式；

(2)若，求x的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意，由函数解析式、结合函数的奇偶性可得，则可求出函数、的解析式；（2）根据题意列出不等式，将不等式转化为且，，再由的单调性，奇偶性列出式子，可得的范围，即可求出答案．

【详解】(1)定义在上的奇函数和偶函数满足

则

两个式子相加得到

两个式子相减得到

(2)若，其中且，

即，且，，

变形可得：

，其中且，

又因为偶函数在上是单调递减的，

上是单调递增的，

故得到，其中且，

解可得：；

故答案为：且且．

即.

20．已知定义在区间上的函数为奇函数．

（1）求函数的解析式并判断函数在区间上的单调性；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）；在区间上是增函数；（2）

【分析】（1）利用可求的值，注意检验．利用定义可判断为上的单调增函数

（2）利用（1）中的结论及为奇函数可得的取值范围．

【详解】（1）∵是在区间上的奇函数，

∴，则，此时，

是奇函数．

设，

则，

，

则，

∴，即，

∴函数在区间上是增函数．

（2）∵，且为奇函数，

∴．

又∵函数在区间上是增函数，

，解得，

故关于的不等式的解集为．

【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小. 另外解函数不等式要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则．

21．已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）求的解析式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）时，，由题意，得到，再由奇函数的性质，即可得出结果；

（2）先由题意得到在上单调递减，根据函数奇偶性，推出在上单调递减，再将不等式恒成立，转化为在上恒成立，进而可得出结果.

【详解】（1）当时，，

则，

又因为为奇函数，

所以，

所以，

所以.

（2）因为当时，，单调递减，也单调递减，因此在上单调递减，

又为奇函数，

所以在上单调递减，

所以在上单调递减，

因为在上恒成立，

所以，又因为为奇函数，

所以，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以，即.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由不等式恒成立求出参数的问题，熟记函数奇偶性的定义，以及函数单调性解不等式即可，属于常考题型.

22．定义符号函数，已知函数.

（1）已知，求实数的取值集合；

（2）当时，在区间上有唯一零点，求的取值集合；

（3）已知在上的最小值为，求正实数的取值集合；

【答案】（1）；（2）；（3）；

【分析】（1）先求出的表达式，再解关于的不等式，从而求得的值；

（2）当时，写出函数解析式，再将问题转化为函数与在区间上有唯一的交点，作出图象，即可得到答案；

（3）由题意得，，再对分和两种情况讨化，对的情况，再进行二级讨论，即和两种情况，最后进行综合得到正实数的取值集合.

【详解】（1）因为，

所以或

解得：或，

所以实数的取值集合为.

（2）当时，

所以

因为在区间上有唯一零点，

所以方程在区间上有唯一的根，

所以函数与在区间上有唯一的交点，

函数的图象，如图所示：

当或时，两个函数图象只有一个公共点，

所以的取值集合为时，在区间上有唯一零点.

（3）当时，在恒成立，

因为，，

①当时，，

所以在恒成立，

所以.

②当时，，

ⅰ）当时，上式，

所以在恒成立，

所以，此时的数都成立；

ⅱ）当时，，

所以在恒成立，

当，即时，，

所以；

当，即时，，

所以；

所以；

综合①②可得：或，

所以正实数的取值集合为：.

【点睛】本题以符号函数为背景，考查含参讨论解不等式和函数的最值，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是进行不重不漏的分类讨论.