山东省德州跃华中学2021届高三上学期10月份阶段检测数学试题 Word版含解析

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德州跃华中学高三阶段性检测
数学试题
一､单选题
1. 已知函数的定义域为集合M，集合N＝，则＝（ ）
A. [﹣1，3] B. [0，2] C. [0，1] D. [﹣1，4]
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件求出集合M，结合集合N＝，由交集的性质可得的值.
【详解】解：由题意：令得，
所以，所以，
故选：B．
【点睛】本题主要考查交集的性质，考查学生对基础知识的理解，属于基础题.
2. 已知条件：，条件：，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】；，
所以是的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式书写.
【详解】命题“”的否定是
，.
故选C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
5. 已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知，，而抛物线开口向上，可得，在两根之外，结合选项即可得出答案.
【详解】解：由题可知，，并且是方程的两根，
即有，，
由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，
结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.
故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题.
6. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】
化简f（x）=2sin（ωx），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，
由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x时，求得函数g（x）值域得解.
【详解】f（x）＝sinωxcosωx＝2sin（ωx），
由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，
则周期T＝π，即ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x），
把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，
则g（x）＝2sin[2（x）]＝2sin2x，
当≤2x≤,即≤x≤, y＝g（x）是减函数，故y＝g（x）在[，]为减函数，
当2x=即x（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x（k∈Z）对称,且为奇函数，
故选项A，B，C错误，
当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[，2]，
故选项D正确，
故选D．
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题
7. 已知符号函数，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，求出的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，，，
当时，可知，，则，
当时，可知，，则，
当时，可知，，则，
则有，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题．
8. 若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案．
【详解】解：由题可知，则，
令，
而，则，
所以在上单调递增，
故，即，
故，
即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题．
二､多选题
9. 若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（ ）
A. xN，xM B. xN，xM
C. MN＝{1，5} D. MN＝{﹣3，﹣1，3}
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，逐个判断即可得解.
【详解】对A，﹣3 N，﹣3M，故A错误；
对B， 1N，1M，故B正确；
对C，MN＝{1，5}，故C正确；
对D，MN＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了集合及元素相关关系，也考查了集合的运算，其方法是对集合的元素进行分析判断，属于基础题.
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若a＜b＜0，则a2＞b2 B. 若ab＝4，则a＋b≥4
C. 若a＞b，则ac2＞bc2 D. 若a＞b＞0，m＞0，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.
【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；
对于B，当，时，，显然B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，，所以，，所以
所以，即成立，故D正确．
故选AD．
【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
11. 已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．
【详解】因为数列满足，，
；
；
；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；
故选：．
【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
12. 已知函数，，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是（ ）
A. 当时，方程没有相应实根
B. 当或时，方程有1个相应实根
C. 当时，方程有2个相异实根
D. 当或或时，方程有4个相异实根
【答案】AB
【解析】
【分析】
先由题中条件，得到；根据导数的方法，判定函数在时的单调性，求函数值域，再由得出或；再根据函数零点个数的判定方法，逐项判定，即可得出结果.
【详解】由得，则；
所以，故，
当时，，则，
由得；由得；
则，又，时，；
即时，；
当时，；
由解得或；
A选项，当时，与都无解，故没有相应实根；故A正确；
B选项，当或时，方程有1个相应实根，即只要一个根，则只需或，解得或；故B正确；
C选项，当时，有三个根，有一个根，所以方程有4个相异实根；故C错；
D选项，时，方程有两个解；有一个解，共三个解；
当时，方程有两个解；有一个解，共三个解；
当时，方程无解；方程有三个解，共三个解；故D错.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程的实根，考查方程根的个数的判定，属于常考题型.
三､填空题
13. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____．
【答案】15.5尺．
【解析】
分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长．
【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
，解得，．
冬至的日影子长为15.5尺．
故答案为：15.5尺．
【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.．
14. 已知函数的图像经过点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意易知，然后再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】因为函数的图像经过点，
所以，所以；
又，所以
所以；
当且仅当时，即时取等号.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.
15. 若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则的最大值是_____．
【答案】.
【解析】
不等式恒成立，等价于恒成立，又是奇函数，
原不等式转为在上恒成立，函数在其定义域上是减函数，，即，，，当时，有最小值，因此的最大值是，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的最值、二倍角的余弦公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.
16. 若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝_______；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】解：设，，则，则，，
有如下性质：．
则，
的最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．
四､解答题
17. 已知集合， ．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
①函数的定义域为集合；②不等式的解集为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
若选条件①：可求得，
（1）根据题意，由可得，由并集的运算求得，由补集的运算可得或，进而由交集的运算可得，即可得答案；
（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：①当时，有，②当时，有，分别求出的取值范围，进而对两种情况取并集即可得答案．
若选条件②：可求得或，
（1）根据题意，当时，，由并集的运算求得，由补集的运算可得或，进而由交集的运算可得，即可得答案；
（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：①当时，有，②当时，则或，分别求出的取值范围，进而对两种情况取并集即可得答案．
【详解】解：选条件①：
可知函数的定义域为集合，
则，
（1）根据题意，当时，，，
则，
又或，则.
（2）根据题意，，，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则有，解得：，
综上可得，的取值范围是．
选条件②：
可知不等式的解集为，则或，
（1）根据题意，当时，，或，
则或，
又或，则或.
（2）根据题意，，或，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则或，
解得：或，
综上可得，的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，考查根据集合间的关系求参数的取值范围，还涉及对数中真数大于0和分式不等式的计算，考查分类讨论思想和化简运算能力.
18. 已知定义域为R的函数满足，当x＞0时，．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得为奇函数，当时，，根据可得结果；
（2）将原不等式转化为，结合单调性即可得解.
【详解】（1）由得函数奇函数，
当时，，则，
，
.
（2）由（1）知当时，，减函数，
可将不等式转化为，
，
所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，利用单调性解不等式，属于中档题.
19. 己知向量，.
（1）若，其中，求的坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，结合已知条件，解得即可；
（2）先求，再求，化简计算即可.
【详解】（1）设，，①，且，若，得，②，
联立①②，解得，，即.
（2），，且，若与的夹角为，，
.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题．
20. 已知向量，，设函数，．
（1）求的值域；
（2）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示及同角的三角函数关系求得，然后再根据二次函数的性质可求得的值域；
（2）由题意，求得，且，依题意转化为不等式在有解，设，令，则，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴的值域为；
（2）由题意，，且，
依题意，不等式在有解，
设
，，
令，
∵，∴，
则，，
∴函数的值域为，
∴，
故实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质及应用，考查二次函数的值域，考查转化与化归思想，属于中档题．
21. 已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．
【答案】（1）（2）6
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设的公比为，由题设条件，求得等比数列的首项和公比，即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比错位相减法，求得，再根据题设，列出不等式，即可求解.
【详解】（Ⅰ）设的公比为，由得，，所以，所以.
又因为，所以，所以.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
，则，
，
所以，
由，得，即，则，
所以的最小值是6.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
22. 已知函数()，()，且函数的图像在点(1，)处的切线方程为．
（1）求实数k的值；
（2）当时，令函数，求的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数有两个极值点为，，其中＜，试比较与的大小．
【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）.
【解析】
【分析】
（1）先求出切点，对函数求导得到，即可求出的值；（2）求出，求导，若时，，若时，求导数的零点，利用导函数的正负得到原函数的单调性即可；（3）由（2）知，，由于的两个极值点满足方程，利用韦达定理得，，求，令，求导，分析的单调性，求出最值，即可得出结论.
【详解】（1）由题意知，，
所以切点为，
且的定义域为，
所以，
则，
所以；
（2）由（1）知，
，
，
所以，
若时，
，此时在内单调递减；
若时，
令，
得或，
当或，
，
当时，
，
综上：
当时，在内单调递减；
当时，在和上单调递减；
在上单调递增.
（3）由（2）知，
有两个极值点当且仅当，
由于的两个极值点满足方程，
所以，
所以，
因为，
所以.

令，
所以，
因为时，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的极值和最值问题，运用了构造函数的思想，考查了分类讨论思想.考查了逻辑推理能力以及运算求解能力.属于较难题.